高等數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域與的值域的交集非空，則函數(shù)稱為由函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).變量u稱為中間變量.和函數(shù)例如，解：一、函數(shù)第一章函數(shù)與極限初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)⑤反三角函數(shù)②指數(shù)函數(shù)④三角函數(shù)①冪函數(shù)③對(duì)數(shù)函數(shù)（以下五種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)）(2)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合所構(gòu)成，且用一個(gè)式子表示的函數(shù)，叫做初等函數(shù).

如果當(dāng)x無限地接近于x0時(shí)

函數(shù)f(x)的值無限地接近于常數(shù)A

則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x

x0時(shí)的極限

記作

時(shí)函數(shù)f(x)

A的極限二、極限單側(cè)極限左極限=A右極限=A記作記作注：?jiǎn)蝹?cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系無窮小的定義

1.無窮小是極限為零的函數(shù)而不是很小很小的數(shù).2.無窮小這個(gè)概念和極限過程有關(guān)--是一種變化趨勢(shì).三、無窮小與無窮大判斷正誤是無窮小；是時(shí)的無窮小.是時(shí)的無窮?。弧痢獭镣普?有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小

性質(zhì)2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

性質(zhì)1有限個(gè)無窮小的和也是無窮小

無窮小的性質(zhì)推論1

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

(2)limf(x)

g(x)=limf(x)

limg(x)=A

B

如果limf(x)=A

limg(x)=B

那么四則運(yùn)算法則(1)lim[f(x)

g(x)]=limf(x)

limg(x)=A

B

如果limf(x)存在

而c為常數(shù)

則lim[c

f(x)]=c

limf(x)

如果limf(x)存在

nZ+

則lim[f(x)]n=[limf(x)]n

四、

求函數(shù)極限極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限外大內(nèi)小內(nèi)外互倒練一練：練一練：常用的等價(jià)無窮小量函數(shù)的連續(xù)性定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0及其鄰域內(nèi)有定義

如果那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

五、函數(shù)的連續(xù)性

例

解利用連續(xù)性求極限舉例1.基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的

2.一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的

注:

所謂定義區(qū)間

就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間

（如果f(x)是初等函數(shù)

且x0是f(x)的定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)則）初等函數(shù)的連續(xù)性導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)f(x)在x0及其某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在x0處取得增量Δx

時(shí),相應(yīng)地函數(shù)y取得增量Δy=f(x0+Δx)?f(x0)如果存在,在x0

處可導(dǎo),或稱y=f(x)在x0

處有導(dǎo)數(shù)。該極限值就是f(x)在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)，記為則稱函數(shù)

y=f(x)一、導(dǎo)數(shù)的概念第二章導(dǎo)數(shù)與微分切線方程為法線方程為導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)論：可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的。注意:反之不成立.即連續(xù)不一定可導(dǎo)。可導(dǎo)連續(xù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系二、函數(shù)的求導(dǎo)法則和差積商的求導(dǎo)法則（四則運(yùn)算法則）特別地，注意:

如果u

g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)

函數(shù)y

f(u)在點(diǎn)u

g(x)可導(dǎo)

則復(fù)合函數(shù)y

f[g(x)]在點(diǎn)x可導(dǎo)

且其導(dǎo)數(shù)為

注：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則小結(jié)：導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則四、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法

把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù)

然后從所得的新的方程中把隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解出.例解解得

設(shè)函數(shù)y

f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義

x0及x0

Dx在這區(qū)間內(nèi)

如果函數(shù)的增量Dy

f(x0

Dx)

f(x0)可表示為Dy

ADx

o(Dx)

其中A是不依賴于Dx的常數(shù)

o(Dx)是比Dx高階的無窮小

那么稱函數(shù)y

f(x)在點(diǎn)x0是可微的

而ADx叫做函數(shù)y

f(x)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Dx的微分

記作dy

即dy

ADx

微分的定義五、微分

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，并且函數(shù)在點(diǎn)x0的微分一定是dy

f

(x0)Dx

可微與可導(dǎo)的關(guān)系函數(shù)y

f(x)在任意點(diǎn)x的微分

稱為函數(shù)的微分

記作dy

或df(x)

即

dy

f

(x)Dx

函數(shù)的微分一、洛必達(dá)法則

還有其它類型的未定式

0

、

、00、1

、

0

在函數(shù)商的極限中

如果分子和分母同是無窮小或同是無窮大

那么極限可能存在

也可能不存在

這種極00－或

－

限稱為未定式

記為未定式第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

如果函數(shù)f(x)和F(x)滿足如下條件

(1)f(x)和F(x)都是當(dāng)x

a時(shí)的無窮小

(2)f(x)和F(x)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)都可導(dǎo)且F

(x)

0

定理(洛必達(dá)法則)(3)存在或?yàn)闊o窮大.那么例解例

求解原式定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)

設(shè)函數(shù)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)增加

(2)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)減少

三、函數(shù)單調(diào)性的判定法(1)確定函數(shù)的定義域

(2)求出導(dǎo)數(shù)f

(x)

(3)求出f

(x)全部零點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)

(4)判斷或列表判斷

(5)綜合結(jié)論

確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:

設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

且在(a

x0)

(x0

b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)

0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)

0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)<0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)>0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)內(nèi)

f

(x)的符號(hào)相同

那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

定理2(第一充分條件)確定極值點(diǎn)和極值的步驟:(1)求出導(dǎo)數(shù)f

(x);(2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);(3)考察在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近f

(x)的符號(hào);

(4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值.四、函數(shù)的極值及其求法例解列表討論極大值極小值一、不定積分的概念第四章不定積分不定積分的概念

在區(qū)間I上,

函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的不定積分,

記作注意：求得的不定積分最后一定要加上常數(shù)C.微分與積分的關(guān)系

由此可見,

如果不計(jì)任意常數(shù),則微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.

因此，檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求導(dǎo)，看其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù).二、基本積分表二、基本積分表湊微分換元計(jì)算積分變量還原三、第一類換元積分法

例

例

分部積分過程分部積分公式四、分部積分法可用分部積分法的積分小結(jié)

(1)被積函數(shù)為冪函數(shù)與三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的積:

(2)被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的積:

(3)被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積:（先積三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)）（先積冪函數(shù)）（此時(shí)，一般要用到循環(huán)積分法）一、定積分的定義在小區(qū)間[xi

1,

xi]上任取一點(diǎn)xi(i

1,2,

,

n),

作和

max{Dx1,

Dx2,

,Dxn};

記Dxi=xi-xi

1(i

1,2,

,

n),a

x0<x1<x2<

<xn

1<xn

b;在區(qū)間[a,

b]內(nèi)插入分點(diǎn):

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上有界.

如果當(dāng)

0時(shí),

和式的極限存在,

且極限值與區(qū)間[a,

b]的分法和xi的取法無關(guān),稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上的定積分,

記為

即第五章定積分

一般地,

f(x)在[a,

b]上的定積分表示介于x軸、曲線y

f(x)及直線x

a、x

b之間的各部分面積的代數(shù)和.

二、定積分的幾何意義

當(dāng)f(x)

0時(shí),f(x)在[a,

b]上的定積分表示由曲線y

f(x)、直線x

a、x

b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

當(dāng)f(x)

0時(shí),

f(x)在[a,

b]上的定積分表示曲邊梯形面積的負(fù)值.

三、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限的函數(shù)定理1(積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))在[a

b]上可導(dǎo)

并且

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上連續(xù),

x

[a,

b],

我們稱為積分上限函數(shù).

或相關(guān)公式

牛頓

萊布尼茨公式進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系.

定理(牛頓

萊布尼茨公式)

若F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上的一個(gè)原函數(shù),

則五、牛頓

萊布尼茨公式六、定積分的換元法假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上連續(xù),

函數(shù)x

(t)滿足條件:

(1)

(a)

a,

(

)

b;

(2)

(t)在[

,

](或[

,

])上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),

且其值域不越出[a,

b],

則有定理——換元公式.注意：1.一定要上限對(duì)應(yīng)上限，下限對(duì)應(yīng)下限；2.不必變量還原.七、定積分的分部積分法定積分的分部積分法通過微元把定積分的定義的作法簡(jiǎn)化為兩步：①在中的任一小區(qū)間上以均勻變化近似代替非均勻變化，列出所求量的微元：②對(duì)上式積分，即得所求量的定積分表達(dá)式：abxyo第六章定積分的應(yīng)用[f上(x)

f下(x)]dx,一、平面圖形的面積

設(shè)平面圖形由上下兩條曲線y

f上(x)與y

f下(x)及左右兩條直線x

a與x

b所圍成.

因此平面圖形的面積為

在點(diǎn)x處面積元素為

5設(shè)平面圖形由左右兩條曲線x

j左(y)與x

j右(y)及上下兩條直線y

d與y

c所圍成.

面積為

面積元素為[j右(y)

j左(y)]dy,6求平面圖形面積的步驟：(1)畫圖；確定在x軸上或y軸上的投影區(qū)間；(3)確定上下曲線或左右曲線；(4)計(jì)算積分.

例3

求曲線解取為積分變量,于是與半圓

圖形的面積A.

所圍

如圖，求出兩曲線交點(diǎn)

的坐標(biāo)A(1,1),B(1,－1),旋轉(zhuǎn)體的體積元素考慮旋轉(zhuǎn)體內(nèi)點(diǎn)x處垂直于x軸的厚度為dx的切片,

用圓柱體的體積

[f(x)]2dx作為切片體積的近似值,旋轉(zhuǎn)體的體積

于是體積元素為

dV

[f(x)]2dx.

二、體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.

這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.

旋轉(zhuǎn)體的體積二、體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面