空間解析幾何與向量代數(shù)

第七章空間解析幾何與向量代數(shù)簡(jiǎn)介空間直角坐標(biāo)系向量空間直線及其方程空間平面及其方程常見曲面及其方程數(shù)量關(guān)系

—第七章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—

點(diǎn),

線,

面基本方法—

坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影向量及其線性運(yùn)算

第七章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點(diǎn)無關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線.若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個(gè)向量共面.記作－a;二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.2.向量的減法三角不等式3.向量與數(shù)的乘法

是一個(gè)數(shù),規(guī)定:可見

與a

的乘積是一個(gè)新向量,記作總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律因此定理1.

設(shè)

a

為非零向量,則(

為唯一實(shí)數(shù))證:“”.,取＝±且再證數(shù)

的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b取正號(hào),反向時(shí)取負(fù)號(hào),,a,b

同向時(shí)則b

與

a

同向,設(shè)又有b＝

a,“”則例1.設(shè)M

為解:ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),已知

b＝

a,b＝0a,b同向a,b反向a∥bⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點(diǎn)o,

坐標(biāo)面

卦限(八個(gè))zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念Ⅰ向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點(diǎn)

M

的坐標(biāo))原點(diǎn)O(0,0,0);坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)

M

則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.的坐標(biāo)為此式稱為向量

r

的坐標(biāo)分解式,任意向量r

可用向徑OM

表示.四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得例3.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:設(shè)M

的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即說明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為AB

的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與例4.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點(diǎn)例5.

在z

軸上求與兩點(diǎn)等距解:

設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思考:(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?離的點(diǎn).提示:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且例6.已知兩點(diǎn)和解:求2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱=∠AOB(0≤

≤

)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角

,

,

為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作方向余弦的性質(zhì):例7.已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量例8.設(shè)點(diǎn)A

位于第一卦限,解:已知作業(yè)

P3003,5,13,14,15,18,19角依次為求點(diǎn)A

的坐標(biāo).則因點(diǎn)A

在第一卦限,故于是故點(diǎn)A

的坐標(biāo)為向徑OA

與x

軸y軸的夾*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積數(shù)量積向量積*混合積

第七章一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1.定義設(shè)向量的夾角為,稱

記作數(shù)量積(點(diǎn)積).引例.設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為記作故2.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有

3.運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實(shí)上,當(dāng)時(shí),顯然成立;例1.

證明三角形余弦定理證:則如圖.設(shè)4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量的夾角公式,得例2.

已知三點(diǎn)

AMB.解:則求故為

).求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度例3.

設(shè)均勻流速為的流體流過一個(gè)面積為A的平面域,與該平面域的單位垂直向量解:單位時(shí)間內(nèi)流過的體積的夾角為且為單位向量二、兩向量的向量積引例.設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個(gè)向量

M:的力F作用在杠桿的P點(diǎn)上,則力F

作用在杠桿上的力1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,

稱引例中的力矩思考:右圖三角形面積S＝2.性質(zhì)為非零向量,則∥∥3.運(yùn)算律(2)分配律(3)結(jié)合律(證明略)證明:4.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則向量積的行列式計(jì)算法(行列式計(jì)算見P339～P342)例4.已知三點(diǎn)角形

ABC

的面積解:如圖所示,求三一點(diǎn)M

的線速度例5.設(shè)剛體以等角速度

繞l

軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)出剛體上的表示式.解:在軸l

上引進(jìn)一個(gè)角速度向量使其在l

上任取一點(diǎn)O,作它與則點(diǎn)M離開轉(zhuǎn)軸的距離且符合右手法則的夾角為

,

方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則,向徑*三、向量的混合積1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積.記作幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其2.混合積的坐標(biāo)表示設(shè)3.性質(zhì)(1)三個(gè)非零向量共面的充要條件是(2)輪換對(duì)稱性:(可用三階行列式推出)例6.已知一四面體的頂點(diǎn)4),求該四面體體積.解:已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的故例7.

證明四點(diǎn)共面.解:

因故A,B,C,D

四點(diǎn)共面.內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:混合積:2.向量關(guān)系:思考與練習(xí)1.設(shè)計(jì)算并求夾角

的正弦與余弦.答案:2.用向量方法證明正弦定理:證:由三角形面積公式所以因第六節(jié)一、空間直線方程二、線面間的位置關(guān)系空間直線及其方程

第七章一、空間直線方程因此其一般式方程1.一般式方程直線可視為兩平面交線，(不唯一)2.對(duì)稱式方程故有說明:

某些分母為零時(shí),其分子也理解為零.設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為則此式稱為直線的對(duì)稱式方程(也稱為點(diǎn)向式方程)直線方程為已知直線上一點(diǎn)例如,當(dāng)和它的方向向量3.參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程:例1.用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線解:先在直線上找一點(diǎn).再求直線的方向向量令x=1,解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn).故所給直線的對(duì)稱式方程為參數(shù)式方程為解題思路:先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.二、線面間的位置關(guān)系1.兩直線的夾角

則兩直線夾角

滿足設(shè)直線兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為特別有:例2.

求以下兩直線的夾角解:直線直線二直線夾角

的余弦為(參考P332例2)從而的方向向量為的方向向量為當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角線所夾銳角

稱為直線與平面間的夾角;

2.

直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線

L的方向向量為平面

的法向量為則直線與平面夾角

滿足直線和它在平面上的投影直︿特別有:解:取已知平面的法向量則直線的對(duì)稱式方程為直的直線方程.

為所求直線的方向向量.垂例3.求過點(diǎn)(1,－2,4)

且與平面1.空間直線方程一般式對(duì)稱式參數(shù)式

內(nèi)容小結(jié)

直線2.線與線的關(guān)系直線夾角公式:平面

:L⊥

L//

夾角公式：3.面與線間的關(guān)系直線L:作業(yè)P3353，4，5，7，9P335題2,10思考與練習(xí)解：相交,求此直線方程.的方向向量為過A

點(diǎn)及面的法向量為則所求直線的方向向量方法1利用叉積.所以一直線過點(diǎn)且垂直于直線又和直線備用題設(shè)所求直線與的交點(diǎn)為待求直線的方向向量方法2利用所求直線與L2的交點(diǎn).即故所求直線方程為則有代入上式,得由點(diǎn)法式得所求直線方程而

第七章一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第四節(jié)空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,z表示成參數(shù)t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度,稱為螺距

.例1.將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為例2.求空間曲線:繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:點(diǎn)M1繞z軸旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)過角度

后到點(diǎn)則這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程.例如,直線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為消去t

和

,得旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面(即球面)方程為又如,

xoz

面上的半圓周說明:一般曲面的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù),形如三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xoy面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz

面上的投影曲線方程消去y得C在zox面上的投影曲線方程例如,在xoy面上的投影曲線方程為又如,所圍的立體在xoy

面上的投影區(qū)域?yàn)?上半球面和錐面在xoy面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xoy面上的投影曲線所圍之域.內(nèi)容小結(jié)

空間曲線三元方程組或參數(shù)方程

求投影曲線(如,圓柱螺線)思考與練習(xí)P324題1，2，7（展示空間圖形）P324題1

(2)(1)答案:(3)P324題2(1)思考:交線情況如何?交線情況如何?P324題2(2)P325題7P3243，4，5，6,8作業(yè)備用題求曲線繞z

軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面的交線在

xoy平面的投影曲線方程.解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向xoy

面的投影柱面方程為此曲線在xoy面上的投影曲線方程為,它與所給平面的第五節(jié)一、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角平面及其方程

第七章①一、平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向稱①式為平面

的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故例1.求過三點(diǎn)即解:取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點(diǎn)法式得平面

的方程此平面的三點(diǎn)式方程也可寫成一般情況:過三點(diǎn)的平面方程為說明:特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程.時(shí),平面方程為分析:利用三點(diǎn)式按第一行展開得即二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價(jià),

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.特殊情形?當(dāng)

D=0時(shí),Ax+By+Cz=0表示

通過原點(diǎn)的平面;?當(dāng)

A=0時(shí),By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.例2.

求通過x軸和點(diǎn)(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解:因平面通過

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點(diǎn)得化簡(jiǎn),得所求平面方程(P327例4,自己練習(xí))三、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.特別有下列結(jié)論：因此有例4.一平面通過兩點(diǎn)垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且外一點(diǎn),求例5.設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點(diǎn)到平面的距離公式)例6.解:

設(shè)球心為求內(nèi)切于平面

x+y+z=1

與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且因此所求球面方程為四面體的球面方程.從而內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式三點(diǎn)式2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:思考與練習(xí)P330題4,5,8作業(yè)P3302,6,7,9備用題求過點(diǎn)且垂直于二平面和的平面方程.解:

已知二平面的法向量為取所求平面的法向量則所求平面方程為化簡(jiǎn)得四、二次曲面第三節(jié)一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面

三、柱面曲面及其方程

第七章一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的化簡(jiǎn)得即說明:動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡方程.

定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個(gè)基本問題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).故所求方程為例1.

求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:

設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.例2.研究方程解:

配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌跡.定義2.一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？例3.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方例4.

求坐標(biāo)面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為三、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,定義3.平行定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.

表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xoy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.

z

軸的平面.

表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線

xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線

xoy

面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線