雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件-2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第3

章圓錐曲線的方程3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.2.會利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單實際問題.

3.與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較,并加以區(qū)分.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個定點|F1F2|的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:問題：如果把橢圓定義中“距離的和”改為“距離的差”那么動點的軌跡會發(fā)生怎樣的變化？知識回顧一.雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.通常情況下，我們把|F1F2|記為2c(c>0),

常數(shù)記為2a(a>0)，則雙曲線定義還可以描述為若||MF1|-|MF2||=2a<2c，則點M的軌跡是雙曲線.思考1

定義中為什么強調(diào)距離差的絕對值為常數(shù)？一、雙曲線的定義如果不加絕對值，那得到的軌跡只是雙曲線的一支.一.雙曲線的定義新知探究①若2a=2c,即||MF1|-|MF2||=

|F1F2|，則軌跡是什么？②若2a>2c,即||MF1|-|MF2||>

|F1F2|，則軌跡是什么？③若2a=0,即|MF1|=|MF2|，則軌跡是什么？此時軌跡為以F1或F2為端點的兩條射線此時軌跡不存在此時軌跡為線段F1F2的垂直平分線分3種情況來看：

思考2

定義中為什么強調(diào)常數(shù)要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？如果不對常數(shù)加以限制，動點的軌跡會是什么？一.雙曲線的定義

設(shè)M(x,y)為雙曲線上任一點,雙曲線的焦距為2c(c>0),那么焦點F1,F2的坐標(biāo)分別為F1(-c,0),F2(c,0),又設(shè)||MF1|-|MF2||=2a(0<a<c),則有二、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程①

建系:如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.②設(shè)點：③列式：④化簡整理得：方程推導(dǎo)思考

類比橢圓，請思考焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

這個方程也是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點在y軸上，焦點坐標(biāo)分別是F1(0,-c),F2(0,c)的雙曲線，這里c2=a2+b2.二、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

我們把上述方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點在x軸上，焦點坐標(biāo)分別是F1(-c,0),F2(c,0)的雙曲線，這里c2=a2+b2.三.辨析和應(yīng)用1．平面內(nèi)到兩定點的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線．

(

)2．平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線．

(

)3．平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．

(

)4．在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b，c之間的關(guān)系與橢圓中a，b，c之間的關(guān)系相同．

(

)概念辨析：××××

應(yīng)用1

已知雙曲線的焦點

F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點P到焦點的距離差的絕對值等于8，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.三.辨析和應(yīng)用解：因為雙曲線的焦點在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：由2c=10,2a=6,得c=5,a=3,所以b2=52-32=16.

應(yīng)用2

已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.三.辨析和應(yīng)用解：建立平面直角坐標(biāo)系，使兩點A,B在x軸

上，并且原點與線段AB的中點重合，設(shè)炮彈炸點P的坐標(biāo)為(x,y)，則|PA|-|PB|=340×2=680，即2a=680,a=340又|AB|=800，所以2c=800，c=400,b2=c2-a2=44400因為|PA|-|PB|=680>0，所以點P的軌跡是雙曲線的右支，因此x≥340,所以，炮彈炸點的軌跡方程為：想一想：如果A,B兩處同時聽到爆炸聲，那么爆炸點應(yīng)在什么樣的曲線上？答：爆炸點應(yīng)在線段AB的中垂線上.

由應(yīng)用2可知，利用兩個不同的觀測點測得同一炮彈爆炸聲的時間差,就可以確定爆炸點所在的雙曲線的方程，但是不能確定爆炸點的準(zhǔn)確位置.

要想確定爆炸點的準(zhǔn)確位置，還需增設(shè)一個觀測點C，利用A,C(或B,C)兩處測得的爆炸聲的時間差,求爆炸點所在的另一個雙曲線的方程.

解這兩個雙曲線方程組成的方程組,就能確定爆炸點的準(zhǔn)確位置.

這是雙曲線的一個重要應(yīng)用.思考如何準(zhǔn)確測出爆炸點的位置？

三.辨析和應(yīng)用四.題型與方法題型一求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程把點A的坐標(biāo)代入，得b2＝9.無解；四.題型與方法題型一求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(3)設(shè)雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1，AB<0.因為點P，Q在雙曲線上，解得四.題型與方法1．求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)定位：是指確定與坐標(biāo)系的相對位置，在標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下，確定焦點位于哪條坐標(biāo)軸上，以確定方程的形式．(2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解．2．雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a，b，c，再寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．提醒：若焦點的位置不明確，應(yīng)注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1的形式，注意標(biāo)明條件mn＜0.四.題型與方法題型一求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程四.題型與方法題型二

雙曲線中焦點三角形問題(1)由雙曲線的定義得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，假設(shè)點M到另一個焦點的距離等于x，則|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故點M到另一個焦點的距離為10或22.四.題型與方法題型二

雙曲線中焦點三角形問題(2)將|PF2|－|PF1|＝2a＝6兩邊平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，則|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得四.題型與方法題型二

雙曲線中焦點三角形問題四.題型與方法題型三

與雙曲線有關(guān)的軌跡問題解：以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，(R為△ABC的外接圓半徑)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點)．四.題型與方法題型三

與雙曲線有關(guān)的軌跡問題求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意：(1)雙曲線的焦點所在的坐標(biāo)軸；(2)檢驗所求的軌跡對應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支．常見的方法：基本軌跡法尋找?guī)缀侮P(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義，待定系數(shù)法得出對應(yīng)的方程．四.題型與方法題型三

與雙曲線有關(guān)的軌跡問題[跟蹤訓(xùn)練]3如圖所示，已知定圓F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圓F2：x2＋y2－10x＋9＝0，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程．解：圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，圓心F1(－5,0)，半徑r1＝1.圓F2：(x－5)2＋y2＝42，圓心F2(5,0)，半徑r2＝4.設(shè)動圓M的半徑為R，則有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.∴點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的左支，雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的特點①方程用“－”號連接；②分母是a2,b2,且a>0,b>0，但a,b大小不定；③c2=a2+b2

；

④

如果x2的系數(shù)是正的，則焦點在x軸上；

如果y2的系數(shù)是正的，則焦點在y軸上.五.小結(jié)與練習(xí)課堂小結(jié)橢圓雙曲線定義方程焦點在x軸上焦點在y軸上焦點a,b,c的關(guān)系F1(－c,0),F2(c,0)a>0,b>0,c2=a2+b2

a,b,c中c最大a>b>0,a2=b2+c2

a,b,c中a最大雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系||MF1|－|MF2||=2a(a<c)|MF1|+|MF2|=2a(a>c)F1(0,－c),F2(0,c)F1(－c,0),F2(c,0)F1(0,－c),F2(0,c)五.小結(jié)與練習(xí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練五.小結(jié)與練習(xí)1．動點P到點M(1,0)的距離與點N(3,0)的距離之差為2，則點P的軌跡是(

)A．雙曲線

B．雙曲線的一支

C．兩條射線 D．一條射線2．已知F1(－8,3)，F(xiàn)2(2,3)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝10，則