第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)要求:1理解對數(shù)的概念和運算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對

數(shù)或常用對數(shù)2通過具體實例,了解對數(shù)函數(shù)的概念能畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了

解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點=loga與指數(shù)函數(shù)y=aa>0,且a≠1互為反函數(shù)1對數(shù)的概念1對數(shù)的定義一般地,如果①

a=Na>0,且a≠1

,那么數(shù)叫做以a為底N的對數(shù),記作②

=logaN

,其中③

a

叫做對數(shù)的底數(shù),④

N

叫做對數(shù)的真數(shù)必備知識

·

整合

對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為a(a>0且a≠1)⑤

logaN

常用對數(shù)底數(shù)為10⑥

lgN

自然對數(shù)底數(shù)為e⑦

lnN

2幾種常見的對數(shù)2對數(shù)的性質(zhì)與運算法則1對數(shù)的性質(zhì)i負數(shù)和0無對數(shù)ii1的對數(shù)等于0,即loga1=0a>0且a≠1iiilogaa=1a>0且a≠1?提醒

?=⑧

N

;logaaN=⑨

N

a>0且a≠12換底公式及其推論換底公式:⑩logbN

=?a,b均大于0且不等于1推論:logab=?,lo?bn=?logaba>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R,且m≠0,logab·logbc·logcd=?logad

a,b,c均大于0且不等于1,d大于03對數(shù)的運算法則如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么logaMN=?logaMlogaN

,loga?=?logaM-logaN

,logaMn=?

nlogaM

n∈R3對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象

性質(zhì)定義域:(0,+∞)值域:R圖象恒過點(1,0),即x=1時,y=0當x>1時,y>0;當0<x<1時,y<0當x>1時,y<0;當0<x<1時,y>0是(0,+∞)上的增函數(shù)是(0,+∞)上的減函數(shù)?提醒當對數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的大小不確定時,需分a>1和0<a<1兩種情況進

行討論4反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=aa>0,且a≠1與對數(shù)函數(shù)?

y=loga

a>0,且a≠1互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線?

y=

對稱知識拓展1在第一象限內(nèi),不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大=logaa>0,且a≠1的圖象過定點1,0,且過點a,1,?,函數(shù)圖象只在第一、四象限1判斷正誤正確的打“√”,錯誤的打“?”1logaMN=logaMlogaN?2函數(shù)y=loga2與函數(shù)y=2loga相等?3對數(shù)函數(shù)y=logaa>0,且a≠1在0,∞上是增函數(shù)?4函數(shù)y=ln?與y=ln1-ln1-的定義域相同????√2新教材人教A版必修第一冊P127T3改編log29×log342log510log5025=

A0

B2

C4

D6D3新教材人教A版必修第一冊P133例3改編已知a=ln3,b=log3e,c=logπe,則下

列關(guān)系正確的是?Ac<b<a

Ba<b<cCb<a<c

Db<c<aA4新教材人教A版必修第一冊P159T1改編圖中曲線是對數(shù)函數(shù)y=loga的圖

象,已知a取?,?,?,?四個值,則對應(yīng)于C1,C2,C3,C4的a值依次為?A?,?,?,?

B?,?,?,?C?,?,?,?

D?,?,?,?A=loga2-a在區(qū)間?上恒有f>0,則實數(shù)a的取值范圍是

考點一對數(shù)式的化簡與求值關(guān)鍵能力

·

突破

1多選題設(shè)a,b,c都是正數(shù),且4a=6b=9c,則?bc=2ac

bc=acC?=??

D?=?-?AD解析

∵a,b,c都是正數(shù),故可設(shè)4a=6b=9c=M,∴a=log4M,b=log6M,c=log9M,則

=logM4,

=logM6,

=logM9.∵logM4+logM9=2logM6,∴

+

=

,即

=

-

,去分母整理得,ab+bc=2ac.故選AD.2計算:?2log31-3log773ln1=0

解析原式=32×0-3×13×0=03計算:?×10?=-20

解析原式=(lg2-2-lg52)×10

=lg

×10=lg10-2×10=-2×10=-20.4計算:?=1

解析原式=

=

=

=

=

=1.名師點評1在對數(shù)運算中,先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形,化成分數(shù)指數(shù)冪的

形式,使冪的底數(shù)最簡,然后用對數(shù)運算法則化簡合并2先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù),然后逆用對數(shù)的運算法則,化

為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算=N?b=logaNa>0,且a≠1是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法,在運

算中應(yīng)注意互化考點二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用典例112020安徽亳州二模在同一個平面直角坐標系中,函數(shù)f=?與g=lg?的圖象可能是?

A22020寧夏銀川模擬已知函數(shù)f=|ln|,若0<a<b,且fa=fb,則2ab的取值

范圍是?A2?,∞

B[2?,∞C3,∞

D[3,∞B解析(1)由題意a>0且a≠1,所以函數(shù)g(x)=lg

單調(diào)遞減,故排除B、D;對于A、C,由函數(shù)f(x)=

的圖象可知0<a<1,對于函數(shù)g(x)=lg

,g(1)=lga<0,故A正確,C錯誤.(2)f(x)=|lnx|的圖象如下:

因為0<a<b且f(a)=f(b),所以|lna|=|lnb|且0<a<1,b>1,所以-lna=lnb,即ab=1,易得2a+b≥2

=2

,當且僅當2a=b,即a=

,b=

時等號成立.故選B.名師點評1在識別函數(shù)圖象時,要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點與

坐標軸的交點、最高點、最低點等排除不符合要求的選項2常把一些對數(shù)型方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形

結(jié)合法求解12020廣東惠州模擬當a>1時,在同一坐標系中,函數(shù)g=a-與f=-loga的

圖象大致是?

D解析

因為a>1,所以g(x)=a-x=

為R上的減函數(shù),且過(0,1);f(x)=-logax為(0,+∞)上的減函數(shù),且過(1,0),故只有D選項符合.22020陜西榆林三模設(shè)1、2、3均為實數(shù),且?=ln1,?=ln21,?=lg3,則A1<2<3

B1<3<2C2<3<1

D2<1<3D解析

因為

=lnx1?

=lnx1,

=ln(x2+1)?

=ln(x2+1),

=lgx3?

=lgx3,所以作出函數(shù)y=

,y1=lnx,y2=ln(x+1),y3=lgx的函數(shù)圖象,如圖所示:

由圖象可知函數(shù)y2,y1,y3與y的交點A,B,C的橫坐標依次為x2,x1,x3,即有x2<x1<x3.故選D.考點三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度一比較對數(shù)值的大小典例2

2020課標Ⅲ理,12,5分已知55<84,134<=log53,b=log85,c=log138,則

?Aa<b<c

Bb<a<c

Cb<c<a

Dc<a<bA解析

a=log53∈(0,1),b=log85∈(0,1),則

=

=log53·log58<

=

<1,∴a<b.又∵134<85,∴135<13×85,兩邊同取以13為底的對數(shù)得log13135<log13(13×85),即log138>

,∴c>

.又∵55<84,∴8×55<85,兩邊同取以8為底的對數(shù)得log8(8×55)<log885,即log85<

,∴b<

.綜上所述,c>b>a,故選A.角度二解簡單的對數(shù)不等式典例3若logaa21<loga2a<0,則a的取值范圍是?A0,1

B?C?

D0,1∪1,∞C解析

由題意得a>0且a≠1,故必有a2+1>2a,又loga(a2+1)<loga2a<0,所以0<a<1,且2a>1,∴a>

.故a的取值范圍是

.角度三與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題典例4已知函數(shù)f=logaa2-1若a=?,求f的單調(diào)區(qū)間;2若f在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍解析(1)當a=

時,f(x)=lo

,由

x2-x>0,得x2-2x>0,解得x<0或x>2,所以函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(2,+∞),利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-∞,0),減區(qū)間為(2,+∞).(2)令g(x)=ax2-x,則函數(shù)g(x)的圖象開口向上,對稱軸為x=

的拋物線,①當0<a<1時,要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù),則g(x)=ax2-x在[2,4]上單調(diào)遞減,且g(x)min=ax2-x>0,即

此不等式組無解.②當a>1時,要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù),則g(x)=ax2-x在[2,4]上單調(diào)遞增,且g(x)min=ax2-x>0,即

解得a>

,又a>1,∴a>1.綜上實數(shù)a的取值范圍為(1,+∞).名師點評1確定函數(shù)的定義域,研究或利用函數(shù)的性質(zhì),都要在其定義域上進行2如果需將函數(shù)解析式變形,一定要保證其等價性,否則結(jié)論錯誤3在解決與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問題時,要優(yōu)先考慮利用對

數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解在利用單調(diào)性時,一定要明確底數(shù)a的取值對函數(shù)增

減性的影響,并且真數(shù)必須為正12020課標Ⅲ文,10,5分設(shè)a=log32,b=log53,c=?,則?Aa<c<b

Ba<b<cCb<c<a

Dc<a<b解析

因為a=log32=log3?<log3?=?=c,b=log53=log5?>log5?=?=c,所以a<c<A>b>0,0<c<1,則?<logbc