數學人教A版選修2-3課堂探究2.1離散型隨機變量及其分布列（第2課時）

課堂探究探究一離散型隨機變量的分布列求離散型隨機變量的分布列的步驟：(1)找出隨機變量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…)；(2)求出隨機變量ξ的每個取值的概率P(ξ＝xi)＝pi；(3)列出表格．【典型例題1】從裝有6個白球，4個黑球和2個黃球的箱中隨機地取出兩個球，規(guī)定每取出1個黑球贏2元，而每取出1個白球輸1元，取出黃球無輸贏．(1)以X表示贏得的錢數，隨機變量X可以取哪些值？求X的分布列．(2)求出贏錢的概率，即X＞0時的概率．解：(1)從箱中取兩個球的情形有以下6種：{2白球}，{1白球1黃球}，{1白球1黑球}，{2黃球}，{1黑球1黃球}，{2黑球}．當取到2白球時，隨機變量X＝－2；當取到1白球1黃球時，隨機變量X＝－1；當取到1白球1黑球時，隨機變量X＝1；當取到2黃球時，隨機變量X＝0；當取到1黑球1黃球時，隨機變量X＝2；當取到2黑球時，隨機變量X＝4.所以隨機變量X的可能取值為－2，－1,0,1,2,4.P(X＝－2)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,12))＝eq\f(5,22)，P(X＝－1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,2),C\o\al(2,12))＝eq\f(2,11)，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,12))＝eq\f(1,66)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,4),C\o\al(2,12))＝eq\f(4,11)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,12))＝eq\f(4,33)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,12))＝eq\f(1,11).所以X的分布列如下：X－2－10124Peq\f(5,22)eq\f(2,11)eq\f(1,66)eq\f(4,11)eq\f(4,33)eq\f(1,11)(2)P(X＞0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(4,11)＋eq\f(4,33)＋eq\f(1,11)＝eq\f(19,33).∴贏錢的概率為eq\f(19,33).規(guī)律總結求離散型隨機變量的分布列的關鍵有兩點：(1)隨機變量的取值；(2)隨機變量每一個取值的概率．探究二離散型隨機變量分布列的性質及應用(1)離散型隨機變量的特征是能一一列出，且每個值各代表一個試驗結果，所以研究離散型隨機變量時，關鍵是隨機變量能取哪些值．(2)在求概率pi時，充分運用分布列的性質，既可減少運算量，又可驗證所求的分布列是否正確．【典型例題2】設隨機變量X的分布列Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常數a的值；(2)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))；(3)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<X<\f(7,10))).思路分析：已知隨機變量X的分布列，根據分布列的性質確定a的值及相應區(qū)間的概率．解：由題意，得隨機變量X的分布列為Xeq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(3,5)eq\f(4,5)eq\f(5,5)Pa2a3a4a5a(1)由分布列的性質得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝eq\f(1,15).(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(4,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(5,5)))＝eq\f(3,15)＋eq\f(4,15)＋eq\f(5,15)＝eq\f(4,5)，或Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))＝1－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≤\f(2,5)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)＋\f(2,15)))＝eq\f(4,5).(3)∵eq\f(1,10)＜X＜eq\f(7,10)，∴X＝eq\f(1,5)，eq\f(2,5)，eq\f(3,5).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<X<\f(7,10)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(1,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(2,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5)))＝eq\f(1,15)＋eq\f(2,15)＋eq\f(3,15)＝eq\f(2,5).規(guī)律總結利用離散型隨機變量分布列的性質可以求隨機變量在某個范圍內取值的概率，此時只需根據隨機變量的取值范圍確定隨機變量可取哪幾個值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列中隨機變量取不同值時所表示的隨機事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．探究三兩點分布的應用兩點分布的幾個特點：(1)兩點分布中只有兩個對應結果，且兩個結果是對立的．(2)兩點分布又稱為0－1分布，應用十分廣泛．(3)由對應事件的概率求法可知：P(x＝0)＋P(x＝1)＝1.【典型例題3】一個袋中有形狀、大小完全相同的3個白球和4個紅球．(1)從中任意摸出1球，用0表示摸出白球，用1表示摸出紅球，即X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，摸出白球，,1，摸出紅球.))求X的分布列；(2)從中任意摸出兩個球，用“X＝0”表示兩個球全是白球，用“X＝1”表示兩個球不全是白球，求X的分布列．思路分析：兩問中X只有兩個可能取值，且為0,1，屬于兩點分布，應用概率知識求出X＝0的概率，然后根據兩點分布的特點求出X＝1的概率，最后列表即可．解：(1)由題意知P(X＝0)＝eq\f(3,7)，P(X＝1)＝eq\f(4,7).∴X的分布列如下表：X01Peq\f(3,7)eq\f(4,7)(2)由題意知P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝eq\f(6,7).∴X的分布列如下表：X01Peq\f(1,7)eq\f(6,7)規(guī)律總結(1)如果一個隨機試驗只有兩個可能的結果，那么就可以用兩點分布來研究，為此只需定義一個隨機變量，使其中一個結果對應1，另一個結果對應0便可以了．(2)兩點分布的應用非常廣泛，如抽取的彩票是否中獎，買回的一件產品是否為正品，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等等，都可以用兩點分布列來研究．探究四超幾何分布及應用超幾何分布是一種很重要的分布，其理論基礎是古典概型，主要運用于抽查產品、摸不同類別的小球等概率模型，其中的隨機變量相應是正品(或次品)的件數、某種小球的個數．【典型例題4】某高二數學興趣小組有7位同學，其中有4位同學參加過高一數學“南方杯”競賽．若從該小組中任選3位同學參加高二數學“南方杯”競賽，求這3位同學中參加過高一數學“南方杯”競賽的同學數ξ的分布列及P(ξ＜2)．思路分析：該問題與抽取產品在本質上是一致的，從而可用超幾何分布解決．解：由題意可知，ξP(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,35)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,35).所以隨機變量ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)P(ξ＜2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝eq\f(1,35)＋eq\f(12,35)＝eq\f(13,35).規(guī)律總結解決此類問題，先分析隨機變量是否滿足超幾何分布，若滿足超幾何分布，則建立超幾何分布列的組合關系式，求出隨機變量取相應值的概率；否則利用概率公式和計數原理求隨機變量取相應值的概率．在解題中不應拘泥于某一特定的類型．探究五易錯辨析易錯點隨機變量的取值錯誤【典型例題5】盒中裝有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的(用過的球即為舊的)，從盒中任取3個使用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數X是一個隨機變量，求X的分布列．錯解：由題意知X服從超幾何分布，且X的取值為0,1,2,3，所以分布列為：X0123Peq\f(84,220)eq\f(108,220)eq\f(27,220)eq\f(1,220)錯因分析：本題關鍵有兩點：一是認清X的取值，題目中說的是盒中舊球個數為X，所以取值應為3,4,5,6，而不是0,1,2,3；二是正確利用公式求解概率，以免出現計算錯誤．正解：從盒中任取3個，這3個可能全是舊的，2個舊的1個新的，1個舊的2個新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中舊球個數可能是3個，4個，5個，6個，即X可以取3,4,5,6.P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,220)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,9)C