指數(shù)函數(shù)省賽一等獎

第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)42指數(shù)函數(shù)人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊什么是指數(shù)函數(shù)？【問題1】隨著中國經(jīng)濟的高速增長，旅游人數(shù)不斷增加，A、B兩個景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對措施，A地提高了門票價格，B地則取消了門票下表給了A、B兩個景區(qū)2001~2015年的游客人次及逐年增加量比較一下兩地景區(qū)旅游人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？A地區(qū)經(jīng)營地比較平衡，穩(wěn)定，B地區(qū)發(fā)展比較快什么是指數(shù)函數(shù)？為了便于觀察，我們把表格中的數(shù)據(jù)畫成圖像：觀察圖像和表格，可以發(fā)現(xiàn)：A景區(qū)的游客人次近似于直線上升線性增長，年增加量大致相等約為10萬人次；B景區(qū)的游客人次是非線性增長，年增加量越來越大，難從圖像和年增加量都難看出變化規(guī)律什么是指數(shù)函數(shù)？【探究】我們知道，年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的那么能否通過對B景區(qū)每年的游客人次做其他運算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？增加量=變后量-變前量【嘗試】從2002年起，將B景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到2002年游客人次2001年游客人次=

2003年游客人次2002年游客人次=

2015年游客人次2014年游客人次=

增長率=增加量變前量【結(jié)論】結(jié)果表明，B景區(qū)的游客人次的年增長率都約為111-1=011，是一個常數(shù)什么是指數(shù)函數(shù)？【總結(jié)】像這樣，增長率為常數(shù)的變化方式，稱為指數(shù)增長因此，B景區(qū)的游客人數(shù)近似于指數(shù)增長即從2011年起，每一年的游客人次都是上一年的11倍左右，增長量越來越多t年后，景區(qū)的游客人次:

容易看出這是一個函數(shù)，其中指數(shù)t是自變量認真觀察并回答下列問題：1、一個細胞分裂一次得兩個細胞，分裂次得4個，分裂3次得8個，問若分裂次所得細胞個數(shù)為ｙ，則y與的函數(shù)關(guān)系是：

(2)、《莊子·天下篇》中寫道：“一尺之棰，日取之半，萬世不竭”可以理解為一根1米長的繩子從中間剪一次剩下米，再從中間剪一次剩下米，若這條繩子剪x次剩下y米，則y與x的函數(shù)關(guān)系是：新課引入什么是指數(shù)函數(shù)？【定義】如果用字母代替上述兩個問題中的底數(shù)111和0999，那么函數(shù)

一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)其中是自變量，定義域是R

和y=2就都可以表示為的形式，

其中，是自變量，底數(shù)是一個大于0且不等于1的常量

所以它是指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征【1】解析式中的系數(shù)為1【2】底數(shù)是常數(shù)，滿足【3】自變量是指數(shù)，且

因此，指數(shù)函數(shù)的定義只是一個形式定義判斷一個函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)關(guān)鍵是看這個函數(shù)的解析式變形整理之后是不是具備以上三個特征例如，等都是指數(shù)函數(shù)，這是因為

其中，稱為指數(shù)型函數(shù)，

稱為正整數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征【問題】指數(shù)函數(shù)中為什么規(guī)定？【答】①若，則當時，；當時，無意義

②若，則對于的某些數(shù)值，可以無意義如，這時對于等情況在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在

②若，則對于任意，，是一個常量，沒有研究的必要為了避免上述情況的發(fā)生，所以規(guī)定，這樣規(guī)定之后，對于任意的實數(shù)，都有意義且

典型例題例2回到問題1中，如果平均每位游客出游一次可給當?shù)貛?000元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況應(yīng)用探究例2回到問題2中，如果平均每位游客出游一次可給當?shù)貛?000元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況解：設(shè)經(jīng)過x年，游客給A、B兩地帶來的收入分別為f(x)，g(x)，則f(x)=1150(600+10x)

，g(x)=1000×278×1.11x，

f(x)-g(x)=1150(600+10x)

-1000×278×1.11x，

應(yīng)用探究利用計算工具可以算出：當=0時，f0-g0=412000當≈1022時，f1022≈g1022結(jié)合右圖可知：當<1022時，f>g當>1022時，f<g當=14時，g14-f14≈347303g(x)

f(x)

應(yīng)用探究這說明：（1）2001年，游客給A地帶來的收入高于B地412000萬元；（2）2001后的10年，f>g，游客給A地帶來的收入仍高于B地，但g比f增長的速度快，大約2011年2月某個時刻就有f=g了，這時游客給A地帶來的收入和B地差不多；（3）10年后，f<g，游客給B地帶來的收入高于了A地，由于g增長的速度越來越快，而f增長的速度不變，到2015年，游客給B地帶來的收入已經(jīng)高于了A地347303萬元了應(yīng)用探究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：在同一坐標系中分別作出如下函數(shù)的圖像：

列表如下：

x-3-2-1-0.500.51230.130.250.50.7111.42488421.410.710.50.250.13指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)【二】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標系中作出底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)圖像

-3-2-11231一般地，指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)如下表所示：

（1）過定點（0，1）2減函數(shù)3增函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)【1】指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【2】指數(shù)函數(shù)在y軸右側(cè)的圖像，底數(shù)越大圖像越高（底大圖高）

-3-2-11231

【3】①當

②當

③當

④當

【4】指數(shù)函數(shù)圖像下端與軸無限接近，但永不相交【5】指數(shù)函數(shù)都是下凸的函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用【例題】比較下列各題中兩個值的大小【解】（1）函數(shù)是增函數(shù)，且25＜3，則1725＜173

（2）函數(shù)是減函數(shù)，且，則

（3）

【1】求下列函數(shù)的定義域和值域【解】12

【2】不論為何值，函數(shù)的圖像一定經(jīng)過點P，則點P的坐標是多少？【解】方法一當

所以函數(shù)經(jīng)過