試驗設計及數(shù)據(jù)處理

試驗設計與數(shù)據(jù)處理方法總述及總結王亞麗（數(shù)學與信息科學學院08統(tǒng)計1班081120132）摘要：實驗設計與數(shù)據(jù)處理是一門非常有用的學科，是研究如何經(jīng)濟合理安排試驗可以解決社會中存在的生產(chǎn)問題等，對現(xiàn)實生產(chǎn)有很重要的指導意義。因此本文根據(jù)試驗設計與數(shù)據(jù)處理進行了總述與總結，以期達到學習、理解、掌握的以及靈活運用的目的。1試驗設計與數(shù)據(jù)處理基本知識總述1.1試驗設計與數(shù)據(jù)處理的基本思想試驗設計與數(shù)據(jù)處理是數(shù)理統(tǒng)計學中的一個重要分支。它是以概率論、數(shù)理統(tǒng)計及線性代數(shù)為理論基礎，結合一定的專業(yè)知識和實踐經(jīng)驗，研究如何經(jīng)濟、合理地安排實驗方案以及系統(tǒng)、科學地分析處理試驗結果的一項科學技術，從而解決了長期以來在試驗領域中，傳統(tǒng)的試驗方法對于多因素試驗往往只能被動地處理試驗數(shù)據(jù)，而對試驗方案的設計及試驗過程的控制顯得無能為力這一問題。1.2試驗設計與數(shù)據(jù)處理的作用（1） 有助于研究者掌握試驗因素對試驗考察指標影響的規(guī)律性，即各因素的水平改變時指標的變化情況。（2） 有助于分清試驗因素對試驗考察指標影響的大小順序，找出主要因素。（3） 有助于反映試驗因素之間的相互影響情況，即因素間是否存在交互作用。（4） 能正確估計和有效控制試驗誤差，提高試驗的精度。（5） 能較為迅速地優(yōu)選出最佳工藝條件（或稱最優(yōu)方案），并能預估或控制一定條件下的試驗指標值及其波動范圍。（6） 根據(jù)試驗因素對試驗考察指標影響規(guī)律的分析，可以深入揭示事物內(nèi)在規(guī)律，明確進一步試驗研究的方向。1?3試驗設計與數(shù)據(jù)處理應遵循的原則重復原則：重可復試驗是減少和估計隨機誤差的的基本手段。隨機化原則：隨機化原則可有效排除非試驗因素的干擾，從而可正確、無偏地估計試驗誤差，并可保證試驗數(shù)據(jù)的獨立性和隨機性。局部控制原則：局部控制是指在試驗時采取一定的技術措施方法減少非試驗因素對試驗結果的影響。用圖形表示如下：2試驗設計與數(shù)據(jù)處理方法總述和總結2.1方差分析概念：方差分析是用來檢驗兩個或兩個以上樣本的平均值差異的顯著程度。并由此判斷樣本究竟是否抽自具有同一均值的總體。優(yōu)點：方差分析對于比較不同生產(chǎn)工藝或設備條件下產(chǎn)量、質(zhì)量的差異，分析不同計劃方案效果的好壞和比較不同地區(qū)、不同人員有關的數(shù)量指標差異是否顯著時，是非常有用的。缺點：對所檢驗的假設會發(fā)生錯判的情況，比如第一類錯誤或第二類錯誤的發(fā)生?；驹恚悍讲罘治龅幕舅悸肥且环矫娲_定因素的不同水平下均值之間的方差，把它作為對由所有試驗數(shù)據(jù)所組成的全部總體的方差的第一個估計值；另一方面再考慮在同一水平下不同試驗數(shù)據(jù)對于這一水平的均值的方差，由此計算出對由所有試驗數(shù)據(jù)所組成的全部數(shù)據(jù)的總體方差的第二個估計值。比較上述兩個估計值，如果這兩個方差的估計值比較接近就說明因素的不同水平下的均值間的差異并不大，就接受零假設；否則，說明因素的不同水平下的均值間的差異比較大。數(shù)據(jù)處理基本步驟：定義總離差和為各樣本觀測值與總均值的離差平方和,SS=ZS(X-X)2T iji=1j=1其中：X――樣本均值，即XXij式中：N=nk——樣本觀測值總數(shù)對離差平方和分解如下：SS=京n(X-X)T iji=1j=1=工藝[(X-X)+(黑-X)]iji ii=1j=1=工藝[(X-黑)2+lLn(X-X)2]+2工藝(X-X)(X-X)iji i ijiii=1j=1 i=1 i=1j=式中：Xi 第i個樣本的均值即X=-工Xinijj=1交叉項：2工藝(X-X)(X-X)ijiii=1j==2工[(X-X)工(X-X_)]TOC\o"1-5"\h\zi ijii=1 j=1=2工(X-X)(nX-nX)=0i i ii=1令SS n(X-X)2T ii=1SS=ZS(X-X)2E ijii=1j=1其中，SSE刻畫了全部n次試驗中純粹由隨機因素影響所產(chǎn)生的離差平方和，簡

稱為組內(nèi)平方和，也稱為誤差平方和。SSR刻畫了因素水平A的差異對數(shù)據(jù)離散型的作用，稱為組間平方和，或因素平方和。例如四種不同燈絲配料方案數(shù)據(jù)如下，問燈絲配料方案對燈泡使用壽命有無顯著影響？解：運用方差分析發(fā)得總試驗次數(shù)N=26,k二4,ni二7,叮5叫二8,n4=6燈泡品種試驗結果/hA11600161016501680170017201800A215801640164017001750A31460155016001620164016601740 1820A4151015201530157016001680計算如下:=13090,T=1LX=94104 jj=1T=工X=11760,T工=13090,T=1LX=94104 jj=1TOC\o"1-5"\h\zj 2 j 3 jj=1 j=1 j=1Q=工X2=19785400,Q=》X21 j 2 jQ=工X2=19785400,Q=》X21 j 2 jj=1 j=13 j 4 jj=1 j=1i=1j=1X2=69895900jX=42570,Q=1Li=1j=1X2=69895900jiji=1j=1r~riSST=Q-亓=195711^4二=151350.83NSS=SS-SSRTE將上述各項計算出結果后，可利用方差分析表進行方差分析表-1 方差分析表方差來源離差平方和自由度均方差統(tǒng)計檢驗量顯著性配料方案44360.71314786.902.15誤差15135.83226879.58總方差195711.5425⑹結論：從F分布表中差得F,（3,22）二3.05,因為F<F,（3,22）故接受,即可認為燈絲不同配料方案對燈泡使用壽命無顯著影響，亦可說明各方案都可制作燈泡。但在實際生產(chǎn)中可選用工藝簡單、造價經(jīng)濟的配料方案，進行方差分析的目的也在此。2.2正交試驗設計（1） 基本思想：正交試驗設計利用正交表即可對試驗進行合理安排，挑選少數(shù)具有代表性的組合處理試驗一一以少代多，又可對實施的少數(shù)個組合處理結果進行科學的分析，做出正確的結論一一以少求全。（2） 優(yōu)點：正交試驗設計從全面試驗中挑選部分試驗點進行試驗，減少試驗次數(shù)，且試驗點均勻分散，整齊可比。（3） 缺點：為了照顧整齊可比，試驗點有時不能保證均勻分散，且試驗點的數(shù)目就會比較多（試驗次數(shù)隨水平數(shù)的平方而增加）.（4） 表示符號：Ln（tq），其中L是正交表代號n，是行數(shù)（安排試驗次數(shù)），t是因素水平數(shù)，q是列數(shù)（最多安排因素個數(shù)）（5） 性質(zhì)：（1）表中任何一列，各水平都出現(xiàn)，且出現(xiàn)次數(shù)相等。（2）表中任意兩列之間，各種不同水平的所有可能組合都出現(xiàn)，且出現(xiàn)的次數(shù)相等。（6） 正交試驗設計和數(shù)據(jù)處理步驟：（1）明確試驗目的，確定試驗指標Q）挑選因素與水平，制定因素水平表（3）選擇正交表，并進行表頭設計（4）確定試驗方案例題：乙醇溶液提取葛根中有效成分的試驗，試驗考察指標有3項：提取物得率，提取物中葛根總黃酮含量，總黃酮中葛根素含量，且3個指標越大越好。選取3個相對重要的因素：乙醇濃度，液固比和提取物回流次數(shù)進行正交試驗。解：運用綜合平衡法，不考慮交互作用，選用正交表L（34）安排試驗，試驗和結果表如表-2

表-2 葛根有效成分提取試驗方案與結果試驗方案試驗結果試驗號A乙醇濃度％B液固比C回流次數(shù)提取物得率/%葛根總黃酮含量/%葛根素含量/%111116.25.12.1212227.46.32.5313337.87.22.6421238.06.92.4522317.06.42.5623128.26.92.5731327.47.32.8832138.28.03.1933216.67.02.2先對各指標分別進行直觀分析，分別得出因素的主次和最優(yōu)組合條件，結果如表-3：表-3 葛根有效成分提取試驗結果分析試驗結果AB空列C提取物得率/%Ki21.421.622.619.8K223.222.622.023.0K322.222.622.224.0ki7.137.207.536.60k27.737.537.337.67k37.407.537.408.00極差R1.81.00.64.2因素主次CAB最優(yōu)組合條件CAB需CAB3 2 2或 3 2 3Ki18.619.320.018.5

葛根總黃酮含量/%K220.220.720.220.5K322.321.120.922.1ki6.206.436.676.17k26.736.906.736.83k37.437.036.977.37極差R3.71.80.93.6因素主次ACB最優(yōu)組合條件ACB3 3 3量/%Ki7..27.37.76.8K27.48.17.17.8K38.17.37.98.1ki2.402.432.572.27k22.472.702.372.60k32.702.432.632.70極差0.90.80.81.3因素主次CAB最優(yōu)組合條件CAB3 2 2再進行綜合平衡分析得，最優(yōu)組合條件A3B2C3,即乙醇濃度70%,液固比為6,回流3次。2.3均勻?qū)嶒炘O計概念：均勻?qū)嶒炘O計就是只考慮試驗點在試驗范圍，是部分因子設計的主要方法之一，它適用于多因素多水平的試驗設計場合，試驗次數(shù)等于因素的水平數(shù)，是大幅度減少試驗次數(shù)的一種優(yōu)良的試驗設計方案。（2）特點：（1）每個因素的每個水平做一次且僅做一次試驗。（2） 任兩個因素的試驗點點在格子上，每行每列有且僅有一個試驗點，且這兩點反映了試驗安排的均衡性。（3） 均勻設計表任兩列組成的試驗方案一般并不等價。（4） 當因素的水平數(shù)增加時，試驗數(shù)按水平數(shù)的增加在增加。（3）思想：均勻試驗設計沿用近30年來發(fā)展起來的“回歸設計”方法，運用控制論中的“黑箱”思想，把整個過程看作一個“黑箱”，把參與試驗的因素X「X2，Xn，通過運用均勻設計法安排試驗，并作為系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)而把試驗指標（結?果）丫，作為輸出參數(shù)（如圖J所示）。系 統(tǒng) ?Y（黑箱）圖-1 試驗因素（輸入）與試驗指標（輸出）系統(tǒng)

在數(shù)學上可以把輸出參數(shù)Y與輸入?yún)?shù)X（i=1，2，，n）的關系用函數(shù)式表示Y=f（x,x,x） …1 2 n函數(shù)的模型對不同的系統(tǒng)可根據(jù)理論或憑經(jīng)驗進行假設，然后根據(jù)試驗結果運用回歸分析等方法確定模型中的系數(shù)。（4）優(yōu)點：“均勻設計”方法的思路是去掉“整齊”可比的要求，通過提高試驗點“均勻分散”的程度，使試驗點具有更好的代表性，使得能用較少的試驗獲得較多的信息。⑸表示符號：Un（nm）或Un（nm），其中，“U”表示均勻設計，小標“n”表示要做n次試驗，括號中“n”表示每個因素有個n水平（試驗時水平數(shù)可以小于試驗次數(shù)，但必須能被試驗次數(shù)整除），“m”表示該表有m個因素（列）u的右上角加“*”和不加“*”分別代表兩種不同類型的均勻設計表。示例

表-4U5（53）123112422433312144315555U5（53）的使用表因素數(shù)列號D2120.310031230.4570（7）試驗數(shù)據(jù)處理及步驟：具體步驟見例題例題：考慮一個三狀態(tài)Al，A2,A3和兩狀態(tài)BB2以及C1C2之定性因素的均勻設計。我們選的表U6（323）如下所示A B CA1A2A1A2A3A2AB1B2B2BiB1B2C1C1C2C2C1C2592646550501608532A狀態(tài)對應3個特征變量Z11，Z12,Z13,我們選其中2個Z11，Z12,；B狀態(tài)對應2個特征變量Z21，Z22，我們選Z21，C狀態(tài)對應2個特征變量Z31，Z32，我們?nèi)　?。這是可列出含有4個虛擬變量的回歸方程為：Y=k+kZ+kZ+kZ+kZ+e0 11 11 12 12 21 21 31 31建立回歸方程后再求解即可，此處不再贅述。（8）均勻試驗設計應特別注意的問題：（1）試驗次數(shù)為奇數(shù)時的均勻試驗設計表的問題，對策之一在因素排列水平不變的條件下，將均勻設計表中某些列從上到下的水平號碼做適當?shù)恼{(diào)整，也就是將原來最后一個水平與第一個水平銜接起來，組成一個封閉圈，然后從任意一處開始定為第一水平，按原方向或相反方向排出第二水平、第三水平等等；對策之二改變因素水平的排列順序。（2）選用的均勻設計表的試驗次數(shù)應大于回歸模型中回歸系數(shù)的個數(shù)。2.4回歸正交試驗設計（1） 回歸正交試驗簡介：正交試驗設計是將試驗安排與數(shù)據(jù)的回歸分析結合起來考慮，在試驗中，通過適當?shù)匕才旁囼烖c，使得在每個試驗點上的獲得的數(shù)據(jù)含有最大的信息，并且各自變量（因素）向量間滿足正交性以便于回歸分析；然后再用回歸分析處理試驗數(shù)據(jù)，將試驗指標與被考察的各因素間的關系以回歸方程表示出來?；貧w正交設計兼容了正交試驗設計與回歸分析的優(yōu)點，是一種優(yōu)良的試驗設計方法。（2） —次回歸正交試驗設計模型：一次回歸正交設計就是利用回歸正交原理，建立試驗指標（y與m個試驗因素xrX2,-.,xm，之間回歸方程:y=b+bx+bx+ +bx0 1 1 2 2 mm式中：b0,b1，-bm――回歸模型的參數(shù)模型的自變量（3）—次回歸正交試驗設計的基本方法（1）確定因素的變化范圍，根據(jù)試驗指標y,選擇需要考察的m個因素jj=I，2,…,m），并確定每個因素的取值范圍。一般地說，上限于與下限的距離愈小，愈接近最佳水平范圍，試驗求得的回歸方程的預測性就越好。設因素xj的變化范圍為［xj1,xj2］，分別稱xj1和xj2為因素xj的下限和上限，并將它們的算術平均值稱為零水平J0，即上限與零水平之差稱為因素xj的變化區(qū)間，用Aj表示，即A二x—xjj2 j0對因素的水平進行編碼，編碼的目的是為了將試驗效應y對因素的回歸關系轉(zhuǎn)化為y對編碼值的回歸關系。編碼值為x—xz二——

jAj編碼以后，試驗因素被編為-1,0,和1,即Zj1=—1Zj2=0Zj3=1一般稱xj為自然變量，Zj為規(guī)范變量。確定零水平的重復次數(shù)，零水平取值是各個因素的基準水平，其重復的次數(shù)應根據(jù)實際情況和實驗要求而定。選擇合適的正交表，回歸正交表有如下特點1)任一列編碼的和為0.工z=0即 i=iij2)任兩列編碼的乘積之和等于零，即工zz=0(k<j；j=1,2,...,m)ijkJi=1(4)—次回歸正交試驗設計的統(tǒng)計分析：1)一次回歸方程的建立，如果采用二水平正交表編制m元一次回歸正交設計，一共進行了N次試驗，其試驗結果以彳與…,ym，則一次回歸的數(shù)學模型為y=b+瓦bx+瓦bxx+e(i=1,2,...,N,j=1,2,...,m)i0 jij ijikijij=1 k<j根據(jù)最小二乘原理建立回歸方程，可得回歸系數(shù)為

b=?-o=

oNBb=b=?-o=

oNBb=—ij=

ij Ni4=1——=yNX