高考數(shù)學(xué)三輪沖刺卷：解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題（含答案）

高考數(shù)學(xué)三輪沖刺卷：解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題一、選擇題（共20小題；）1.如圖，在河岸AC測(cè)量河寬BC時(shí)，測(cè)量下列四組數(shù)據(jù)較適宜的是?? A.c和α B.c和b C.c和β D.b和α2.在地面上一點(diǎn)A測(cè)得一電視塔塔尖的仰角為45°，再向塔底方向前進(jìn)100?m，又測(cè)得塔尖的仰角為60 A.237?m B.227?m C.247?3.美國(guó)為了加強(qiáng)對(duì)伊拉克的控制，進(jìn)行了戰(zhàn)略部署，在位于科威特和沙特的兩個(gè)距離32a的軍事基地C和D，測(cè)得伊拉克兩支精銳部隊(duì)分別在A處和B處，且∠ADB=30°，∠BDC=30° A.64a B.62a4.有一攔水壩的橫斷面是等腰梯形，它的上底長(zhǎng)為6?m，下底長(zhǎng)為10?m，高為2 A.33，60° B.3，60° C.3，30°5.如圖所示，長(zhǎng)為3.5?m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4?m的地面上，另一端B在離堤足C處2.8?m的石堤上，石堤的傾斜角為α，則坡度值 A.2315 B.516 C.2316.如圖，一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與貨輪相距20n?mile，隨后貨輪沿北偏西30°的方向航行30?min后，于 A.202+ C.206+7.一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在同一直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75° A.5海里 B.53海里 C.10海里 D.108.如圖，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，與O相距15海里的C處．現(xiàn)甲船以35?n?mile/h的速度沿直線CB去營(yíng)救位于中心O正東方向25?n? A.12?h B.1?h9.甲船在B島的正南A處，AB=10?km，甲船以4?km/h的速度向B島航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以6?km/h的速度向北偏東 A.1507?min B.15710.某人在C點(diǎn)測(cè)得某塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10?m到D，測(cè)得塔頂A A.15?m B.5?m C.10?11.在△ABC中，a=λ，b=3λ（λ>0），A= A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)12.如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB=BC=60? A.156?m B.20613.已知D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC=a，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A的點(diǎn)仰角分別為α，βα>β，則A點(diǎn)離地面的高AB等于 A.asinαsinβsinα?β14.某人駕駛一艘小游艇位于湖面A處，測(cè)得岸邊一座電視塔的塔底在北偏東21°方向，且塔頂?shù)难鼋菫?8°，此人駕駛游艇向正東方向行駛1000米后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得塔底位于北偏西39 A.265米 B.279米 C.292米 D.306米15.如圖，塔AB的底部為點(diǎn)B，若C，D兩點(diǎn)相距100?m并且與點(diǎn)B在同一水平線上，現(xiàn)從C，D兩點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角分別為45°和30°，則塔AB的高約為??（精確到0.1?m， A.36.5 B.115.6 C.120.5 D.136.516.在200?m高的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30°和60 A.4003?m B.400317.海上有A，B兩個(gè)小島相距10?n?mile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則 A.103?n?mile B.18.海上A，B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C A.103海里 B.1063海里 C.519.如圖所示，要測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，今沿河岸選取相距40米的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30 A.202米 B.203米 C.20620.在塔底的水平面上某點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣龋纱它c(diǎn)向塔底沿直線行走30米，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再向塔前進(jìn)103米，又測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?θ，則塔高為 A.13米 B.14米 C.15米 D.16米二、填空題（共5小題；）21.如圖，AB是豎立在地面上的一根桿子，高為10?m，D為AB的中點(diǎn)，在地面C處測(cè)得點(diǎn)B的仰角為45°，則在C處測(cè)點(diǎn)D的仰角應(yīng)是多少（精確到 22.在半徑為30?m的圓形廣場(chǎng)中央上空，置一個(gè)照明光源，射向地面的光呈圓錐形，且其軸截面頂角為120°，若光源恰好照亮整個(gè)廣場(chǎng)，則其高度應(yīng)為

．（精確到23.我國(guó)《物權(quán)法》規(guī)定：建造建筑物，不得妨礙相鄰建筑物的通風(fēng)和采光．已知某小區(qū)的住宅樓的底部均在同一水面上，且樓高均為45米，依據(jù)規(guī)定，該小區(qū)內(nèi)住宅樓樓間距應(yīng)不小于52米．若該小區(qū)內(nèi)某居民在距離樓底27米高處的某陽(yáng)臺(tái)觀測(cè)點(diǎn)，測(cè)得該小區(qū)內(nèi)正對(duì)面住宅樓樓頂?shù)难鼋桥c樓底的俯角之和為45°，則該小區(qū)的住宅樓樓間距實(shí)際為

24.某海域中有一個(gè)小島B（如圖所示），其周圍3.8海里內(nèi)布滿暗礁（3.8海里及以外無暗礁），一大型漁船從該海域A處出發(fā)由西向東直線航行，在A處望見小島B位于北偏東75°，漁船繼續(xù)航行8海里到達(dá)C處，此時(shí)望見小島B位于北偏東60°，若漁船不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，試問漁船有沒有觸礁的危險(xiǎn)?答： 25.已知Ax1,y1，Bx2,y2為圓M：x2+y三、解答題（共5小題；）26.某人從某處出發(fā)向正東方向走x千米后，向右轉(zhuǎn)150°，如圖所示，然后向前行走3千米，結(jié)果他與出發(fā)點(diǎn)相距1732米，求x．（結(jié)果精確到1 27.某學(xué)校的平面示意圖為如圖五邊形區(qū)域ABCDE，其中三角形區(qū)域ABE為生活區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為教學(xué)區(qū)，AB，BC，CD，DE，EA，BE為學(xué)校的主要道路（不考慮寬度）．∠BCD=∠CDE=2π3，∠BAE= （1）求道路BE的長(zhǎng)度；（2）求生活區(qū)△ABE面積的最大值．28.如圖，某廣場(chǎng)有一塊邊長(zhǎng)為1hm的正方形區(qū)域ABCD，在點(diǎn)A處裝有一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的攝像頭，其能夠捕捉到的圖象的角∠PAQ始終為45°（其中點(diǎn)P，Q分別在邊BC，CD上），設(shè)∠PAB=θ，記 （1）用t表示PQ的長(zhǎng)度，并研究△CPQ的周長(zhǎng)l是否為定值?（2）問攝像頭能捕捉到正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S至多為多少hm29.如圖，滾珠軸承的內(nèi)外圓半徑分別為r和R．如果在這個(gè)滾珠軸承里恰好能放入12顆滾珠，求Rr的值（結(jié)果用sin 30.圖如所示，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至B處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50?m/min，在甲出發(fā)2?min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1?min后，再?gòu)膭蛩俨叫械紺．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130?m/min，山路AC長(zhǎng)為1260?m （1）求索道AB的長(zhǎng)；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短?（3）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)該控制在什么范圍內(nèi)?答案1.D 2.A 【解析】設(shè)電視塔塔尖為B，塔底為C，在地面上一點(diǎn)A向塔底方向前進(jìn)100?m到點(diǎn)D，作圖如圖所示，則A=45°在Rt△ABC中，設(shè)BC=x?m，則AC=x?m．在Rt△BCD中，DC=x?1003.A 【解析】因?yàn)椤螦DC=∠ACD=60°，所以△ADC是等邊三角形．所以在△BDC中，由正弦定理，得BCsin∠BDC=所以在△ABC中，由余弦定理，得AB2=4.B 【解析】如圖所示，橫斷面是等腰梯形ABCD，AB=10?m，CD=6?m，高則AE=AB?CD∴tan∴∠DAE=605.A 【解析】由題意可得，在△ABC中，AB=3.5?m，AC=1.4?m，BC=2.8?m由余弦定理，可得AB2=AC2+BC2?2×AC×BC×6.B 【解析】設(shè)貨輪的速度為v?n?mile/h，由題意，得∠NMS=45°，∠MNS=105°，則∠MSN=30°，又MS=20?n?7.C 8.B 【解析】由題意，得CB因此CB=35n?mile，35÷35=1h，因此甲船到達(dá)9.A 【解析】如圖，設(shè)經(jīng)過x?h時(shí)甲船行至P處，乙船行至Q處，且距離為s?在△BPQ中，由余弦定理，知P即s當(dāng)x=?b2a=51410.C 【解析】如圖，設(shè)塔高為?，在Rt△AOC中，∠ACO=45°在Rt△AOD中，∠ADO=30°在△OCD中，∠OCD=120°，由余弦定理得OD即3?2=解得?=10或?=?5（舍）．11.A 【解析】由正弦定理知sinB=b?12.D 【解析】設(shè)建筑物的高度為?，由題圖知，PA=2?，PB=2?，所以在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得cos∠PBA=602+2?2?4因?yàn)椤螾BA+∠PBC=180°，所以cos∠PBA+由①②③，解得?=306或?=?306（舍去），即建筑物的高度為13.A 14.C 15.D 【解析】設(shè)AB=x，因?yàn)椤螦CB=45°，所以BC=x，又因?yàn)椤螦DB=30°，所以16.A 【解析】如圖所示，在?Rt△AOC中，AO=200，∠ACO=∠HAC=60°，所以AC=AOsin60°=20032=17.D 【解析】如圖，C=180由正弦定理可得10sinC=18.D 【解析】根據(jù)題意，畫出示意圖．在△ABC中，A=60°，B=75所以C=45由正弦定理可得ABsin即102所以BC=5619.C 【解析】在△BCD中，可得DB=DC=40（米），在△ACD中，由正弦定理得AD=203又∠ADB=60所以在△ADB中，由余弦定理得AB=20620.C 【解析】由余弦定理求得2θ=3021.26.22.17.3?23.54【解析】如圖，設(shè)該小區(qū)的住宅樓樓間距為CF=t米，則DF=18米，EF=27米，∠DCE=45所以tan∠DCE=即t2解得t=54．24.無【解析】如圖，過B作AC的延長(zhǎng)線的垂線，垂足為D．在△ABC中，∠ACB=90°+則∠ABC=180所以△ABC為等腰三角形．AC=BC=8，又∠BCD=90所以BD=BCsin30°25.10?5【解析】由題設(shè)可得：AP=x0因?yàn)锳P=2所以x0即3x所以9x因?yàn)锳x1,y1，B且x1所以9x02所以點(diǎn)P的軌跡為圓x2又3x其幾何意義為圓x2+y2=2又因?yàn)閳Ax2+y2=2d=?10所以圓x2+y2=2所以3x26.1732米或3464米．27.（1）如圖，連接BD，在△BCD中，由余弦定理得：BD所以BD=3因?yàn)锽C=CD，所以∠CDB=∠CBD=π又因?yàn)椤螩DE=2所以∠BDE=π所以在Rt△BDE中，BE=

（2）設(shè)∠ABE=α，因?yàn)椤螧AE=π所以∠AEB=2在△ABE中，由正弦定理，得ABsin所以AB=65sin所以S△ABE因?yàn)?<α<2所以π6所以當(dāng)2α?π6=π2，即α=即生活區(qū)△ABE面積的最大值為27328.（1）BP=t，CP=1?t，0≤t≤1，∠DAQ=45°?θ，DQ=所以PQ=C故l=CP+CQ+PQ=1?t+2t所以△CPQ的周長(zhǎng)l是定值2．

（2）S=當(dāng)且僅當(dāng)t=2所以攝像頭能捕捉到正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S至多為2?229.設(shè)軸承圓心為O，相鄰兩顆滾珠的圓心分別為P，Q，在等腰三角形POQ中，∠POQ=30