高考數(shù)學(xué)三輪沖刺卷：離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（含答案）

高考數(shù)學(xué)三輪沖刺卷：離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、選擇題（共20小題；）1.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為?? A.100 B.200 C.300 D.4002.已知隨機(jī)變量ξ滿足下列分布列，當(dāng)p∈0,1且不斷增大時(shí)ξ A.Eξ增大，D B.Eξ減小，D C.Eξ增大，D D.Eξ增大，D3.甲、乙兩自動(dòng)車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)件，X表示甲機(jī)床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙機(jī)床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時(shí)間的考察，X，Y的分布列分別是X據(jù)此判斷?? A.甲比乙質(zhì)量好 B.乙比甲質(zhì)量好 C.甲比乙質(zhì)量相同 D.無法判定4.設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若D10X=10，則D A.110 B.1 C.10 D.5.已知隨機(jī)變量X滿足E1?X=5，D A.EX=?5，DX=5 C.EX=?5，DX=?56.如果X是離散型隨機(jī)變量，EX=6，DX=0.5，X1=2X?5 A.EX1=12，DX C.EX1=12，DX7.從某班6名學(xué)生（其中男生4人，女生2人）中任選3人參加學(xué)校組織的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ，則均值Eξ等于 A.45 B.1 C.758.已知離散型隨機(jī)變量ξ～B20,0.9，若隨機(jī)變量η=5ξ，則η的數(shù)學(xué)期望Eη的值為 A.100 B.90 C.18 D.4.59.若隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示，Eξ=1.6，則a?b=ξ A.0.2 B.?0.2 C.0.8 D.?0.810.已知隨機(jī)變量X滿足E2X+3=7，D A.EX=72，D C.EX=2，DX=811.已知隨機(jī)變量ξi滿足Pξi=1=pi， A.Eξ1 B.Eξ1 C.Eξ1 D.Eξ112.某班舉行了一次“心有靈犀”的活動(dòng)，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個(gè)同學(xué)，這個(gè)同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué)．若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對(duì)成語的概率是0.4，同學(xué)乙猜對(duì)成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對(duì)得1分，猜不對(duì)得0分，則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次，得分之和X（單位：分）的均值為?? A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.113.已知隨機(jī)變量ξ，η滿足η=?2ξ+5，若Eξ=3，D A.Eη=?1，Dη=8 C.Eη=3，Dη=214.設(shè)袋中有兩個(gè)紅球一個(gè)黑球，除顏色不同，其他均相同，現(xiàn)有放回的抽取，每次抽取一個(gè)，記下顏色后放回袋中，連續(xù)摸三次，X表示三次中紅球被摸中的次數(shù)，每個(gè)小球被抽取的幾率相同，每次抽取相對(duì)獨(dú)立，則方差DX= A.2 B.1 C.23 D.15.一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)目ξ的期望為?? A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.416.某群體中每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)X為該群體10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4，PX=4<P A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.317.某人進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)，若試驗(yàn)成功，則停止試驗(yàn)；若試驗(yàn)失敗，則再重新試驗(yàn)一次；若試驗(yàn)3次均失敗，則放棄試驗(yàn)，若此人每次試驗(yàn)成功的概率為23，則此人試驗(yàn)次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望是 A.43 B.139 C.518.已知p>0，q>0，隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ若Eξ=49 A.49 B.12 C.519.已知隨機(jī)變量ξ+η=8，若ξ～B10,0.6，則Eη，Dη分別是 A.6和2.4 B.2和2.4 C.2和5.6 D.6和5.620.某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5，0.6，且此人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)X表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值，則EX等于 A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.1二、填空題（共5小題；）21.已知X是離散型隨機(jī)變量，EX=6，DX=0.5，X1=2X?5，那么EX22.中國福利彩票3D游戲（以下簡稱3D），是以一個(gè)3位自然數(shù)（如：0記作000）為投注號(hào)碼的彩票，投注者從000～999這些3位自然數(shù)中選擇一個(gè)進(jìn)行投注，每注2元，如果與官方公布的三位數(shù)相同，則視為中獎(jiǎng)，獲得獎(jiǎng)金1000元，反之則獲得獎(jiǎng)金0元，某人隨機(jī)投了一注，他的獎(jiǎng)金的期望是23.已知隨機(jī)變量X的概率分布如下：X那么a=

，EX=

．24.設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的可能取值為1，2，3，4，Pξ=k=ak+bk=1,2,3,4，又ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=325.一個(gè)袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是79，則袋中的白球個(gè)數(shù)為

；若從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為ξ，則隨機(jī)變量ξ的均值Eξ=三、解答題（共5小題；）26.為了響應(yīng)教育部頒布的《關(guān)于推進(jìn)中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見》，某校計(jì)劃開設(shè)八門研學(xué)旅行課程，并對(duì)全校學(xué)生的選擇意向進(jìn)行調(diào)查（調(diào)查要求全員參與，每個(gè)學(xué)生必須從八門課程中選出唯一一門課程）．本次調(diào)查結(jié)果整理成條形圖如下．如圖中，已知課程A，B，C，D，E為人文類課程，課程F，G，H為自然科學(xué)類課程．為進(jìn)一步研究學(xué)生選課意向，結(jié)合上面圖表，采取分層抽樣方法從全校抽取1%的學(xué)生作為研究樣本組（以下簡稱“組M”）． （1）在“組M”中，選擇人文類課程和自然科學(xué)類課程的人數(shù)各有多少?（2）為參加某地舉辦的自然科學(xué)營活動(dòng)，從“組M”所有選擇自然科學(xué)類課程的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)前往，其中選擇課程F或課程H的同學(xué)參加本次活動(dòng)，費(fèi)用為每人1500元，選擇課程G的同學(xué)參加，費(fèi)用為每人2000元． （i）設(shè)隨機(jī)變量X表示選出的4名同學(xué)中選擇課程G的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列； （ii）設(shè)隨機(jī)變量Y表示選出的4名同學(xué)參加科學(xué)營的費(fèi)用總和，求隨機(jī)變量Y的期望．27.A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間（單位：天）記錄如下： A組：10，11，12，13，14，15，16 B組：12，13，15，16，17，14，a 假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間互相獨(dú)立，從A，B兩組隨幾各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙．（1）求甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率．（2）如果a=25，求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長的概率．（3）當(dāng)a為何值時(shí)，A，B兩組病人康復(fù)時(shí)間的方差相等?（結(jié)論不要求證明）28.已知某種動(dòng)物服用某種特藥一次后當(dāng)天出現(xiàn)A癥狀的概率為13（1）如果出現(xiàn)A癥狀即停止試驗(yàn)，求試驗(yàn)至多持續(xù)一個(gè)用藥周期的概率；（2）如果在一個(gè)用藥周期內(nèi)出現(xiàn)3次或4次A癥狀，則這個(gè)用藥周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，試驗(yàn)至多持續(xù)兩個(gè)周期．設(shè)藥物試驗(yàn)持續(xù)的用藥周期數(shù)為η，求η的期望．29.如圖，某工人的住所在A處，上班的企業(yè)在D處，開車上、下班時(shí)有三條路程幾乎相等的路線可供選擇：環(huán)城南路經(jīng)過路口C，環(huán)城北路經(jīng)過路口F，中間路線經(jīng)過路口G．如果開車到B，C，E，F(xiàn)，G五個(gè)路口時(shí)因遇到紅燈而堵車的概率分別為15，12，14，1 （1）為了減少開車到路口時(shí)因遇到紅燈而堵車的次數(shù)，這位工人應(yīng)該選擇哪條行駛路線?（2）對(duì)于（1）中所選擇的路線，求其堵車次數(shù)的方差．30.某科研團(tuán)隊(duì)硏發(fā)了一款快速檢測某種疾病的試劑盒．為了解該試劑盒檢測的準(zhǔn)確性，質(zhì)檢部門從某地區(qū)（人數(shù)眾多）隨機(jī)選取了80位患者和100位非患者，用該試劑盒分別對(duì)他們進(jìn)行檢測，結(jié)果如下：患者的檢測結(jié)果非患者的檢測結(jié)果（1）從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一人，對(duì)其檢測一次，估計(jì)此患者檢測結(jié)果為陽性的概率；（2）從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取3人，各檢測一次，假設(shè)每位患者的檢測結(jié)果相互獨(dú)立，以X表示檢測結(jié)果為陽性的患者人數(shù)，利用（Ⅰ）中所得概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)該地區(qū)有10萬人，患病率為0.01．從該地區(qū)隨機(jī)選取一人，用該試劑盒對(duì)其檢測一次．若檢測結(jié)果為陽性，能否判斷此人患該疾病的概率超過0.5?并說明理由答案1.B 【解析】EX2.C 【解析】由題意可知，隨機(jī)變量ξ滿足二項(xiàng)分布，即ξ～B2,p易得Eξ=2p，所以當(dāng)0<p<1且不斷增大時(shí)，Eξ增大，D3.A 【解析】EX=0.1+0.2+0.3=0.6，所以EX4.A 【解析】由D10X=10，得所以DX5.D 【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X滿足E1?X=5，所以1?EX=5，解得EX=?4，6.D 【解析】EX1=2E7.B 8.B 【解析】由題設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ～B20,0.9，若隨機(jī)變量η=5ξ所以Eξ=20×0.9=18，因?yàn)棣?5ξ，所以Eη=E5ξ9.B 【解析】因?yàn)榉植剂兄兴懈怕屎蜑?，所以a+b=0.8，因?yàn)镋ξ所以a+2b+0.3=1.6，a+2b=1.3，解得a=0.3，b=0.5，a?b=?0.2．10.B 【解析】E2X+3=2EX+3=7；D2X+3故選：B．11.A 【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量ξi滿足Pξi=1=0<p1<EξEξDξDξDξ所以Eξ1<E12.A 【解析】由題意得X=0,1,2，則PX=0PX=1PX=2所以EX13.A 【解析】因?yàn)棣??2ξ+5，所以Eη=?2Eξ又Eξ=3，Dξ=2，所以14.C 15.C 【解析】由題意知ξ=0,1,2,3，因?yàn)楫?dāng)ξ=0時(shí)，表示前三次都沒射中，第四次還要射擊，但結(jié)果不計(jì)，所以Pξ=0因?yàn)楫?dāng)ξ=1時(shí)，表示前兩次都沒射中，第三次射中，所以Pξ=1因?yàn)楫?dāng)ξ=2時(shí)，表示第一次沒射中，第二次射中，所以Pξ=2因?yàn)楫?dāng)ξ=3時(shí)，表示第一次射中，所以Pξ=3所以Eξ=2.376．16.B 【解析】某群體中每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，可看做是獨(dú)立重復(fù)事件，該群體10位成員的支付情況滿足X～B10,p其中DX解得p=0.4或0.6，且p>0.5，故17.B 【解析】試驗(yàn)次數(shù)ξ的可能取值為1，2，3，Pξ=1=23，所以ξ的分布列為ξ所以Eξ18.C 19.B 20.A 【解析】X的可能取值為1，3，X=3表示這三個(gè)景點(diǎn)都游覽了或都沒有游覽，所以PX=3=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24，所以X的分布列為X所以EX21.7，222.123.0.2，3.424.125.5，3【解析】設(shè)袋中的白球個(gè)數(shù)為x，則有1?C即10?x9?x由此解得x=5．ξ的所有可能取值分別為0，1，2，3，且Pξ=0Pξ=1Pξ=2Pξ=3因此Eξ26.（1）選擇人文類課程的人數(shù)為100+200+400+200+300×1%=12選擇自然科學(xué)類課程的人數(shù)為300+200+300×1%=8

（2）（i）依題意，隨機(jī)變量X可取0，1，2．PX=0=C64故隨機(jī)變量X的分布列為X（ii）法1：依題意，隨機(jī)變量Y=2000X+15004?X所以隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為EY（ii）法2：依題意，隨機(jī)變量Y可取6000，6500，7000．所以隨機(jī)變量Y的分布列為Y所以隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為E27.（1）設(shè)“甲康復(fù)的時(shí)間不少于14天”為事件A．由“從A，B兩組隨機(jī)地各選1人”，可認(rèn)為基本事件數(shù)為7×7=49，其中滿足“甲康復(fù)的時(shí)間不少于14天”的基本事件數(shù)為3×7=21，所以PA

（2）設(shè)事件Ai為“甲是A組第i個(gè)人”，事件Bi為“乙是B組第i個(gè)人”，由題知，當(dāng)甲是從A組中康復(fù)時(shí)間為10，11兩人中選或乙是從B組中康復(fù)時(shí)間為17，25兩人中選時(shí)，必不滿足“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長”．故甲是從A組中康復(fù)時(shí)間為12，13，14，15，16五人中選取，且乙是從B組中康復(fù)時(shí)間為12，13，14，15，16五人中選取，可認(rèn)為基本事件數(shù)為5×5=25，其中滿足“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長”的基本事件數(shù)為10．設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長”，因此PC

（3）a=11或18；28.（1）方法一：設(shè)持續(xù)i天為事件Ai，i=1,2,3,4用藥持續(xù)最多一個(gè)周期為事件B，所以PA1=13，P則PB方法二