選擇性空間向量與立體幾何專題05空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

空間向量與立體幾何專題05空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示2.通過向量坐標(biāo)判斷兩向量特殊位置關(guān)系3.掌握向量長度公式、兩向量夾角公式、空間兩點(diǎn)間距離公式4.培養(yǎng)學(xué)生類比思想、轉(zhuǎn)化思想，提升學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”和“邏輯推理”學(xué)科素養(yǎng)二、知識梳理1.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：設(shè)，則2.空間向量垂直平行的坐標(biāo)表示：當(dāng)時(shí)，3.空間向量的模長與夾角（1）（2）已知，則（3）非零向量與夾角公式三、類型歸納類型一：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類型二：空間向量的垂直、平行、模長問題類型三：利用空間向量解決簡單的立體幾何中的垂直、距離、夾角問題四、類型應(yīng)用類型一：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例11】已知向量，，，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)2(3)4【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)的線性運(yùn)算即可求解，（2）（3）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，【詳解】（1）由，得（2）（3）【變式訓(xùn)練11】已知向量,則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出,利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解.【詳解】∵向量,∴.故選:B.【變式訓(xùn)練12】已知向量則的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】由題可得，故選:B.【變式訓(xùn)練13】若，，，則（

）A．11 B．3 C．4 D．15【答案】C【分析】先求出的坐標(biāo)表示，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可【詳解】由已知，，，∴.故選：C．類型二：空間向量的垂直、平行、模長問題【例21】已知，，且，則________．【答案】2【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示可解.【詳解】因?yàn)?，，所以，解?故答案為：2【例22】設(shè)，若向量與向量平行，則__________.【答案】【分析】根據(jù)已知可得，求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以有，且，所以，，所?故答案為：.【例23】向量的模__________.【答案】【分析】直接計(jì)算模長得到答案.【詳解】，則.故答案為：【例24】已知，，且，則向量與的夾角為__________【答案】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再利用夾角公式求夾角.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，解得；，因?yàn)?，所?故答案為：.【變式訓(xùn)練21】，，則_______．【答案】6【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以；故答案為?【變式訓(xùn)練22】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是_____．【答案】4【分析】利用空間兩點(diǎn)間的距離公式即得．【詳解】∵點(diǎn)和點(diǎn)，∴點(diǎn)到點(diǎn)間的距離是.故答案為：4.【變式訓(xùn)練23】設(shè)是實(shí)數(shù)，已知三點(diǎn)，，在同一條直線上，那么（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】求出，.進(jìn)而根據(jù)三點(diǎn)共線得出，即可列出方程組，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，.因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，所以，解得，所以.故選：D.【變式訓(xùn)練24】已知向量，，且，那么等于（

）A． B． C． D．5【答案】C【分析】先根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零求坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)求模長計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，即，所以，所以，故選：C．【變式訓(xùn)練25】（多選）已知空間向量則下列結(jié)論正確的是（）A． B．與夾角的余弦值為C． D．【答案】AD【分析】由向量的數(shù)量積運(yùn)算以及向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】對于A：，則，即，故A正確；對于B：與夾角的余弦值為，故B錯誤；對于C：，因?yàn)?，所以與不平行，故C錯誤；對于D：，故D正確；故選：AD【變式訓(xùn)練26】已知向量，則向量在向量上的投影向量（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用投影向量的定義求解作答.【詳解】向量，，，所以向量在向量上的投影向量.故選：B【例3】已知向量，，，且．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由已知，使得.解方程組，即可得出答案；（2）求出，，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，求解即可得出的值．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，使得，所以有，解得，所以?（2）由（1）知，，所以，.因?yàn)椋?，即，解?【變式訓(xùn)練3】已知．(1)求；(2)已知點(diǎn)在直線上，求的值；(3)當(dāng)為何值時(shí)，與垂直？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解；（2）利用空間向量共線的坐標(biāo)表示求解；（3）利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示求解.【詳解】（1），，．（2）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，與共線，則存在使得，即，，解得；（3），與垂直,，，時(shí)，與垂直．類型三：利用空間向量解決簡單的立體幾何中的垂直、距離、夾角問題【例41】分析：【詳解】證明：如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方體的棱長為1.則所以又所以所以所以【例42】如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且．求．【答案】【分析】利用空間向量法求兩個向量所成角的余弦值.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有，，，，，，，，所以，，.所以.【例43】如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H為C1G的中點(diǎn)．求||.【答案】【分析】利用空間向量法求向量的模長得到結(jié)果.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有，，，，，，，，.【變式訓(xùn)練41】棱長為2的正方體中，E、F分別是、DB的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H是的中點(diǎn)．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決下列問題：(1)求證：；(2)求；(3)求的長．【答案】(1)證明見解析;(2);(3).【分析】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，首先求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再證明即可；（2）求出的坐標(biāo)，再根據(jù)即可求得答案；（3）轉(zhuǎn)化為求即可.【詳解】（1）解：如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,因?yàn)?，所以，所以，故；?）解：因?yàn)?，所以因?yàn)?，?所以；（3）解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以又因?yàn)?，所?.即.【變式訓(xùn)練42】如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求的距離；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）以點(diǎn)C作為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的模長公式計(jì)算即可；（2）利用向量夾角運(yùn)算公式計(jì)算的值；【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得，，，．，∴∴．所以的距離為.（2）依題意得，，，，∴，，，，，∴．【變式訓(xùn)練43】在長方體中，已知，連接，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．(1)求與的坐標(biāo)；(2)求向量在平面上的投影向量的坐標(biāo)．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）根據(jù)給定的空間直角坐