誤差的基本性質(zhì)與處理

第1章緒論1-1研究誤差的意義是什么？簡述誤差理論的主要內(nèi)容。答：研究誤差的意義（1）正確認識誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因，以消除或減小誤差。（2）正確處理測量和實驗數(shù)據(jù)，合理計算所得結(jié)果，以便在一定條件下得到更接近于真值的數(shù)據(jù)。（3）正確組織實驗過程，合理設(shè)計儀器或選用儀器和測量方法，以便在最經(jīng)濟的條件下，得到理想的結(jié)果。誤差理論的主要內(nèi)容：（1）討論形成誤差的原因；（2）各類誤差的特征及處理方法；（3）對測量結(jié)果進行評定。1-2試述測量誤差的定義及分類，不同種類誤差的特點是什么？答1：測量誤差的定義：誤差=測得值一真值。測量誤差的分類：隨機誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差。各類誤差的特點：（1） 隨機誤差：服從統(tǒng)計規(guī)律，具有對稱性、單峰性、有界性和抵償性；（2） 系統(tǒng)誤差：不服從統(tǒng)計規(guī)律，表現(xiàn)為固定大小和符號，或者按一定規(guī)律變化；（3） 粗大誤差：誤差值較大，明顯地歪曲測量結(jié)果。答2：測量誤差就是測的值與被測量的真值之間的差；按照誤差的特點和性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差。系統(tǒng)誤差的特點是在所處測量條件下，誤差的絕對值和符號保持恒定，或遵循一定的規(guī)律變化（大小和符號都按一定規(guī)律變化）；隨機誤差的特點是在所處測量條件下，誤差的絕對值和符號以不可預(yù)定方式變化；粗大誤差的特點是可取性。1-3試述誤差的絕對值與絕對誤差有何異同，并舉例說明。答1：相同點：都是測量值與真值之差。不同點：誤差的絕對值都是正值，而絕對誤差有正、有負，反映了測得值與真值的差異。例：某長度的絕對誤差為一0.05mm,而該誤差的絕對值為一0.05lmm=0.05mm。

(1)誤差的絕對值都是正數(shù)，只是說實際尺寸和標準尺寸差別的大小數(shù)量，不反映是“大了”還是“小了”，只是差別量；絕對誤差即可能是正值也可能是負值，指的是實際尺寸和標準尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。(2)就測量而言,前者是指系統(tǒng)的誤差未定但標準值確定的，后者是指系統(tǒng)本身標準值未定。1-4什么叫測量誤差？什么叫修正值？含有誤差的測定值經(jīng)修正后，能否獲得被測量的真值？1-4答：1)測量誤差：測得值與被測量真值之差。2)修正值：為消除固定系統(tǒng)誤差用代數(shù)法加到測量結(jié)果上的值，是誤差的相反數(shù)。3)經(jīng)修正后仍然不能得到被測量的真值，理由是修正值本身也含有誤差。1-51)測量誤差：測得值與被測量真值之差。2)修正值：為消除固定系統(tǒng)誤差用代數(shù)法加到測量結(jié)果上的值，是誤差的相反數(shù)。3)經(jīng)修正后仍然不能得到被測量的真值，理由是修正值本身也含有誤差。1-5測得某三角塊的三個角度之和為180°00＇02＇＇，試求測量的絕對誤差和相對誤差。解：真值為180°絕對誤差：18°?！恪?°2〃—18°。=2相對誤差：麗=而圖莎=°-°相對誤差：麗=而圖莎=°-°0031%1-6O1-6在萬能測長儀上，測量某一被測件的長度為50mm,已知其最大絕對誤差為1pm,試問該被測件的真實長度為多少？解：因為L=5°mm,<5=°.°°1mm所以L=L+6=(5°.°°°+°.°°l)mm°1-7用二等標準活塞壓力計測量某壓力的100?2Pa,該壓力用更準確的辦法測得為100?5Pa,問二等標準活塞壓力計測量值的誤差是多少？解：以1°°.5Pa未約定真值,則二等標準活塞壓力計測量值的絕對誤差和相對誤差為絕對誤差：1°°.2Pa－1°°.5Pa=－°.3Pa相對誤差：°.3-°.3%1°°.51-8在測量某一長度時，讀數(shù)為2.31m，其最大絕對誤差為20pm，試求其最大相對誤差。解：最大相對誤差為2°卩m2°卩m2.31m2°x1°-6m2.31m=°.°°°87%1-9使用凱特擺時，g由公式g=4“2(h+h)T2給定。今測出長度他+h2)為(1?04230±0.00005)1212m，振動時間T為(2.0480±0?0005)。試求g及其最大相對誤差。如果(h汁h(huán))測出為(1?04220±0.00005)12m,為了使g的誤差能小于0?001m/s2,T的測量必須精確到多少？

4兀21解：設(shè)="+◎，則g二〒2.04802g=俎=4x3?141592xL。4230=9.8104m/s22.04802T2 ⑵根據(jù)相對誤差的概念：心106+f），T=T06+fT）其中：f、fT分別為1和T的相對誤差，如此有:4兀21 16+f）g= =4兀2—0 rT2 T2（1+f）0Tx2.2005x2.2005=0.051%2.0480fg=少2fT=船+2(3)要求&g<0.001m/s2，且(h]+h2)=(1.04220±0.00005)m根據(jù)f根據(jù)fg二f1+2fT以及fg弋可得=竺= =0.000048g 9.104220因此fT又fT==1f-f)=0.因此fT又fT=2g 1AT—，故AT=TfT=0.00005s。所以，T的測量必須精確到0.00005s。1-10檢定2?5級（即引用誤差為2.5%）的全量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)50V刻度點的示值誤差2V為最大誤差，問該電壓表是否合格？解：因為最大誤差為2V,故該表的引用誤差為—=2%<2.5%100所以該電壓表示合格的。1-11為什么在使用微安表等各種電表時，總是希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用？答：對于一個確定的電表，其等級是一定的，此時最大絕對誤差：AX=±xxs%mmAx x~最大相對誤差：r=m=±fxs%xxx由此可見，隨著x（測量讀數(shù)）增大，相對誤差減小，超過2/3之后，最大相對誤差在可接受范圍內(nèi)。

所以總是希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用。1-12用兩種方法分別測量L]=50inm,L2=80mm。測得值各為50.004mm、80.006mm。試評定兩種方法測量精度的高低。解：由于使用兩種不同的方法，測量的是兩個不同的長度，故只能用相對誤差進行比較。L: 50.004500.004mm —00048105“ 1 ，L501L: 80.006500.006mm —00067.51052? 2 'L802即：所以對即：所以對l2的測量精度較高。1-13多級彈道火箭的射程為10000km時，其射擊偏離預(yù)定點不超過0.1km;在射擊場中，優(yōu)秀射手能在距離50m遠處準確地射中直徑為2cm的靶心。試評述哪一個射擊精度高？解：多級彈道火箭：0.1100000.001%射手：0.01解：多級彈道火箭：0.1100000.001%射手：0.01"50"0.02%比較結(jié)果表明，多級彈道火箭的射擊精度較高。1-14若用兩種測量方法測量某零件的長度L1=110mm，其測量誤差分別為±11“1和±“m;而用第三種測量方法測量另一種零件的長度L2=150mm，其測量誤差為是比較三種測量方法精度的高低。解：第一、二種方法測量的是同一個零件的長度，因此，可以直接用其絕對誤差進行比較。根據(jù)題意第二種測量方法精度高于第一種。第三中采用了其它方法，測量的是另一零件的長度，因此，用相對誤差進行比較9m 12m因為 0.000082 0.00008。所以，第三種方法的測量精度最高，第二種次之,110mm 150mm第一種最低。1-15某量值y由被測量x表示為y4x2x，若x的相對誤差為1%時，求y的相對誤差是多少。解：設(shè)X的相對誤差為fx，則x=x0(1+fX)y4x1f0xx1f0x24x1f1f0xxx0=4x-JG+2f)0x xI xo丿所以，y的相對誤差為張=2%。1-16如何根據(jù)測量誤差的特點來減小或消除測量誤差？答：(1)隨機誤差：由于具有抵償性，可通過多次測量的算術(shù)平均值減小或消除測量誤差。(2)系統(tǒng)誤差：A.找出系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因，從根源上消除；B。找出系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律，在最后結(jié)果中加以修正。(3)粗大誤差：直接從測量數(shù)據(jù)中剔除掉。1-17什么是有效數(shù)字及數(shù)字舍入有哪些規(guī)則？答：(1)有效數(shù)字：含有誤差的任何近似數(shù)，若其絕對誤差界是最末位數(shù)的半個單位，則從這個近似數(shù)左方起的第一個非零數(shù)字稱為第一位有效數(shù)字。且從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)止的所有數(shù)字，無論是零還是非零的數(shù)字，都叫有效數(shù)字。(2)數(shù)字舍入規(guī)則：若舍去部分的數(shù)值大于保留部分的末尾的半個單位，則末尾加1。若舍去部分的數(shù)值小于保留部分的末尾的半個單位，則末尾不變。若舍去部分的數(shù)值等于保留部分的末尾的半個單位，則末尾湊成偶數(shù)，即末尾為偶數(shù)時不變，末位為奇數(shù)時加1。1-18根據(jù)數(shù)據(jù)運算規(guī)則，分別計算下是結(jié)果：3151?0+65?8+7?326+0.416+152.28=?28.13X0.037X1.473=?解：以65.8為基準，其余各數(shù)多取一位，則有原式=3151.0+65.8+7.33+0.42+152.28=3376.83~3376.8以28.13為基準，其余各數(shù)多取一位，則有原式=28.13X0.037X1.473=1.041X1.473=1.5334^1.531-19在測量實踐中有效數(shù)字的作用以及它與測量精度的關(guān)系如何?試舉例說明之。第2章誤差的基本性質(zhì)與處理2.1試述標準差b、平均誤差9和或然誤差P的幾何意義？答：從幾何學(xué)的角度出發(fā)，標準差可以理解為一個從N維空間的一個點到一條直線的距離的函數(shù)；從幾何學(xué)的角度出發(fā)，平均誤差可以理解為N條線段的平均長度；2.2試述單次測量的標準差b和算術(shù)平均值的標準差b一，兩者的物理意義及實際用途有何不同？x2.3試分別求出服從正態(tài)分布、反正弦分布、均勻分布誤差落在［-v'2b,^.-'2b］中的概率？2.4測量某物體重量共8次，測得數(shù)據(jù)(單位為g)為236.45,236.37,236.51,236.34,236.39,236.48,236.47，236.40，求其算術(shù)平均值及其標準差?！窘狻俊竣龠x參考值x二236.00，計算差值A(chǔ)x二x-x二x-236.00、Ax和殘差v等列于表中。0ii0i0i序號xiAxivi1236.450.450.020.00042236.370.37-0.060.00363236.510.510.080.00644236.340.34-0.090.00815236.390.39-0.040.00166236.480.480.050.00257236.470.470.040.00168236.400.40-0.030.0009求和1891.413.41-0.030.0251測量次數(shù)平均值平均值8236.430.43參考值236.00x=x+Ax=263.00+0.43=263.4300Ax二1工Ax二0.4308ii=1或依算術(shù)平均值計算公式，n=8，直接求得：x=工1/n=236.43(g)ii=1送V2②計算標準差：用貝塞爾公式計算:b=亠=z=0.0599(g)1n-1 8-12.5用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計算習(xí)題2-4的標準差,并比較之【解】(1)用別捷爾斯法計算c二1.253c二1.253了時xn(n-1)二1.253X041=0.0687(g)8x72)用極差法計算8個測量數(shù)據(jù)的極差為：°8個測量數(shù)據(jù)的極差為：°n=xmaxn max-x =xmin3-x=236.51-236.34=0.174查教材P20表2-4,n=8時d二2.85nc二°c二°=0.172.85=0.0596(g)3)最大誤差法計算8個測量數(shù)據(jù)的最大殘差為：|v8個測量數(shù)據(jù)的最大殘差為：|vimax|=0.09查教材P20表2-5,n=8時，1/k'=0.61nv.l/v.l/maxk'n=0.09x0.61=0.0549168.54，168.59，168.40，168.50，2.6測量某電路電流共5次，測得數(shù)據(jù)(單位為mA)為168.41,試求算術(shù)平均值及其標準差、或然誤差和平均誤差。168.54，168.59，168.40，168.50，【解】①選參考值x0=168.5,計算差值2—x—168.5、Ax和殘差v等列于表中。0 ii 0 i序號xAxivV.2iV」i1168.41-0.09-0.0780.0060840.0782168.540.040.0520.0027040.0523168.590.090.1020.0104040.1024168.40-0.10-0.0880.0077440.0885168.500.000.0120.0001440.012求和842.44-0.060.0000.027080.332算術(shù)平均值168.488-0.012或依算術(shù)平均值計算公式，n=5，直接求得：x=士工x=16&488(mA)5i|藝2②計算標準差：用貝塞爾公式計算：c—i—A—0.02708—0.0823(mA)TOC\o"1-5"\h\z1n-1 V4為vl[若用別捷爾斯法計算：c—1.253^!—1.253?—0.0930]■n(n-1) ■5x4[用極差法計算：n=5時dn=2.33，c—叫—168.59-168.40—0.0815(mA)]d 2.33n下面是以貝塞爾公式計算的或然誤差和平均誤差數(shù)據(jù)：或然誤差：pQ乞◎二2x0.0823=0.0549(mA)；33平均誤差：°Q垮c=-4x0.0823=0.06584(mA)55算術(shù)平均值的標準差c-:b-=w=00823=0.037x x>'n 、'5算術(shù)平均值或然誤差R：Rq仝c=壬x0.037=0.0247(mA)3x3算術(shù)平均值平均誤差T：Tq4c=4x0.037=0.0296(mA)5x52.7在立式測長儀上測量某校對量具，重復(fù)測量5次，測得數(shù)據(jù)(單位為nm)為20.0015,20.0016,20.0018，20.0015，20.0011。若測量值服從正態(tài)分布，試以99%的置信概率確定測量結(jié)果?！窘狻俊啃蛱杧iviV2i|v|i120.00150.00000.000000000.0000220.00160.00010.000000010.0001320.00180.00030.000000090.0003420.00150.00000.000000000.0000520.0011-0.00040.000000160.0004求和100.00750.00000.000000260.0008平均20.0015求算術(shù)平均值X:X=才x/n=10嚴=20?0015(mm)i=1求殘余誤差：各次測量的殘余誤差依次為0,0.0001，0.0003，0,-0.0004。求測量列單次測量的標準差用貝塞爾公式計算?：C=\J=\乓唇=°.°°°255訕)工|v|用別捷爾斯公式計算：c'=^253—^=L253皿=O.。00244(mm)nn(n-1) ^'5x4求算術(shù)平均值的標準差C= =0.000255=0.000144C'一= =0.000244=0.0001x-n ■■-5 ； n ■-5求單次測量的極限誤差和算術(shù)平均值的極限誤差因假設(shè)測量值服從正態(tài)分布，并且置信概率P=20(t)=99%，則①(t)=0.495,查附錄表1正態(tài)分布積分表，得置信系數(shù)t=2.6。故：單次測量的極限誤差：5x=土tc=2.6x0.000255=0.00066lim算術(shù)平均值的極限誤差：5x=+t6二2.6X0.000144二0.0003lim x⑥求得測量結(jié)果為：x二X±5X二X士t◎-二20.0015士0.0003(mm)lim x2.8對某工件進行5次測量，在排除系統(tǒng)誤差的條件下，求得標準差O=0.005mm，若要求測量結(jié)果的置信概率為95%，試求其置信限。【解】因測量次數(shù)n=5，次數(shù)比較少，按t分布求置信限（極限誤差）。已知：P=95%,故顯著度a=l—P=0.05；而自由度v=n—l=5—l=4。根據(jù)顯著度a=0.05和自由度v查附錄表3的t分度表，得置信系數(shù)ta=2.78。所以算術(shù)平均值的置信限為：5limX=±taG廠士2.78X0005二±0.00622（mm）2.9用某儀器測量工件尺寸，在排除系統(tǒng)誤差的條件下，其標準差O=0.004mm，若要求測量結(jié)果的置信限為土0.005mm，當(dāng)置信概率為99%時，試求必要的測量次數(shù)?！窘狻竣偃魷y量誤差符合正態(tài)分布規(guī)律已知置信概率：P=99%,查正態(tài)分布表有：t=2.6，則置信限為：給定值）5兀=±心=±t孕=±2.6X =±0.005則置信限為：給定值）lim x ■-n '■n求得：n=4.32，取n=5.②若測量誤差符合t分布已知置信概率：P=99%，則顯著度a=0.01，由置信限：5limX=±taQ廣±：壬＜±0.005有關(guān)系：tW1.25楊=1.25vVT1lim ax u宅n a當(dāng)顯著度a=0.01時，v=7，查t分度表，有ta=3.50,滿足上述等式。即求得：n=v+1=8為必要的測量次數(shù)。2.10用某儀器測量工件尺寸，已知該儀器的標準差O=0.001mm,若要求測量的允許極限誤差為土0.0015mm，而置信概率P為0.95時，應(yīng)測量多少次。【解】本題與2-9相似。①若測量誤差符合正態(tài)分布規(guī)律已知置信概率：P=0.95，查正態(tài)分布表有：t=1.96，則極限誤差為：5腫=±2-=±t^=±1.9X0001=±0?0015（給定值）lim x 7n 5求得：n=1.7，取n=2.②若測量誤差符合t分布已知置信概率：P=0.95，則顯著度a=0.05,

由極限誤差3limx=±yx=±：亠<±0.0015有關(guān)系：t<1.5Jn=1.5屮'v+1lim ax ayn a當(dāng)顯著度a=0.05時，v=3，查t分度表，t=3.18>1.5、；v+1=3（不合要求）av=4，查t分度表，t=2.78<1.5.v+1=3.354（滿足要求）a即求得：n=v+1=4+1=5為必要的測量次數(shù)。【解】2-11已知某儀器測量的標準差為0.5卩m。①若在該儀器上，對某一軸徑測量一次，測得值為，【解】序號xiAxivv.2I126.20250.00050.00000.00000000226.20280.00080.00030.00000009326.20280.00080.00030.00000009426.20250.00050.00000.00000000526.20260.00060.00010.00000001626.20220.0002-0.00030.00000009726.20230.0003-0.00020.00000004826.20250.00050.00000.00000000926.20260.00060.00010.000000011026.20220.0002-0.00030.00000009求和262.0250.0050.00000.00000042算術(shù)平均值26.20250.0005參考值26.202測量次數(shù)10試寫出測量結(jié)果。②若重復(fù)測量10次，測得值（單位為mm）為26.2025,26.2028,26.2028,26.2025,26.2026,26.2022,26.2023,26.2025,26.2026,26.2022,試寫出測量結(jié)果。③若手頭無該儀器測量的標準差值的資料，試由②中10次重復(fù)測量的測量值，寫出上述①、②的測量結(jié)果。①若按正態(tài)分布，§iimx=±2，x=X±5腫，取t=3x=x±§x=(26.2025±0.0015)mmlim②若按正態(tài)分布，§x=±矩，x=x±8x；lim lim單次測量的標準差&-0,0005mm算術(shù)平均值的標準差&-=亠=0.000158mm兀 \n

算術(shù)平均值的極限誤差8x=±ZH-=0.000474mmlim x因此，取t=3,測量結(jié)果:x=x±8x=(26.2025±0.0005)mm。因此，取t=3,測量結(jié)果:lim單次測量的標準差&—③根據(jù)貝塞爾公式G=單次測量的標準差&—③根據(jù)貝塞爾公式G=昱V2丐h，可以求得=°.°°°216°25咖=°.°°°216咖算術(shù)平均值的標準差&x=蔦=0.000683mm單次測量的極限誤差8x=±t&lim算術(shù)平均值的極限誤差8x=±t&-lim x因此，取t=3，對①，測量結(jié)果：x=x±8x=(26.2025±0.0006)mmlim對②，測量結(jié)果：x=x±8x=(26.2025±0.0002)mm。lim2.12某時某地由氣壓表得到的讀數(shù)(單位為Pa)為102523.85,102391.30,102257.97,102124.65,101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其權(quán)各為1，3，5，7，8，6，4，2，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標準差?！窘狻啃蛱杧ipipxiiviV2iPV2ii|v|i1102523.851102523.85495.51245530.16245530.1601495.512102391.33307173.90362.96131739.962395219.8848362.963102257.975511289.85229.6352729.9369263649.6845229.634102124.657714872.5596.319275.616164929.312796.315101991.338815930.64-37.011369.740110957.920837.016101858.016611148.06-170.3329012.3089174073.8534170.337101724.694406898.76-303.6592203.3225368813.29303.658101591.362203182.72-436.98190951.52381903.0408436.98求和816463.16363673020.33平均102057.895102028.34加權(quán)102028.34236.441905077.147由計算加權(quán)算術(shù)平均值及其標準差的公式直接計算。加權(quán)算術(shù)平均值為：p.x.x=p二=M02523.85+3辺02391.30+5辺0257.97+7辺02124.65+8辺01991.33+6辺01858.01+4辺01724.69+2辺01591.36Y 1+3+5+7+8+6+4+2pii=1=3673020.33=102028.3425沁102028.34(p)36 a加權(quán)算術(shù)平均值的標準差的計算，先求各測量結(jié)果的殘余誤差(見上表中)：算術(shù)平均值的標準差為：￡pv2=1x495.512+3x362.962+5x229.632+7x96.312+8x(-37.01)2iii=1+6x(-170.33)2+4x(-303.65)2+2x(-436.98)2=1905077.1471區(qū)pv2?O_=|—日'' =■'1905077.147=86.95(p)…X ￡ V(8-1)x36 a(m-1)p.2-13測量某角度共兩次，測得值為J=24。13'36〃,a=24。13'24'',其標準差分別為12=3.1；o=13.8〃，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標準差。2【解】：p:p= : =19044:9611 2o2o212X=24。13'20''+19044x16''+961x4”=2401335''19044+961o_=o_xSf19044p—=3.1''x q3.0''19044+961P.、i=12-14甲、乙兩測量者用正弦尺對一錐體的錐角a各重復(fù)測量5次，測得值如下:a:7。2'20〃,7。3'0〃,7。2'35〃,7。2'20〃,7。2'15〃;甲a:70225,70225,70220,70250,70245;乙試求其測量結(jié)果。解】甲：兀甲=72'+20"+60"+35"+20"+15"5=72'30"空空v.2I i(—10〃)2+(30〃)2+5〃2+(—10〃)2+(—15〃)24=18.4"o_X甲o18.4"鳶=r8.23"乙：兀乙=72'+25"+25"+20"+50"+45"=72'33"Op:p= 甲乙c_2x甲—=3648:67738.2326.042px甲+px乙 3648X30"+6773x33"3648+6773x=^甲^ 乙^= +72'=72'32"3648+6773p中+p中

甲 p中

甲 x甲 p+p甲乙=8.23〃X3648+6773=4.87”X=x土3c_=72'32''±15''x2.15試證明n個相等精度測得值的平均值的權(quán)乘以任一個測量值的權(quán)。2.16重力加速度的20次測量具有平均值為9.811m/s2、標準差為0.014m/s2。另外30次測量具有平均值9.802m/s2、標準差為0.022m/s2。假設(shè)這兩組測量屬于同一正態(tài)總體。試求此50次測量的平均值和標準差?！窘狻恳阎?0次測量的標準差q=0.014(m/s2),30次測量的標準差G2=0.022(m/s2)，由此可確定其權(quán)的大小。p:p=丄：丄=—i:―i=121:491 2 ci2丐 °?°142O.0222然后再按不精度測量有關(guān)公式直接計算。50次測量的加權(quán)算術(shù)平均值：為piv2x=,=|1'=121x9.811+49x9.802=9.8084歹 121+49 (m/s2)乙pii=150次測量的加權(quán)算術(shù)平均值的標準差：c_x或：c-x=0.014c_x或：c-x=0.014x=0.022x=0.012=0.0122.17對某量進行10次測量，測得數(shù)據(jù)為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，試判斷該測量列中是否存在系統(tǒng)誤差?！窘狻肯扔嬎闼阈g(shù)平均值：x=14.96。各測量數(shù)據(jù)的殘余誤差分別為:序號xiviV2i|v|i114.7-0.260.06760.26215.00.040.00160.04315.20.240.05760.24414.8-0.160.02560.16515.50.540.29160.54614.6-0.360.12960.36714.9-0.060.00360.06814.8-0.160.02560.16915.10.140.01960.141015.00.040.00160.04求和149.60.00.6242平均14.96從表中可以看出：v=—0.26v=0.04v=0.24v=—0.16v=0.5412345v=—0.36v=—0.06v=—0.16v=0.14v=0.04678910①根據(jù)殘余誤差觀察法：計算出的殘余誤差符號正負個數(shù)相同，且無顯著變化規(guī)律，因此可判斷該測量列無變化的系統(tǒng)誤差存在。②采用不同公式計算標準差比較法。按貝塞爾公式：b1乙按貝塞爾公式：b1乙2i~T^1n—1=0.263用別捷爾斯法計算：b二用別捷爾斯法計算：b二1.253x-B二1.253x=二0.2642 '■■■n(n—1) 10x9令色=0,264=1.004=1+U令：巧0.263因為：呂=0667因為：呂=066710—1u=0.004，故無根據(jù)懷疑測量列存在系統(tǒng)誤差。③按殘余誤差校核法：前5個殘余誤差和與后5個殘余誤差的差值△為A二工v—藝v二0.4—(0.4)二0.8iji=1 j=6兩部分之差顯著不為0，則有理由認為測量列中含有系統(tǒng)誤差。(為什么會得出互為矛盾的結(jié)論？問題出在本題給出的數(shù)據(jù)存在粗大誤差 這就提醒我們在判斷是否有系統(tǒng)誤差前，應(yīng)先剔除粗大誤差，然后再進行系統(tǒng)誤差判斷。)

2.18對一線圈電感測量10次，前4次是和一個標準線圈比較得到的，后6次是和另一個標準線圈比較得到的，測得結(jié)果如下（單位為mH）：50.82,50.83,50.87,50.89,50.78,50.78,50.75,50.85,50.82，50.81。試判斷前4次與后6次測量中是否存在系統(tǒng)誤差。序號xiviV2i|v|i150.820.000.00000.00250.830.010.00010.01350.870.050.00250.05450.890.070.00490.07550.78-0.040.00160.04650.78-0.040.00160.04750.75-0.070.00490.07850.850.030.00090.03950.820.000.00000.001050.81-0.010.00010.01求和508.200.000.01660.32平均50.82解法一】用t用t檢驗法進彳丁檢驗前4次測量的算術(shù)平均值后6次測量的算術(shù)平均值x=i工x=50.85254y=+工y=50.79836b2=i工(x—x)2=0.00082 b2=i工(y—y)2=0.00105x4i y6i 4%(4+62)———=2.44(4+6)(4X0.00082+6x0.00105)t=(x—y) "心n+ 4%(4+62)———=2.44(4+6)(4X0.00082+6x0.00105)("1+n2)(niXb2+n2Xb2)由v=4+6-2=8及取a=0.05，查t分布表，得ta=2.31。因|t|=2.44>：=2.31，可判斷兩組數(shù)據(jù)可能存在系統(tǒng)誤差解法二】用秩和檢驗法進彳檢驗。將兩組數(shù)據(jù)按從小到大混合排列成下表T12345678910xi50.8250.8350.8750.89yi50.7550.7850.7850.8150.8250.85已知：n=4,n=6；計算秩和T：Tx=5.5+7+9+10=31.5,Ty=l+2+3+4+5.5+8=23.5（取測量次數(shù)較少一組12的秩）

查表：T=14,T=30；-+因：T=31.5>T=30,可判斷兩組數(shù)據(jù)可能存在系統(tǒng)誤差。+b=b=^n=50.8950.82=0.034；1d2.06n第一組數(shù)據(jù)：X=+工x=50.8525；4b=X'5?n-1J3.7257x103=0.033第二組數(shù)據(jù)：y=十工y=50.7983；b=\目=62.8334x104=0.0356y 1n-16-1［注：若以極差法計算標準差,計算結(jié)果也相近：b=叫=50.8550.75=0.04]2d' 2.53n兩組數(shù)據(jù)算術(shù)平均值之差為：A=X-y=50.8525-50.7983=0.0542其標準差為：b=Jb2+b2=$0.0332+0.0352=0.0481因：A=0.0542<2沖+b2=0.0962，故兩組數(shù)據(jù)間無系統(tǒng)誤差。（以上計算,本人經(jīng)過多次推導(dǎo),應(yīng)該無誤！解法三得出了與前兩種方法互為矛盾的結(jié)論,原因何在？請同學(xué)們仔細分析。）（本人分析原因如下：①所給兩組數(shù)據(jù)包含的誤差并不是服從正態(tài)分布，因此不能用t檢驗法檢驗；②解法三在計算標準差時，因測量次數(shù)少，用貝塞爾公式計算標準差誤差大；極差法計算標準差也是要求測量誤差服從正態(tài)分布；③解法二適合非正態(tài)分布的誤差，得出的結(jié)論正確；④以上幾種系統(tǒng)誤差的判別法具有一定的適應(yīng)范圍，有局限性。）2.19等精度測得某一電壓10次，測得結(jié)果（單位為V）為25.94,25.97,25.98,26.01,26.04,26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。測量完畢后，發(fā)現(xiàn)測量裝置有接觸松動現(xiàn)象，為判明是否因接觸不良而引入系統(tǒng)誤差，將接觸改善后，又重新做了10次等精度測量，測得結(jié)果（單位為V）為25.93,25.94,25.98,26.02,26.01,25.90,25.93,26.04,25.94,26.02。試用t檢驗法（取a=0.05）判斷兩組測量值之間是否有系統(tǒng)誤差?！窘狻坑嬎銉山M測量結(jié)果的算術(shù)平均值：1組 2組序號xiviV2i|v|i一序號xiViV2i|v|i125.94-0.060.00360.06125.93-0.040.00160.04225.97-0.030.00090.03225.94-0.030.00090.03325.98-0.020.00040.02325.980.010.00010.01

426.010.010.00010.01426.020.050.00250.05526.040.040.00160.04526.010.040.00160.04626.020.020.00040.02625.90-0.070.00490.07726.040.040.00160.04725.93-0.040.00160.04825.98-0.020.00040.02826.040.070.00490.07925.96-0.040.00160.04925.94-0.030.00090.031026.070.070.00490.071026.020.050.00250.05求和260.010.000.01550.35259.710.000.02150.43平均26.00125.97x二26.001y=25.971b2二十工(x-x)2=0.00155b2二十工(y-y)2=0.00215xni y ny ixynn(n亠n—2)xyxy(n+n)(nn(n亠n—2)xyxy(n+n)(nb2+nb2)xyxxyy由v=10+10-2=18及取a=0.05，查t分布表，得t=2.1。a(10+10)(10x0.00155+10x0.00215)因|t|=1.48<t=2.1，故無根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間存在線性系統(tǒng)誤差。a2.20對某量進行了12次測量，測得數(shù)據(jù)為20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，試用兩種方法判斷該測量列中是否存在系統(tǒng)誤差?！窘狻肯扔嬎闼阈g(shù)平均值：x=20.125。各測量數(shù)據(jù)的殘余誤差分別為：序號xiviV2i|v|i120.06-0.0650.0042250.065220.07-0.0550.0030250.055320.06-0.0650.0042250.065420.08-0.0450.0020250.045520.10-0.0250.0006250.025620.12-0.0050.0000250.005720.11-0.0150.0002250.015820.140.0150.0002250.015920.180.0550.0030250.0551020.180.0550.0030250.0551120.210.0850.0072250.0851220.190.0650.0042250.065求和241.500.0000.0321000.55平均值20.125根據(jù)殘余誤差觀察法：計算出的殘余誤差有規(guī)律地遞增，在測量開始與結(jié)束時誤差符號相反，故可判斷該測量列存在線性系統(tǒng)誤差。按殘余誤差校核法：前6個殘余誤差和與后6個殘余誤差的差值△為

A二》v-國v=-0.26-0.26=-0.52iji=1 j=7兩部分之差顯著不為0，則有理由認為測量列中含有線性系統(tǒng)誤差采用不同公式計算標準差比較法。按貝塞爾公式：按貝塞爾公式：b=1用別捷爾斯法計算：b2=1.253啟=1.253%肯=0.06令:七=-0^=1.11=1+0.11=1+ub1 0.054因為：=*=0.603> =0.11，故無根據(jù)懷疑測量列存在系統(tǒng)誤差。、'n-1' 叫1（又出現(xiàn)互為矛盾的結(jié)論，如何解釋呢？）2.21對某量進行兩組測量，測得數(shù)據(jù)如下：xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95試用秩和檢驗法判斷兩組測量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解】將兩組數(shù)據(jù)按從小到大混合排列成下表：T123456789101112131415xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.30yi0.991.121.211.25T161718192021222324252627282930xi1.341.391.411.57yi1.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95已知n=n=15，因x?組數(shù)據(jù)的秩和較小，故以其數(shù)據(jù)的次序計算秩和:12iTx=l+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174（取秩較小的一組的秩）Ty=3+4+10.5+13+16+17+19+21.5+23+24+26+27+28+29+30=291因n=n=15>10,秩和T近似服從正態(tài)分布。12N（a,b）=N（竹（n+n+1）,時2（ni+n+1））2*12其中數(shù)學(xué)期望a和標準差。分別為:a—a—竹(n+勺+1)—15(15+15+1)—232.5,b—22n$2(n+\+1)= 15x15(15+15+1)=24.111212則置信系數(shù)t為:t—T=^—174—232.5——2.43則置信系數(shù)t為:b24.11選取置信概率99%(p—1—a,a—1—p，顯著度0.01),即取①(t)=0.495,由附錄表1查得：ta=2.60因|t|—2.43<ta—2.60，故無根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間有系統(tǒng)誤差。2.22對某量進行15次測量,測得數(shù)據(jù)為28.53,28.52,28.50,29.52,28.53,28.53,28.50,28.49,28.49,28.51,28.53,28.52,28.49,28.40,28.50,若這些測得值已消除系統(tǒng)誤差,試用萊以特準則、格羅布斯準則和狄克松準則分別判別該測量列中是否含有粗大誤差的測量值。【解】將有關(guān)計算數(shù)據(jù)：平均值、殘差Vj等列于表中:序號xvV2Ivl剔去4V'V'2128.53-0.040.00160.0428.530.030.0009228.52-0.050.00250.0528.520.020.0004328.50-0.070.00490.0728.500.000.00429.520.950.90250.950.000.000.00528.53-0.040.00160.0428.530.030.0009628.53-0.040.00160.0428.530.030.0009728.50-0.070.00490.0728.500.000.00828.49-0.080.00640.0828.49-0.010.0001928.49-0.080.00640.0828.49-0.010.00011028.51-0.060.00360.0628.510.010.00011128.53-0.040.00160.0428.530.030.00091228.52-0.050.00250.0528.520.020.00041328.49-0.080.00640.0828.49-0.010.00011428.40-0.170.02890.1728.40-0.100.011528.50-0.070.00490.0728.500.000.00求和428.560.000.98031.90399.040.000.0148平均值28.5728.50直接求得15個數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值和標準差fv2x—28.57；b—亠——0.26515i n—1 15—1i—1用萊以特準則判別粗大誤差因|v4|—0.95>3b—0.795，故第4個測量數(shù)據(jù)含測量粗大誤差，應(yīng)當(dāng)剔除。再對剩余的14個測得值重新計算,得：

14 ［牙v'2 x'=丄才x'=28.50b'=、日’=/0.0148=0.033714 i ； n-1 '14-1i=1由表知第14個測得值的殘余誤差：|v'14|=0.17>3b=0.1011，故也含粗大誤差，應(yīng)剔除。再重復(fù)驗算，剩下的13個測得值已不包含粗大誤差。用格羅布斯準則判別已經(jīng)計算出15個測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征量：x=28.57，b=0.265。將測得的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，有：x=28.40, X—x=28.57—28.40=0.17(1)(1)x=29.52,x—x=29.52—28.57=0.95(15) (15)首先判別x首先判別x()是否含有粗大誤差:(15)g=x(15)—x=0.95=3.585(15)b 0.265查表2-13得：g(15,0.05)=2.410則：g=3.585>g(15,0.05)=2.41則：(15) 0故第4個測得數(shù)據(jù)包含粗大誤差，應(yīng)當(dāng)剔除。再對剩下的14個測得值計算，判斷x(i)是否含有粗大誤差。已知：x'=2