重難專攻十概率中綜合問題

重難專攻（十）概率中的綜合問題

新高考對概率的考查由原來對生活實踐情境中某一概率模型（某一知識點）的單一考查逐步演變到對生活實踐情境類問題的綜合考查，近幾年高考真題由原來的中檔解答題逐步延深到綜合壓軸題，所考查的知識內(nèi)涵多以知識交匯為主，特別是2022年新高考Ⅰ卷還引入了概率統(tǒng)計中的證明做為創(chuàng)新題型呈現(xiàn)，這樣不但打破了原來的備考思維模式，而且新的考法對數(shù)學核心素養(yǎng)要求更高，下面從三類熱點問題引導學生探究概率中綜合問題的破解規(guī)律.概率與函數(shù)的交匯問題【例1】

甲、乙兩人進行象棋比賽（沒有平局），采用“五局三勝”制.已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為p，0＜p＜1.（1）設甲以3∶1獲勝的概率為f（p），求f（p）的最大值；

（2）記（1）中f（p）取得最大值時的p為p0，以p0作為p的值，用X表示甲、乙兩人比賽的局數(shù)，求X的分布列和均值E（X）.

所以X的分布列為X345P

｜解題技法｜

概率與函數(shù)的交匯問題，多以概率問題為解題主線，通過設置變量，利用隨機變量的概率、均值與方差的計算公式構造函數(shù).求解時可借助二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)確定最優(yōu)解.解決此類問題應注意以下兩點：（1）準確構造函數(shù)，利用公式搭建函數(shù)模型時，由于隨機變量的均值、方差，隨機事件概率的計算中涉及變量較多，式子較為復雜，所以準確運算化簡是關鍵；（2）注意變量的范圍，一是題中給出的范圍，二是實際問題中變量自身范圍的限制.?

①在甲答對了某道題的條件下，求該題是甲自己答對的概率；②甲答了4道題，計甲答對題目的個數(shù)為隨機變量X，求X的數(shù)學期望E（X）﹔

概率與數(shù)列的交匯問題【例2】

2022年2月6日，中國女足在落后兩球的情況下，最終以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍.在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)6比5驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇.

所以X的分布列為X0123P

（2）好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能被接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知p1＝1，p2＝0.

②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大小.

｜解題技法｜

概率與數(shù)列問題的交匯，多以概率的求解為主線，建立關于概率的遞推關系.解決此類問題的基本步驟為：（1）精準定性，即明確所求概率的“事件屬性”，這是確定概率概型的依據(jù)，也是建立遞推關系的準則；（2）準確建模，即通過概率的求解，建立遞推關系，轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型問題；（3）解決模型，也就是遞推數(shù)列的求解，多通過構造的方法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的問題求解.求解過程應靈活運用數(shù)列的性質(zhì)，準確應用相關公式.?

（1）從游客中隨機抽取3人，記這3人的合計得分為X，求X的分布列和數(shù)學期望；

X

3

4

5

6P

（2）從游客中隨機抽取n（n∈N*）人，記這n人的合計得分恰為n＋1分的概率為Pn，求P1＋P2＋…＋Pn；

（3）從游客中隨機抽取若干人，記這些人的合計得分恰為n分的概率為an，隨著抽取人數(shù)的無限增加，an是否趨近于某個常數(shù)？若是，求出這個常數(shù)；若不是，請說明理由.

概率中的證明問題【例3】

（2022·新高考Ⅰ卷·節(jié)選）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090

｜解題技法｜

概率中的證明問題是新高考中新增題型，解決此類問題的關鍵是理解隨機事件中互斥、對立、獨立事件的概念及相互關系，理解條件概率、全概率公式的意義及性質(zhì)，掌握隨機變量的分布列、均值、方差的計算公式，掌握二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布概率模型的特點及求解規(guī)律.會靈活運用上述定義、性質(zhì)及公式進行邏輯推理、數(shù)學運算，進而推出要證結論成立.?1.設事件A，B，C相互獨立，證明：（1）C與AB相互獨立；證明：因為A，B，C相互獨立，故P（AB）＝P（A）P（B），P（BC）＝P（B）P（C），P（AC）＝P（C）P（A），P（ABC）＝P（A）P（B）P（

C

）.（1）P（C（AB））＝P（CAB）＝P（C）P（A）P（B）＝P（C）P（AB），這表示C與AB相互獨立.（2）C與A∪B相互獨立.證明：（2）P（C（A∪B））＝P（CA∪CB）＝P（CA）＋P（CB）－P（CAB）＝P（C）P（A）＋P（C）P（B）－P（C）P（AB）＝P（C）P（A∪B），這表示C與A∪B相互獨立.2.若離散型隨機變量為ξ，求證：（1）E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b；證明：（1）令η＝aξ＋b（a，b為常數(shù)），設ξ的分布列為P（ξ＝xi）＝pi，i＝1，2，3，…，n，∴P（η＝axi＋b）＝P（ξ＝xi），∴η的分布列為ηax1＋bax2＋b…axn＋bPp1p2…pn∴E（η）＝（ax1＋b）p1＋（ax2＋b）p2＋…＋（axn＋b）pn＝a（x1p1＋x2p2＋…＋xnpn）＋b（p1＋p2＋…＋pn）＝aE（ξ）＋b，∴E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b.（2）D（aξ＋b）＝a2D（ξ）.（a，b為常數(shù)）

?1.設0＜p＜1，隨機變量ξ的分布列為ξ0p1P1－p則當p在區(qū)間（0，1）內(nèi)遞增時

（

）A.D（ξ）減小B.D（ξ）增大C.D（ξ）先減小后增大D.D（ξ）先增大后減小

命題②：若n＝2m，隨機變量Y所有可能的取值為1，2，…，m，且P（Y＝j）＝pj＋p2m＋1－j（j＝1，2，…，m），則H（X）≤H（Y）.則以下說法正確的是

（

）A.命題①正確，命題②錯誤B.命題①錯誤，命題②正確C.兩個命題都錯誤D.兩個命題都正確

3.（多選）從裝有a個紅球和b個藍球的袋中（a，b均不小于2），每次不放回地隨機摸出一球.記“第一次摸球時摸到紅球”為事件A1，“第一次摸球時摸到藍球”為事件A2，“第二次摸球時摸到紅球”為事件B1，“第二次摸球時摸到藍球”為事件B2，則下列說法正確的是

（

）B.P（B1｜A1）＋P（B2｜A1）＝1C.P（B1）＋P（B2）＝1D.P（B2｜A1）＋P（B1｜A2）＝1

A.P2＝1

5.（多選）設隨機變量ξ的分布列如下表：ξ123…20232024Pa1a2a3…a2023a2024則下列說法正確的是

（

）D.當數(shù)列{an}滿足P（ξ≤k）＝k2ak（k＝1，2，…，2024）時，（n＋1）an＝（n－1）an－1（n≥2）

6.已知隨機變量X的分布列為X1234Pp1－p－p2－p3p3p2其中

p∈（0，1），隨機變量X的期望為E（X），則當E（X）取得最小值時，p＝

?.

7.已知隨機變量ξ的分布列如下表所示：ξabP則當a逐漸增大時，E（ξ）－D（ξ）＝

?.

答案：28.已知樣本空間為Ω，事件A，B，C均為Ω內(nèi)的隨機事件.求證：（1）P（Ω｜A）＝1；

（2）如果B和C是兩個互斥事件，則P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）；

?9.證明：當P（AB）＞0時，P（ABC）＝P（A）P（B｜A）·P（C｜AB）.據(jù)此你能發(fā)現(xiàn)計算P（A1A2…An）的公式嗎？

10.袋中共有8個乒乓球，其中有5個白球，3個紅球，這些乒乓球除顏色外完全相同.從袋中隨機取出一球，如果取出紅球，則把它放回袋中；如果取出白球，則該白球不再放回，并且另補一個紅球放入袋中，重復上述過程n次后，袋中紅球的個數(shù)記為Xn.（1）求隨機變量X2的分布列及數(shù)學期望E（X2）；

X2345P

（2）求隨機變量Xn的數(shù)學期望E（Xn）關于n的表達式.

11.根據(jù)社會人口學研究發(fā)現(xiàn)，若一個家庭有X個孩子，則X的概率分布列如下表所示（取一個家庭有4個及以上孩子的概率為0）.X0123Pα（1－p）2αα（1－p）

（2）為了調(diào)控未來人口結構，需要對參數(shù)p進行宏觀調(diào)控，研究表明p的值受到各種因素的影響（例如生育保險的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等）.①若希望P（X＝2）增大，如何調(diào)控p的值；

12.一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，…，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的，且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）（pi≠0）.（1）已知p0＝0.35，p1＝0.3，p2＝0.25，p3＝0.1，求E（X）；解：（1）由題知E（X）＝0×p0＋1×p1＋2×p2＋3×p3＝1.1.（2）設p（0＜p＜1）表示該生物臨近滅絕的概率，當E（X）＞1時，證明：p是關于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的最小正實根.解：（2）證明：因為p＝p0＋p1p＋p2p2＋p3p3，所以p是方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的正實根，令f（x）＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x（x＞0），則f'（x）＝p1＋2p2x