基于數(shù)學(xué)理論的成礦預(yù)測方法研究

基于數(shù)學(xué)理論的成礦預(yù)測方法研究

0成礦預(yù)測中統(tǒng)計理論的提出及應(yīng)用必要性建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測成礦是探索礦位的重要方法。利用統(tǒng)計方法對已有數(shù)據(jù)進行處理,進而推斷其內(nèi)部規(guī)律,并據(jù)此進行隱伏礦體定位仍是成礦預(yù)測的主流。常用的統(tǒng)計方法包括多元統(tǒng)計、地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)等。近年來,既有傳統(tǒng)方法的更新,如新的統(tǒng)計分布模型的應(yīng)用、克立格方法的擴展等,也有新理論和新方法的引入,如統(tǒng)計分形、隨機過程等。本文從數(shù)學(xué)理論分析角度入手,討論了成礦預(yù)測中統(tǒng)計理論的數(shù)學(xué)表述及其物理意義,并探討了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。同時,提出了Weibull分布模型是成礦元素分布的另一種更為普遍的分布形式,并將Weibull模型與分形相結(jié)合對膠東礦集區(qū)大尹格莊金礦的元素分布進行了應(yīng)用研究。1概率統(tǒng)計1.1概率分布特征數(shù)據(jù)概率分布特征分析是通過有限或局部的地質(zhì)數(shù)據(jù)推斷整體的分布特征,進而開展成礦預(yù)測研究的重要步驟。對數(shù)據(jù)概率分布的分析是通過分布函數(shù)來描述的,分布函數(shù)既能說明隨機變量的可能取值,又能指出將以多大的概率取這些值,能較完整地描述隨機變量的變化特征。因此,分析觀測數(shù)據(jù)并確定研究對象的概率分布函數(shù)是一項十分重要的工作。分析觀測數(shù)據(jù)分布特征的最常用方法是作直方圖和統(tǒng)計分布曲線圖。在實際應(yīng)用中多使用正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布或指數(shù)分布來描述成礦元素的品位分布,但是上述數(shù)學(xué)模型的擬合效果與實際地質(zhì)數(shù)據(jù)分布之間仍存在一定差距,并且在描述不同元素分布的過程中,常需變換不同的數(shù)學(xué)模型。Weibull模型的分布曲線對單調(diào)減、單峰對稱和單峰偏斜等分布具有靈活的適應(yīng)性,由此推測Weibull模型可能更適于描述成礦元素分布。在某礦區(qū)成礦元素的應(yīng)用中發(fā)現(xiàn),Weibull分布模型更接近于元素分布,該模型的擬合曲線與原始數(shù)據(jù)直方圖的對應(yīng)效果較好。Weibull分布模型的概率密度函數(shù)可表示為:f(x)=αβ(xβ)α-1exp[-(xβ)α]?x＞0(1)f(x)=αβ(xβ)α?1exp[?(xβ)α]?x＞0(1)其中:形狀參數(shù)α>0;尺度參數(shù)β>0。它們控制密度函數(shù)曲線的二維形態(tài),可以描述多種對象。1.2多元統(tǒng)計分析1.2.1利用內(nèi)在聯(lián)系生成主要成分數(shù)據(jù)屬性分析是要判別各組數(shù)據(jù)的關(guān)系,把具有相似性的數(shù)據(jù)進行分類;將存在復(fù)雜關(guān)系的較多變量依據(jù)某種內(nèi)在聯(lián)系作最佳組合,生成幾個主要的成分等。數(shù)據(jù)屬性的分析方法主要有相關(guān)分析與回歸分析、點群分析、判別分析、典型相關(guān)分析、因子分析、非線性映射分析和對應(yīng)分析等。1.2.2進行趨勢分析由于成礦預(yù)測觀測值可分解為趨勢部分和隨機部分,對觀測數(shù)據(jù)進行趨勢分析是要將趨勢部分分離出來。采用的方法是用空間或時間的某種函數(shù)來逼近趨勢,從而分解出趨勢部分。主要方法包括趨勢面分析、調(diào)和趨勢分析、典型趨勢分析和單位向量場分析。2可變異性函數(shù)地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)是以區(qū)域化變量理論為基礎(chǔ),以變異函數(shù)為基本工具,研究在時空分布上既具有隨機性又具有結(jié)構(gòu)性的自然現(xiàn)象的科學(xué)。變異函數(shù)是研究時空分布數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)性、變異性的有效工具。在成礦預(yù)測中的許多變量,如礦石品位、礦體厚度、巖礦的各種物化參數(shù)、地形的標高等都和觀測點的坐標有關(guān),因而都是區(qū)域化變量,都可以用變異函數(shù)研究。地質(zhì)統(tǒng)計分析在成礦數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用非常廣泛,而且歷史悠久,它已經(jīng)成為地質(zhì)研究工作中必不可少的應(yīng)用工具,其理論和方法都將隨著地質(zhì)研究中新問題的出現(xiàn)而不斷發(fā)展和完善。2.1a點x的變異函數(shù)區(qū)域化變量是空間上的一個數(shù)值函數(shù),它在空間的每一個點取一個確定值。由于區(qū)域化變量具有結(jié)構(gòu)性和隨機性,因此不能用通常的數(shù)學(xué)分析方法對這種數(shù)值空間函數(shù)進行直接的研究,為此需作平穩(wěn)假設(shè):(1)假定的局部范圍內(nèi),變量的數(shù)學(xué)期望值為一常數(shù),并且不依賴于支撐點x,即E[Ζ(x)]=m?x(2)E[Z(x)]=m?x(2)(2)任意一對隨機變量值{Z(x),Z(x+h)}的協(xié)方差存在,并且只依賴于相隔的距離h,即C(h)=E{Ζ(x+h)?Ζ(x)}-m2(3)C(h)=E{Z(x+h)?Z(x)}?m2(3)變異函數(shù)是任一方向α、相距為h的兩個區(qū)域變量值Z(x)和Z(x+h)增量的方差的一半,記為2γ(h,α)=Var{Ζ(x)-Ζ(x+h)}(4)2γ(h,α)=Var{Z(x)?Z(x+h)}(4)由實測數(shù)據(jù)獲得的變異函數(shù)稱為先驗變異函數(shù),記為γ*(h)=12Ν(h)Ν(h)∑i=1[Ζ(xi)-Ζ(xi+h)]2(5)其中要求Z(x)存在且平穩(wěn),N(h)是被矢量分隔的數(shù)據(jù)對的數(shù)目。利用變異函數(shù)能有效分析成礦預(yù)測變量的不同連續(xù)性、不同類型的各向異性和不同程度的可遷性。2.2金融學(xué)變量范圍的設(shè)定克立格法是一種局部估計方法,它以最小的估計方差給出對于塊段平均品位的無偏估計量。實際上,它也是一種廣義的最小二乘回歸算法,而其最優(yōu)目標是誤差的期望值為零,方差達到最小。根據(jù)不同的研究目的和不同的約束條件,有不同的克立格法,但都是通過先確立克立格方程組,然后再求解的。根據(jù)所研究對象的不同趨勢,克里格法可有3種不同類型:(1)簡單克立格法,E[Z(x)]=m為已知,且Z(x)滿足二階平穩(wěn)(或內(nèi)蘊)假設(shè);(2)普通克立格法,E[Z(x)]=m為未知,且Z(x)滿足二階平穩(wěn)(或內(nèi)蘊)假設(shè);(3)泛克立格法,E[Z(x)]=m(x),Z(x)非平穩(wěn),其中Z(x)=Y(x)+m(x),Y(x)為漂移,且E{Y(x)}=0。依據(jù)研究目的不同,克立格法還可以包括:(1)因子克立格法,用以理解各種不同尺度影響的根源;(2)協(xié)同克立格法,用于多個變量且具有協(xié)同區(qū)域性的情況;(3)塊狀克立格法,用特定的尺度“塊”——稱為支集的研究;(4)對數(shù)克立格法,用于區(qū)域變量Z(x)服從對數(shù)正態(tài)分布情況;(5)指示克立格法,對有特異值的數(shù)據(jù)進行分析。綜上所述,地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)的核心思想是通過變異函數(shù),把所有的點對按照間隔距離的大小、方向進行分組,在每一個組內(nèi),計算每個點對屬性值的差異,取其平均作為該組屬性值的差異(變異值)。這樣,將整個空間分為不同大小和方向的組,并有相對應(yīng)的屬性差值。然后,再以線性、無偏和最小估計方差為前提,利用克立格方程組的解,對每一樣品值分別賦給一定的權(quán)系數(shù),最后進行加權(quán)平均來進行估計。隨著研究的不斷深入,數(shù)據(jù)空間結(jié)構(gòu)進一步細化,對估計量的精度要求會越來越高,因此,還會有新的克立格法不斷產(chǎn)生。3分形的內(nèi)涵、測量分形是其組成部分以某種方式與整體相似的形,是研究自然界空間結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的一門學(xué)科。分形理論中最核心的概念是分維數(shù),它是分形的定量表征。研究表明,通過地質(zhì)體的分維值可以挖掘潛在的成礦信息,建立分形模型。自然界中的分形有兩種基本類型:統(tǒng)計自相似分形和統(tǒng)計自仿射分形。3.1特征尺度及模型統(tǒng)計自相似分形具有不隨標度變化的自相似特征,當(dāng)其局部被放大時,它表現(xiàn)為與整體統(tǒng)計相似。也可以說自相似分形具有各向同性的特點,即在由x和y坐標所確定的二維情況下,結(jié)構(gòu)與x軸和y軸的幾何取向無關(guān)。常用的統(tǒng)計分形模型為:Ν(r)=Cr-Dr＞0(6)其中:r表示特征尺度;C>0,稱為比例常數(shù);D>0,稱為分維數(shù);N(r)=Cr-D,表示尺度大于等于r的數(shù)目,記為N(≥r)。分維數(shù)的求值有兩種方法:一元線性回歸方法和非線性回歸方法。一元線性回歸法是將觀測數(shù)據(jù)(N(r1),N(r2),…,N(rn))和(r1,r2,…,rn)代入線性回歸方程:lgΝ(r)=-Dlgr+lgC(7)用最小二乘法求出斜率D,即分維值的估計值。非線性回歸法是以(6)式為非線性回歸模型,用非線性回歸的最小二乘法直接求出參數(shù)的估計量,也就是分維數(shù)。此方法求出的分維數(shù)比用一元線性回歸模型求出的分維數(shù)更精確,即誤差更小,而且不必受取對數(shù)的條件所限制。3.2lq1h及tt-lt特征與統(tǒng)計自相似分形不同的是,統(tǒng)計自仿射分形自相似性不單一,隨著尺度的不同而變化,具有各向異性的特點。其描述整體行為的分形維數(shù)與描述局部行為的分形維數(shù)不相等,也就是說它具有與自相似分形完全不同的特點。如分數(shù)Brown運動,記為BH(t),是時間段[0,T]上的函數(shù),H是Hausdorff測度,且H∈,BH(t)具有統(tǒng)計特征:σ(BΗ(t))∝ΤΗ(8)σ(BΗ(bt))∝bΗΤΗ(9)其中b是伸縮常數(shù)。根據(jù)(8)、(9)兩式可得σ(BH(bt))∝bHσ(BH(t)),這說明分數(shù)Brown運動是自仿射統(tǒng)計分形。利用數(shù)盒子方法,可求得分數(shù)Brown運動的局部維是D=2-H,而它的整體維當(dāng)b→∞時是D=1。實際上,現(xiàn)實中地質(zhì)問題往往表現(xiàn)為自仿射分形,如多數(shù)地形、地下深部構(gòu)造、Brown運動曲線等都是自仿射統(tǒng)計分形?？梢灶A(yù)測,自仿射分形理論在地質(zhì)學(xué)研究中有廣泛的應(yīng)用前景。自仿射分形在地質(zhì)研究中的應(yīng)用還不像自相似分形的應(yīng)用那么普及,主要原因是由于自仿射分形的分維數(shù)不易求出,因為自仿射分形維數(shù)是整體維還是局部維與所選尺度單位有關(guān)。Mandelbrot的研究認為:對于自仿射分形,存在一個新的量,稱為跨越長度tc(crossoverlength),在它兩側(cè)存在著局域和整體兩個不同的分維值。而合理地選擇跨越長度tc是十分困難的。4受系統(tǒng)本身存在的概率有隨機過程所描述的是自變量和因變量的關(guān)系不確定的物體的運動過程,自變量和因變量間既存在某種相關(guān)關(guān)系,又受系統(tǒng)本身存在的特定概率的支配。在數(shù)學(xué)上,將依賴于一個參數(shù)t的隨機變量集合{xt}稱為隨機過程。隨機過程的種類很多,按照過程的概率結(jié)構(gòu)可分為二階矩過程、平穩(wěn)過程、馬爾可夫過程、鞅過程和隨機點過程等。下面只介紹在地學(xué)數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用較多和有應(yīng)用潛力的馬爾可夫過程和隨機點過程兩種方法。4.1成礦過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移馬爾可夫過程是研究事物狀態(tài)及狀態(tài)轉(zhuǎn)移的理論,該過程考慮了以前事件對后來事件的影響,即從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一種狀態(tài),隨時間變化所作的狀態(tài)轉(zhuǎn)移,且狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有概率性質(zhì)。它是以時間序列來處理觀測數(shù)據(jù)的。若馬爾可夫過程的狀態(tài)是離散的,則稱此過程為馬爾可夫鏈。在成礦預(yù)測中,元素豐度變化可看成是一個隨機運動著的狀態(tài)變化。由于狀態(tài)的轉(zhuǎn)移是一隨機事件,在研究中雖然不能準確地預(yù)言下一時刻的豐度值,但可以根據(jù)馬爾可夫鏈理論和方法,事先給出轉(zhuǎn)移到某一狀態(tài)的概率,即轉(zhuǎn)移概率,從而達到研究和預(yù)測的目的。4.2預(yù)測的過程屬于序列的疊加過程隨機點過程是隨機過程理論的一個重要分支,它是依賴于循環(huán)時間的隨機過程。用數(shù)學(xué)術(shù)語表達為:設(shè){ξn}n=0,1,2,…是一個離散參數(shù)隨機過程,對于所有n,存在正的常數(shù)M,并且有M≥ξn≥0,若取tn=n∑i=1ξi,則稱{tn}是一個隨機點過程。實際上,它是一個序列的累加過程。在成礦預(yù)測中,可用其分析沉積作用,因為沉積物的厚度可看成是一定重復(fù)時間的累加過程。在地學(xué)中,沉積地層厚度和剖面元素的分布等系列數(shù)據(jù)均可視為隨機點過程。Huang等從隨機動力學(xué)角度,在厘米級的巖性變化尺度上,定量分析了鄂東二疊系大隆組頂部和三疊系大冶組底部的沉積行為及動力學(xué)特征,詳細研究了沉積過程中的馬爾可夫過程,為該區(qū)的P—T之交的沉積環(huán)境突變,給出了動力學(xué)解釋。5多種方法相互配合的方法本文從數(shù)學(xué)理論分析角度出發(fā),討論了多元統(tǒng)計、地質(zhì)統(tǒng)計分析、統(tǒng)計分形和隨機過程等多種方法的數(shù)學(xué)表述及其物理內(nèi)涵;這些方法與其分支之間存在內(nèi)在的聯(lián)系(圖1)。從圖1中可以看出,概率統(tǒng)計是多元統(tǒng)計、地質(zhì)統(tǒng)計分析、統(tǒng)計分形和隨機過程的公共基礎(chǔ)。多元統(tǒng)計、地質(zhì)統(tǒng)計分析、統(tǒng)計分形和隨機過程從不同的角度描述了數(shù)據(jù)集的物理內(nèi)涵,如多元統(tǒng)計學(xué)的十幾種方法,可概括為相依性、趨勢性與依賴型。多種傳統(tǒng)方法相互配合使用,可以進行數(shù)據(jù)集的深度挖掘。以分形為例,分形規(guī)律與上述分析方法有諸多聯(lián)系之處。如在Weibull模型中,當(dāng)α?β時,表現(xiàn)為自相似分形,其形狀參數(shù)α對應(yīng)于數(shù)據(jù)集分維值;區(qū)域化變量Z(x)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)時,變異函數(shù)r(h)與間距h存在冪律關(guān)系,即r(h)=ch4-2D,其中D是分維值;隨機行走是自仿射分形的典型實例。筆者將Weibull分布和分形模型有機地結(jié)合,分析了膠東礦集區(qū)大尹格莊金礦中S、Cu、Pb、Au4種元素的空間分布特征。首先將4種元素的空間分布進行分形統(tǒng)計,得出盒子維數(shù);再以盒子維數(shù)、均值作為Weibull模型的形狀參數(shù)α及尺度參數(shù)β,做出統(tǒng)計對象的分布曲線;進一步將Weibull曲線與元素空間分布的直方圖進行對比,判斷兩者是否吻合。S、Cu、Pb、Au4種元素的盒子維數(shù)各不相同,直方圖也互有差異(圖2至圖5),將盒子維數(shù)作為Weibull模型的形狀參數(shù),做出Weibull分布曲線,其與元素含量直方圖擬合較好。Weibull模型的成功應(yīng)用說