第2章常用邏輯用語章末題型歸納總結

第2章常用邏輯用語章末題型歸納總結目錄模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經典題型一：充分條件與必要條件經典題型二：全稱量詞命題與存在量詞命題經典題型三：應用充分條件、必要條件、充要條件求參數值(范圍)經典題型四：充要條件的證明經典題型五：命題的否定經典題型六：由命題真假求參數的值(取值范圍)模塊三：數學思想方法①分類討論思想②轉化與化歸思想③方程思想模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經典題型一：充分條件與必要條件例1．（2023·遼寧·高三大連二十四中校聯考開學考試）設、，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，得，則“”“”；但當時，取，，則，即“”“”.所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.例2．（2023·浙江紹興·高一?？奸_學考試）設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，或，所以可推出，即“”是“”的充分條件；由，不能夠推出，故“”是“”的不必要條件；綜上，“”是“”的充分不必要條件.故選：A例3．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）若,則“”是“”的（

）A．充分條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，，當時，或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：C.例4．（2023·北京·高二匯文中學?？计谀┰O，或，則是成立的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為，或，即成立時，一定成立，但成立時，不一定成立，故是成立的充分不必要條件.故選：B.例5．（2023·江蘇南京·南京航空航天大學附屬高級中學校考模擬預測）設A，B，C，D是四個命題，若A是B的必要不充分條件，A是C的充分不必要條件，D是B的充分必要條件，則D是C的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為是的必要不充分條件，所以，推不出，因為是的充分不必要條件，所以，推不出，因為是的充要條件，所以，，所以由，，可得，由推不出，推不出，可得C推不出D.故D是C的充分不必要條件.故選：B.例6．（2023·四川眉山·高三仁壽一中?？奸_學考試）已知p：，那么p的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A中，由，則不一定成立，反之：若，則不一定成立，所以是的即不充分也不必要條件，所以A不符合題意；對于B中，由，則不一定成立，反之：若，則不一定成立，所以是的即不充分也不必要條件，所以B不符合題意；對于C中，由，則成立，反之：若，則不一定成立，所以是的充分不必要條件，所以C符合題意；對于D中，由，則不一定成立，反之：若，則成立，所以是的即必要不充分條件，所以D不符合題意.故選：C.例7．（2023·江西新余·高一新余市第一中學?？奸_學考試）“”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當，此時滿足，但且不成立，所以充分性不成立；反之：若且，可得成立，所以必要性成立，所以“”是“且”必要不充分條件.故選：B.例8．（2023·高一課時練習）點是第二象限的點的充要條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為第二象限的點橫坐標小于0，縱坐標大于0，所以點是第二象限的點的充要條件是．故選：B例9．（2023·四川綿陽·高一綿陽中學?？茧A段練習）下列“若,則”形式的命題中，是的必要條件的有（

）個①若是偶數,則是偶數②若，則方程有實根③若四邊形的對角線互相垂直,則這個四邊形是菱形④若，則A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】對于①，是偶數，不能保證，均是偶數，也有可能都是奇數，故①不符合題意；對于②，若方程，則需滿足，即，可推出，故②符合題意；對于③，若四邊形是菱形，則四邊形對角線互相垂直，故③符合題意；對于④，若，則，故④符合題意.故選：D.經典題型二：全稱量詞命題與存在量詞命題例10．（2023·全國·高一專題練習）下列命題中為真命題的是（

）A．所有的矩形都是正方形B．集合與集合表示同一集合C．是的必要不充分條件D．，【答案】C【解析】對于A項，所有長寬不等的矩形都不是正方形，故A錯誤；對于B項，由描述法的概念可知集合與集合分別表示點的集合與數的集合，顯然不表示同一集合，故B錯誤；對于C項，由，不滿足充分性，若則，滿足必要性，故C正確；對于D項，，故D錯誤.故選：C例11．（2023·四川眉山·高三仁壽一中?？奸_學考試）下列命題中，是真命題且是全稱量詞命題的是（

）A．對任意實數a，b，都有B．梯形的對角線不相等C．D．所有的集合都有子集【答案】D【解析】根據全稱量詞命題的定義可知，全稱量詞命題有A，B，D三項，C為存在量詞命題，對于A，有，故A為假命題；對于B，梯形的對角線不一定相等，故B為假命題；對于D，根據子集的定義可知，D為真命題.故選：D.例12．（2023·高一課時練習）下列全稱量詞命題為真命題的是（

）A．所有的質數都是奇數B．，C．對每一個無理數，也是無理數D．所有能被5整除的整數，其末位數字都是5【答案】B【解析】質數中2不是奇數，A選項為假命題；，都有，則，B選項為真命題；為無理數，但是有理數，C選項為假命題；所有能被5整除的整數，其末位數字可以是5也可以是0，D選項為假命題.故選：B例13．（2023·全國·高一專題練習）下列命題中，既是全稱量詞命題又是真命題的是（

）A．每一個二次函數的圖象都是開口向上B．存在一條直線與兩條相交直線都平行C．對任意，若，則D．存在一個實數x，使得【答案】C【解析】A選項是全稱量詞命題，二次函數的圖象有開口向上的，A是假命題，不符合題意；B選項是存在量詞命題，不符合題意；C選項是全稱量詞命題，對任意，若，則，即，C是真命題，符合題意；D選項是存在量詞命題，不符合題意.故選：C.例14．（2023·全國·高一專題練習）下列命題中是真命題的為（）A．，使 B．，C．， D．，使【答案】B【解析】對于A，由，得，所以不存在自然數使成立，所以A錯誤，對于B，因為時，，所以，所以B正確，對于C，當時，，所以C錯誤，對于D，由，得，所以D錯誤，故選：B例15．（2023·全國·高一專題練習）設非空集合P，Q滿足，則表述正確的是（

）A．，有 B．，有C．，使得 D．，使得【答案】B【解析】因為P?Q，則由子集的定義知集合P中的任何一個元素都在Q中，而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等兩種情況)，故B正確，ACD錯誤．故選：B例16．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列命題中，是全稱量詞命題，且為真命題的是（

）A． B．菱形的兩條對角線相等C． D．一次函數的圖象是直線【答案】D【解析】對于A，為全稱量詞命題，但是，故是假命題，故A錯誤，對于B，是全稱量詞命題，但是菱形的對角線不一定相等，故B錯誤，對于C,是存在量詞命題,故C錯誤，對于D,既是全稱量詞命題也是真命題,故D正確，故選：D經典題型三：應用充分條件、必要條件、充要條件求參數值(范圍)例17．（2023·全國·高一專題練習）設集合，，.(1)，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求m的取值范圍.【解析】（1）由題意知當時，，故或，而，故；（2）由“”是“”的充分不必要條件，可得BA，故當時，，符合題意；當時，需滿足，且中等號不能同時取得，解得，綜合以上，m的取值范圍為或.例18．（2023·江西新余·高一新余市第一中學?？奸_學考試）設全集，集合，集合．(1)若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍；(2)若命題“，則”是真命題，求實數的取值范圍．【解析】（1）由“”是“”的充分不必要條件，得，又，，因此或，解得，所以實數的取值范圍為.（2）命題“，則”是真命題，則有，當時，，解得，符合題意，因此；當時，而，則，無解，所以實數的取值范圍.例19．（2023·高一課時練習）已知p：實數x滿足，其中；q：實數x滿足.若p是q的充分條件，求實數a的取值范圍．【解析】由，即集合，由，即集合，因為p是q的充分條件，可得，則，解得，所以a的取值范圍是.例20．（2023·江蘇鹽城·高一校聯考期中）已知集合，．若是的充分條件，求實數m的取值范圍．【解析】由是的充分條件，則，即，又，則非空，所以，可得.例21．（2023·高一課時練習）若，或，且A是B的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．【解析】因為A是B的充分不必要條件，所以A?B，又，或．所以或，解得或所以實數a的取值范圍是或．例22．（2023·高一單元測試）設p：實數x滿足集合A＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，q：實數x滿足集合B＝{x|x＜－4，或x≥－2}，且p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．【解析】∵p是q的充分不必要條件，∴是的真子集，∴或解得或，即實數a的取值范圍或.例23．（2023·天津武清·高一?？茧A段練習）已知集合或，．(1)若，求和；(2)若是的必要條件，求實數a的取值范圍.【解析】（1）∵，∴，∴，或；（2）∵是的必要條件，∴∴當時，則有，解得．滿足題意．當時，有，或，由不等式組可得，不等式組無解．綜上所述，實數a的取值范圍是或.例24．（2023·高一課時練習）已知實數滿足，其中；實數x滿足,若是的必要條件，求實數的取值范圍．【解析】因為，即集合；實數x滿足,，即集合．又因為是的必要條件，所以，所以，解得.所以實數的取值范圍為：.例25．（2023·全國·高一隨堂練習）在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，這三個條件中任選一個條件補充到下面問題中，若問題中的實數存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.問題：已知集合，非空集合.是否存在實數，使得是的__________條件？【解析】因為集合非空，所以，選擇條件①：因為是的充分而不必要條件，所以是的真子集，所以（兩個等號不同時取到），解得，故實數的取值范圍是.選擇條件②：因為是的必要而不充分條件，所以是的真子集，

所以有且（兩個等號不同時取到），解得.綜上，實數的取值范圍是.選擇條件③：因為是的充要條件，所以有且，即，此方程組無解，則不存在實數，使得是的充要條件.例26．（2023·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？茧A段練習）請在“①充分不必要條件，②必要不充分條件，③充要條件”這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的實數存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.已知集合，，若是成立的________條件，判斷實數是否存在？【解析】若選擇條件①，即是成立的充分不必要條件，集合A是集合B的真子集，則有，解得，所以，實數m的取值范圍是；若選擇條件②，即是成立的必要不充分條件，集合B是集合A的真子集，則有，解得，所以，實數的取值范圍是；若選擇條件③，即是成立的充要條件，則集合A等于集合B則有，方程組無解，所以，不存在滿足條件的實數.經典題型四：充要條件的證明例27．（2023·江蘇·高一專題練習）設分別為的三邊的長，求證：關于的方程與有公共實數根的充要條件是.【解析】證明：必要性：設方程與有公共實數根，則兩式相減并整理，可得因為，所以，將此式代入中，整理得，故.充分性：因為，可得，所以，將代入方程中，可得，即，將代入方程中，可得，即故兩方程有公共實數根.所以關于的方程與有公共實數根的充要條件.例28．（2023·全國·高一專題練習）求證：關于x的方程有一個根是1的充要條件是.【解析】假設p：方程有一個根是1，q：.證明，即證明必要性：∵是方程的根，∴，即.再證明，即證明充分性：由，得.∵，∴，即.故.∴是方程的一個根．故方程有一個根是1的充要條件是.例29．（2023·全國·高一專題練習）求證：方程有兩個同號且不相等實根的充要條件是.【解析】充分性：∵，∴方程的判別式，且，∴方程有兩個同號且不相等的實根．必要性：若方程有兩個同號且不相等的實根，則有，解得.綜上，方程有兩個同號且不相等的實根的充要條件是.例30．（2023·高一課時練習）設a，b，c為的三邊，求方程與有公共根的充要條件．【解析】必要性：設方程與的公共根為，則，，兩式相加得（舍去），將代入，得，整理得.所以.充分性：當時，，于是等價于，所以，該方程有兩根，.同樣等價于，所以，該方程亦有兩根，.顯然，兩方程有公共根.故方程與有公共根的充要條件是.例31．（2023·全國·高一專題練習）求證：等式對任意實數恒成立的充要條件是.【解析】充分性：若，則等式顯然對任意實數恒成立，充分性成立；必要性：由于等式對任意實數恒成立，分別將，，代入可得，解得，必要性成立，故等式對任意實數恒成立的充要條件是.經典題型五：命題的否定例32．（2023·山東德州·高三統(tǒng)考階段練習）下列結論正確的是（

）A．“”的否定是“”B．“”的否定是“”C．“四邊形ABCD是矩形”是“平面四邊形ABCD的每個內角都相等”的充要條件D．“四邊形ABCD是矩形”是“平面四邊形ABCD的每個內角都相等”的充分不必要條件【答案】C【解析】由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，則“”的否定是“”，A、B錯；四邊形ABCD是矩形，則每個內角都相等，反之也成立，所以“四邊形ABCD是矩形”是“平面四邊形ABCD的每個內角都相等”的充要條件，C對，D錯；故選：C例33．（2023·遼寧·高三大連二十四中校聯考開學考試）已知命題：，，則（

）A．p：， B．p：，C．p：， D．p：，【答案】D【解析】根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以：，的否定是：，，故選：D例34．（2023·全國·高一專題練習）命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由全稱量詞命題的否定可知：原命題的否定為.故選：A例35．（2023·江蘇南通·高三海安高級中學?？茧A段練習）命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】，”的否定為，.故選：C.例36．（2023·全國·高一專題練習）命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】命題“”為全稱量詞命題，其否定為：.故選：A例37．（2023·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學校?？茧A段練習）命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，則原命題的否定為.故選：B例38．（2023·全國·高一專題練習）命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】命題“，”的否定是“，”．故選：D．例39．（2023·浙江溫州·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知命題，，則命題的為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】已知命題，，則命的為,.故選:A.例40．（2023·山東棗莊·高一?？茧A段練習）命題“，使得”的否定形式是（

）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得【答案】C【解析】由命題的否定的定義，因為原命題是“，使得”，因此其否定形式應該把全稱量詞改為存在量詞，把改為，所以命題“，使得”的否定形式是“，使得”.故選：C.經典題型六：由命題真假求參數的值(取值范圍)例41．（2023·全國·高一專題練習）已知全集，集合，集合．(1)若，求實數的范圍；(2)若，，使得，求實數的范圍．【解析】（1）若，則，當時，則，，當時，則，則不存在，綜上，，，實數的范圍為．（2），，使得，，且，則，，實數的范圍為．例42．（2023·全國·高一專題練習）已知命題“滿足，使”，(1)命題“”，若命題中至少一個為真，求實數的范圍.(2)命題，若是的充分不必要條件，求實數的范圍.【解析】（1）命題“滿足，使”，為真命題時，，令，則，所以，所以命題為假時，則或，命題“”，為真命題時，，解得或，所以命題為假時，則，又因為命題都為假命題時，，即，所以命題中至少一個為真時，實數的范圍是或；（2）由（1）可知：命題為真命題時，，記因為是的充分不必要條件，所以，當即，也即時，滿足條件；當時，，解得；綜上可知：實數的范圍是例43．（2023·河北承德·高一承德市雙灤區(qū)實驗中學?？计谥校┙獯穑?1)已知命題p：“，”是真命題，求實數a的取值范圍；(2)已知命題q：“滿足，使”為真命題，求實數a的范圍.【解析】(1)命題p為真命題，即在R上恒成立.①當時，不等式為顯然不能恒成立；②當時，由不等式恒成立可知即所以；綜上，a的取值范圍是；(2)當時，由，當時，函數的最小值，當時，函數有最大值，，由題意有，所以.例44．（2023·全國·高一專題練習）“”是真命題，則m的范圍是【答案】【解析】對于命題：對任意，不等式恒成立，而，有，∴，∴命題為真時，實數m的取值范圍是.故答案為:例45．（2023·全國·高一專題練習）某中學開展小組合作學習模式，某班某組小王同學給組內小李同學出題如下：若命題“”是假命題，求范圍．小李略加思索，反手給了小王一道題：若命題“”是真命題，求范圍．你認為，兩位同學題中范圍是否一致？(填“是”“否”中的一種)【答案】是【解析】因為命題“”的否定是“”，而命題“”是假命題，與其否定“”為真命題等價，所以兩位同學題中范圍是一致的，故答案為：是例46．（2023·高一?？紗卧獪y試）若命題“”是假命題，則實數m的范圍是．【答案】【解析】命題是假命題，即命題的否定為真命題，其否定為：，則，解得：.故實數m的范圍是：．故答案為：.例47．（2023·全國·高一專題練習）命題“”為真，則實數a的范圍是【答案】【解析】由題意知：不等式對恒成立，當時，可得，恒成立滿足；當時，若不等式恒成立則需，解得，所以的取值范圍是，故答案為：.例48．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）若命題“”是假命題，則a范圍是．【答案】【解析】由題設可得為真命題，利用判別式可得a的范圍.因為命題“”是假命題，故，恒成立，故即.故答案為：.例49．（2023·全國·高一專題練習）若，使，則實數的范圍為.【答案】【解析】，使成立，可令，得，解得，所以實數的范圍是.故答案為：.例50．（2023·廣東廣州·高二校聯考期末）若命題“，使得”為真命題，則實數的范圍為．【答案】或【解析】利用即可求出.若命題“，使得”為真命題，則，解得或.故答案為：或.例51．（2023·湖南張家界·高一統(tǒng)考期中）命題“，使”是真命題，則的范圍是.【答案】.【解析】等價于在恒成立，即得解.命題“，使”是真命題等價于時，恒成立.所以在恒成立，所以.故答案為：模塊三：數學思想方法①分類討論思想例52．已知全集，集合，集合，其中若“”是“”的充分條件，求a的取值范圍；若“”是“”的必要條件，求a的取值范圍．【解析】因為“”是“”的充分條件，故，在數軸上表示出集合A和B：則，即，解得，則a的取值范圍為；因為“”是“”是必要條件，故，①當時，，即，符合題意；②當時，在數軸上表示出集合A和B：則，即，解得，綜上所述：a的取值范圍為例53．已知集合，若，求；若“”是“”充分不必要條件，求實數a的取值范圍．【解析】當時，，或，因為，所以；若“”是“”的充分不必要條件，即，當時，，此時，滿足，當時，則，即，且，等號不能同時取，解得：，即實數a的取值范圍為例54．已知集合，，全集當時，求若“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．【解析】當時，集合，或，故由題知：，即且，當時，，解得；當時，，解得，由得，，綜上所述：實數a的取值范圍為例55．設集合，若，求a的值；設條件p：，條件q：，若q是p的充分條件，求a的取值范圍．【解析】，，解得；，依題意，①若；②若或時，，，此時；③若，解得，綜上：a的取值范圍是例56．已知集合，在①②"”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第問的橫線處，求解下列問題．當時，求若__________，求實數a的取值范圍．【解析】當時，，而，所以，或選①，由可知：，當時，則，即，滿足，則，當時，，由得：，解得，綜上所述，實數a的取值范圍為或選②，因“”是“”的充分不必要條件，則，當時，則，即，滿足，則，當時，，由得：，且不能同時取等號，解得綜上所述，實數a的取值范