拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件-2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第3

章圓錐曲線的方程3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)1.掌握拋物線的幾何性質(zhì)．(重點)2.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問題．(重點)3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點弦、弦中點等問題．(難點)學(xué)習(xí)目標(biāo)一、回顧與探究拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.即:當(dāng)|MF|=d時(d為M到l的距離)點M的軌跡是拋物線

定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得拋物線的一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0).拋物線的四種不同標(biāo)準(zhǔn)方程圖像

標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程一、回顧與探究由拋物線y2=2px(p>0)如何研究拋物線y2=2px(p>0)的幾何性質(zhì)?1.范圍：二、拋物線的幾何性質(zhì)2.對稱性：若點(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px，則(-y)2=2px,即點(x,-y)也在拋物線上,故拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對稱.而點(x,-y)與點（x,y）關(guān)于x軸對稱,定義：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點.∴y2=2px(p>0)中，令y=0，則x=0.即拋物線y2=2px(p>0)的頂點(0,0).3.頂點：二、拋物線的幾何性質(zhì)4.離心率：由定義知,拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑.焦半徑公式：5.焦半徑：二、拋物線的幾何性質(zhì)6.焦點弦：過拋物線的焦點的弦，叫做拋物線的焦點弦.焦點弦公式：利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖.|AB|=2p2p越大，拋物線張口越大7.通徑：二、拋物線的幾何性質(zhì)判斷下列命題是否正確：×

×

√

√

√

方程圖形范圍對稱性頂點焦半徑焦點弦

通徑y(tǒng)2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pylFyxOlFyxOlFyxOx≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0lFyxO關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱

(0,0)拋物線的簡單幾何性質(zhì)二、拋物線的幾何性質(zhì)二、拋物線的幾何性質(zhì)直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線有三種位置關(guān)系：相交、相切和相離．設(shè)直線y＝kx＋m與拋物線y2＝2px(p＞0)位置關(guān)系判定方法：方程法聯(lián)立：列式：消元：k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.交于1點交于2點切于1點0個公共點三、題型與方法題型一

拋物線性質(zhì)的應(yīng)用把握三個要點確定拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項是x還是y，一次項的系數(shù)是正還是負(fù)．(2)關(guān)系：頂點位于焦點與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對稱軸．(3)定值：焦點到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.三、題型與方法題型一

拋物線性質(zhì)的應(yīng)用[跟蹤訓(xùn)練]1已知拋物線y2＝8x.(1)求出該拋物線的頂點、焦點、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍；[跟蹤訓(xùn)練]1已知拋物線y2＝8x.(2)以坐標(biāo)原點O為頂點，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點F是△OAB的重心，求△OAB的周長．三、題型與方法題型一

拋物線性質(zhì)的應(yīng)用三、題型與方法題型二直線與拋物線的位置關(guān)系例2.已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當(dāng)k為何值時，l與C：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點．三、題型與方法題型二直線與拋物線的位置關(guān)系例2.已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當(dāng)k為何值時，l與C：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點．直線與拋物線交點問題的解題思路(1)判斷直線與拋物線的交點個數(shù)步驟：“聯(lián)立、消元、列式”，利用判別式判斷方程解的個數(shù)．(2)直線與拋物線有一個公共點時有兩種情形：①直線與拋物線的對稱軸重合或平行；

②直線與拋物線相切．三、題型與方法題型二直線與拋物線的位置關(guān)系[跟蹤訓(xùn)練]2若拋物線y2＝4x與直線y＝x－4相交于不同的兩點A，B，求證OA⊥OB.三、題型與方法題型三

中點弦及弦長公式

例3.斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于兩點A、B，

求焦點弦AB的長．

解法1：拋物線的焦點F(1,0),直線AB：y=x-1三、題型與方法題型三

中點弦及弦長公式

例3.斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于兩點A、B，

求焦點弦AB的長．三、題型與方法題型三

中點弦及弦長公式

例3.斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于兩點A、B，

求焦點弦AB的長．三、題型與方法題型三

中點弦及弦長公式弦長計算的基本方法：（1）求交點坐標(biāo)，利用距離公式求解（適合交點坐標(biāo)易于計算的類型，如直線過原點，直線過拋物線上一定點等）（2）交點坐標(biāo)“設(shè)而不求”：“聯(lián)立、消元、列式”結(jié)合韋達(dá)定理，判別式及弦長公式求解；此法為常用方法，特別適合含參數(shù)的弦長問題。（3）焦半徑公式、焦點弦長公式：適合直線過拋物線的焦點時弦長的計算。中點弦問題：（1）中點弦問題求解方法：“設(shè)而不求”、“點差法”；優(yōu)先考慮使用“點差法”。（2）拋物線“斜率為k的平行弦的中點的軌跡是含于拋物線內(nèi)平行于拋物線的對稱軸的一條射線”。三、題型與方法題型三

中點弦及弦長公式[跟蹤訓(xùn)練]3過點Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點Q所平分，求AB所在直線的方程．三、題型與方法題型三

中點弦及弦長公式[跟蹤訓(xùn)練]3過點Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點Q所平分，求AB所在直線的方程．三、題型與方法題型四

拋物線的綜合應(yīng)用例4.求拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0的最小距離．三、題型與方法題型四

拋物線的綜合應(yīng)用例4.求拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0的最小距離．三、題型與方法題型四

拋物線的綜合應(yīng)用例5經(jīng)過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，經(jīng)過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.思路：證明點D的縱坐標(biāo)與點B的縱坐標(biāo)相等即可.證明：如圖，以拋物線的對稱軸為x軸，頂點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系xoy,設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0)①三、題型與方法題型四

拋物線的綜合應(yīng)用例5經(jīng)過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，經(jīng)過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.當(dāng)y02=p2時，易知結(jié)論成立。所以，直線DB平行于拋物線的對稱軸．三、題型與方法題型四

拋物線的綜合應(yīng)用例6.如圖，已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過點P(2,0)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點M，N.(1)求y1y2的值；解：（1）依題意，設(shè)AB的方程為x＝my＋2，代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，從而y1y2＝－8.證明:（2）設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，三、題型與方法題型四

拋物線的綜合應(yīng)用證明:（2）設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，設(shè)直線AM的方程為x＝ny＋1，代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，三、題型與方法題型四

拋物線的綜合應(yīng)用定值與定點問題的求解策略1.欲證某個量為定值,先將該量用某變量表示,通過變形化簡若能消掉此變量,即證得結(jié)論,所得結(jié)果即為定值.2.尋求一條直線經(jīng)過某個定點的常用方法:(1)通過方程判斷;(2)對參數(shù)取幾個特殊值探求定點,再證明此點在直線上;(3)利用曲線的性質(zhì)(如對稱性等),令其中一個變量為定值,再求出另一個變量為定值;(4)轉(zhuǎn)化為三點共線的斜率相等或向量平行等.三、題型與方法題型四

拋物線的綜合應(yīng)用[跟蹤訓(xùn)練]4如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點為坐標(biāo)原點，點P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，證明：直線AB的斜率為定值．三、題型