數(shù)學(xué)物理方法第7章2011

第二篇數(shù)學(xué)物理方程1MathematicalEquationsforPhysics想要探索自然界的奧秘就得解微分方程——牛頓重點(diǎn)1、從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)物理方程的基本方法；2、系統(tǒng)的邊界條件和初始條件的寫法；3、行波法研究一維波動(dòng)方程的解、及解的物理意義。第七章數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理方程（簡(jiǎn)稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程．?dāng)?shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律.聲振動(dòng)是研究聲源與聲波場(chǎng)之間的關(guān)系熱傳導(dǎo)是研究熱源與溫度場(chǎng)之間的關(guān)系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國(guó)數(shù)學(xué)家）方程表示的是電勢(shì)（或電場(chǎng)）和電荷分布之間的關(guān)系定解問(wèn)題從物理規(guī)律角度來(lái)分析，數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題表征的是場(chǎng)和產(chǎn)生這種場(chǎng)的源之間的關(guān)系．多數(shù)為二階線性偏微分方程振動(dòng)與波（振動(dòng)波，電磁波）傳播滿足波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)問(wèn)題和擴(kuò)散問(wèn)題滿足熱傳導(dǎo)方程靜電場(chǎng)和引力勢(shì)滿足拉普拉斯方程或泊松方程一、數(shù)學(xué)物理方程---泛定方程:物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表示

物理規(guī)律物理量u

在空間和時(shí)間中的變化規(guī)律，即物理量u在各個(gè)地點(diǎn)和各個(gè)時(shí)刻所取的值之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯泛定方程反映的是同一類物理現(xiàn)象的共性，和具體條件無(wú)關(guān)。三類典型的數(shù)學(xué)物理方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動(dòng)方程為代表拋物型方程擴(kuò)散方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程6二、邊界問(wèn)題---邊界條件體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為邊界條件三、歷史問(wèn)題----初始條件體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為初始條件例：一個(gè)物體做豎直上拋，一個(gè)物體斜拋。不同的初始條件→不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但都服從牛頓第二定律。定解問(wèn)題的完整提法：

在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個(gè)物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問(wèn)題的特殊性，即個(gè)性。泛定方程：不帶有邊界和初始條件的方程稱為泛定方程。它反映了問(wèn)題的共性。7具體的問(wèn)題的求解的一般過(guò)程：1、根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律列出泛定方程——客觀規(guī)律2、根據(jù)已知系統(tǒng)的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和初始條件——求解所必須用的3、求解方法——行波法、分離變量法、等分離變量法偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程標(biāo)準(zhǔn)解，即為各類特殊函數(shù)三類數(shù)學(xué)物理方程的一種最常用解法7.1數(shù)學(xué)模型的建立8建模步驟：1、明確要研究的物理量是什么？從所研究的系統(tǒng)中劃出任一微元，分析鄰近部分與它的相互作用。2、研究物理量遵循哪些物理規(guī)律？3、按物理定律寫出數(shù)理方程（泛定方程）。（一）均勻弦橫振動(dòng)方程弦的橫振動(dòng)

設(shè)：均勻柔軟的細(xì)弦沿x軸繃緊，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的橫振動(dòng)u(x,t):

坐標(biāo)為x

的點(diǎn)在t時(shí)刻沿垂線方向的位移求：細(xì)弦上各點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律9波動(dòng)方程的導(dǎo)出

選取不包括端點(diǎn)的一微元(x,x+dx),弦長(zhǎng)dx

，研究對(duì)象:(4)設(shè)單位長(zhǎng)度上弦受力，力密度為：簡(jiǎn)化假設(shè)：(1)弦是柔軟的(不抵抗彎曲),張力沿弦的切線方向(2)振幅極小,

張力與水平方向的夾角

1和

2

很小，僅考慮

1和

2的一階小量，略去二階小量(3)弦的重量與張力相比很小，可以忽略。質(zhì)量線密度

，u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xF弦的原長(zhǎng)：振動(dòng)拉伸后：u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xBF弦長(zhǎng)dx

，質(zhì)量線密度

，B段的質(zhì)量為m=

dx沿x-方向，不出現(xiàn)平移沿垂直于x-軸方向受力分析和牛頓運(yùn)動(dòng)定律：12在微小振動(dòng)近似下：由（1）式，弦中各點(diǎn)的張力相等u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xBF（1）（2）波動(dòng)方程：波速a受迫振動(dòng)方程13單位質(zhì)量所受外力，力密度令牛頓運(yùn)動(dòng)定律：………一維波動(dòng)方程14………一維波動(dòng)方程------非齊次方程------齊次方程忽略重力和外力作用：如考慮弦的重量：u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xBF沿x-方向，不出現(xiàn)平移沿垂直于x-軸方向（1）（2）類似討論（二）均勻薄膜的微小橫振動(dòng)

設(shè)：均勻柔軟的薄膜繃緊，膜平面為xy平面，研究膜在垂直于xy平面的微小橫振動(dòng)u(x,y,t):

坐標(biāo)點(diǎn)為(x,y)的橫向位移為張力在xy平面上的投影方向薄膜

Tuxy平面的張力T的橫向分量15在x和x+dx兩邊所受的橫向作用力xyx+dxy+dyxyn(即y)n(即x)類似地：在y和y+dy兩邊所受的橫向作用力：

Tuyydxdy

為單位面積的薄膜質(zhì)量薄膜的受迫振動(dòng)方程單位面積上的橫向外力單位質(zhì)量上的橫向外力16擴(kuò)散方程

擴(kuò)散現(xiàn)象：系統(tǒng)的濃度

u(x,y,z,t)

不均勻時(shí)，將出現(xiàn)物質(zhì)從高濃度處到低濃度處的轉(zhuǎn)移，叫擴(kuò)散。擴(kuò)散（實(shí)驗(yàn)）定律：濃度不均勻（濃度梯度）：擴(kuò)散流強(qiáng)弱（強(qiáng)度）：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過(guò)單位面積的物質(zhì)的量沿x-方向擴(kuò)散流：?jiǎn)挝粫r(shí)間沿x-方向凈流入量單位時(shí)間凈流入量等于密度增加的量物質(zhì)的總量守恒如果僅x方向，則有一維擴(kuò)散方程均勻代入擴(kuò)散定律三維擴(kuò)散方程18如果研究空間存在源，源強(qiáng)度與u(x,y,z,t)無(wú)關(guān)，且為F(x,y,z),這時(shí)擴(kuò)散方程修改為如果研究空間存在源，源強(qiáng)度與u(x,y,z,t)成正比，即F(x,y,z)=bu(x,y,z)這時(shí)擴(kuò)散方程修改為泊松方程或拉普拉斯方程靜電場(chǎng)的電勢(shì)方程

直角坐標(biāo)系中泊松方程為

若空間無(wú)電荷，即電荷密度，上式成為稱這個(gè)方程為拉普拉斯方程.電勢(shì)V(x,y,z)確定所要研究的物理量：根據(jù)由物理規(guī)律電場(chǎng)、電勢(shì)和電荷密度間有如下規(guī)律：建立泛定方程：泊松方程7.2定解條件常微分方程定解問(wèn)題回顧

常微分方程求解就是積分。積分過(guò)程會(huì)出現(xiàn)積分常數(shù)。常微分方程定解問(wèn)題就是確定積分常數(shù)。

利用在自變量取一個(gè)特定值時(shí)的值，如初值u(t=0)確定積分常數(shù)。積分一次，出現(xiàn)一個(gè)積分常數(shù)；求解二階常微分方程出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)。數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題要求給定：初始條件和邊界條件20初始時(shí)刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件不含初始條件，只含邊界條件A、波動(dòng)方程的初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度（一）初始條件和

是空間坐標(biāo)的函數(shù)例：22注意：初始條件給出系統(tǒng)在初始狀態(tài)下物理量的分布，而不是一點(diǎn)處的情況。一根長(zhǎng)為l的弦，兩端固定于0和l。在中點(diǎn)位置將弦沿著橫向拉開(kāi)距離h

，如圖所示，然后放手任其振動(dòng)，試寫出初始條件。

l

x

l/2h解：初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移（二）邊界條件定義：系統(tǒng)的物理量始終在邊界上具有的情況。A.第一類邊界條件直接給出系統(tǒng)邊界上物理量的函數(shù)形式。如：兩端固定的弦振動(dòng)和位置確定23常見(jiàn)的線性邊界條件分為三類：細(xì)桿熱傳導(dǎo)或隨時(shí)間變化的溫度恒溫B.第二類邊界條件第一類邊界條件的基本形式：速度確定細(xì)桿的縱振動(dòng)：當(dāng)端點(diǎn)“自由”，即無(wú)應(yīng)力。根據(jù)胡克定律，桿的相對(duì)伸長(zhǎng)也為零：細(xì)桿熱傳導(dǎo)：端點(diǎn)絕熱，熱流強(qiáng)度為零，由熱傳導(dǎo)定律：24C.第三類邊界條件位移和速度的組合細(xì)桿熱傳導(dǎo)：端點(diǎn)“自由”冷卻(熱流正比于溫差)。牛頓冷卻定律：T

為環(huán)境溫度。根據(jù)熱傳導(dǎo)定律，在

x=l

處：負(fù)x方向正x方向在x=0處25細(xì)桿縱振動(dòng)：端點(diǎn)與固定點(diǎn)彈性連接。應(yīng)力為彈性力胡克定律：彈性力：則在端點(diǎn)一般表達(dá)式：這些是最常見(jiàn)的線性邊界條件，還有其它形式。（三）銜接條件

系統(tǒng)中可能出現(xiàn)物理性質(zhì)急劇變化的點(diǎn)(躍變點(diǎn))。如兩節(jié)具有不同的楊氏模量的細(xì)桿在

x=0

處連接，這一點(diǎn)就是躍變點(diǎn)。躍變點(diǎn)兩邊的物理過(guò)程因此不同。但在躍變點(diǎn)，某些物理量仍然可以是連續(xù)的，這就構(gòu)成銜接條件。26例橫向力作用于點(diǎn)。弦在的左右斜率不同，但位移的極限值相同。這兩個(gè)等式就是銜接條件。又，橫向力應(yīng)與張力平衡：即

1

2277.3數(shù)學(xué)物理方程的分類（一）線性二階偏微分方程把所有自變量依次記作x1,x2,

xn，線性二階偏微分方程可表為其中

aij,bi,c,f只是

x1,x2,

xn的函數(shù)（二）兩個(gè)自變數(shù)的方程分類28雙曲型拋物型橢圓型作變量替換297.4達(dá)朗貝爾公式定解問(wèn)題行波法用行波法求解波動(dòng)方程的基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。評(píng)述：這一思想與常微分方程的解法是一樣的。關(guān)鍵步驟：通過(guò)變量變換，將波動(dòng)方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。（一）波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式30將和看作如同數(shù)一樣的算子，可以進(jìn)行加減乘除：當(dāng)a=1，相當(dāng)于沿

x

和t

求導(dǎo)，變成沿對(duì)角線求導(dǎo)。當(dāng)a

不為1，則求導(dǎo)的線進(jìn)行相應(yīng)的角度變化。變換：和顯然，坐標(biāo)變換31(1)通解對(duì)積分：積分常