《經(jīng)濟數(shù)學》413-5（雷安平）教案 第16課 定積分的概念及性質(zhì)

16第16第課定積分的概念及性質(zhì)PAGE6定積分的概念及性質(zhì)第定積分的概念及性質(zhì)第課16PAGE7

課題定積分的概念及性質(zhì)課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：（1）掌握定積分的概念（2）掌握定積分的幾何意義（3）掌握定積分的性質(zhì)思政育人目標：通過定積分概念及性質(zhì)的學習，鍛煉學生的邏輯思維能力，培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和作風，提高自身科學素養(yǎng)。教學重難點教學重點：定積分的概念教學難點：定積分的幾何意義教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設(shè)計第1節(jié)課：課堂測驗（10min）第2節(jié)課：課堂測驗（15min）課堂小結(jié)（3min）教學過程主要教學內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進行簽到【學生】按照老師要求簽到培養(yǎng)學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況引例導(dǎo)入（15min）【教師】講解引例設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則由曲線，直線，以及軸所圍成的平面圖形，稱為曲邊梯形，如圖6-1所示．試求此曲邊梯形的面積．圖6-1如何計算曲邊梯形的面積呢？由于曲邊梯形的高在區(qū)間上是連續(xù)變化的，因此，在很小一段區(qū)間上它的變化很小，近似于不變．將區(qū)間劃分為許多小區(qū)間，曲邊梯形也相應(yīng)地被劃分成許多小曲邊梯形．如果在每個小區(qū)間上用其中某一點的高近似代替同一區(qū)間上小曲邊梯形的變高，那么，每個小曲邊梯形就可以近似看成小矩形．以這些小矩形的面積作為曲邊梯形面積的近似值，并將區(qū)間無限細分下去，使每個小區(qū)間的長度都趨于0，這時所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形的面積．根據(jù)上面的分析，可按下面的步驟計算曲邊梯形的面積．1．分割任取分點把區(qū)間任意分成個小區(qū)間，即．每個小區(qū)間的長度為．對應(yīng)地，把曲邊梯形分成個小曲邊梯形，其面積為．2．近似代替對于第個小曲邊梯形，在小區(qū)間上任取一點，得到以區(qū)間的長為底、以為高的小矩形，如圖6-2所示．用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，即．圖6-23．求和將個小矩形的面積加起來，即得曲邊梯形面積的近似值如下：．4．取極限當分點個數(shù)無限增大，且小區(qū)間長度的最大值趨近于0時，上述和式的極限便是曲邊梯形的面積，即．類似于上述解決問題的方法，就稱為定積分．【學生】聆聽、思考、理解、記錄通過引例曲講解曲邊梯形面積的計算步驟，引出定積分的概念知識講解

（18min）【教師】講解定積分的概念定義6-1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，任意取分點把區(qū)間分成個小區(qū)間，這些小區(qū)間稱為子區(qū)間，其長度記為．在每個子區(qū)間上任取一點，得相應(yīng)的函數(shù)值；作乘積，得和式．令，若，上述和式的極限存在，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，并將此極限值稱為函數(shù)在上的定積分，記作，即．其中，“”稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量，區(qū)間稱為積分區(qū)間，分別稱為積分下限與上限．關(guān)于定積分的定義，作如下說明：（1）和式極限存在（即函數(shù)可積），是指不論對區(qū)間怎樣劃分及點如何選取，極限都唯一存在．（2）定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記號無關(guān)，即．（3）定積分的存在性：當在區(qū)間上連續(xù)或只有有限個左右極限都存在的間斷點時，在區(qū)間上的定積分存在（即可積）．初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)部都是可積的．（4）定義6-1是在的情況下給出的，但不管還是，總有．特別地，當時，規(guī)定．【學生】掌握定積分的概念學習定積分的概念，邊學邊做，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗

（10min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生進行測試【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（25min）【教師】講解定積分的幾何意義和性質(zhì)三、定積分的幾何意義根據(jù)前面的引例可知，如果在區(qū)間上，則定積分表示由曲線，直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積．如果在區(qū)間上，如圖6-3所示，此時，由曲線，直線如果在區(qū)間上既可取正值又可取負值，則定積分在幾何上表示介于曲線，直線及軸之間各曲邊梯形面積的代數(shù)和，如圖6-4所示．圖6-3圖6-4四、定積分的性質(zhì)設(shè)函數(shù)在所討論的區(qū)間上可積，則定積分有如下性質(zhì)．性質(zhì)1函數(shù)和（差）的定積分等于它們定積分的和（差），即．性質(zhì)2被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號的前面，即．性質(zhì)3對任意的，有．這一性質(zhì)稱為定積分在區(qū)間上的可加性，即不論是否在內(nèi)，此結(jié)論均成立．性質(zhì)4如果在區(qū)間上，，則．性質(zhì)5（保號性）如果在區(qū)間上恒有，則；如果在區(qū)間上恒有，則．性質(zhì)6（積分估值性質(zhì)）設(shè)和分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，則．性質(zhì)6的幾何意義是：曲邊梯形的面積介于矩形與矩形的面積之間，如圖6-5所示．性質(zhì)7（定積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則上至少存在一點，使得．定積分中值定理的幾何意義是：在閉區(qū)間上至少存在一點，使得以區(qū)間為底邊，以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于底邊長為、高為的一個矩形的面積，如圖6-6所示．圖6-5圖6-6顯然，定積分中值公式無論對于還是都是成立的．例1比較下列各對積分值的大?。?）與； （2）與； （3）與．解（1）因為在上，，所以．（2）因為在上，，所以．（3）因為在上，，所以．例2試估算積分的值．解在區(qū)間上，的最小值和最大值分別為1和e，由性質(zhì)6可得，即．【學生】掌握定積分的幾何意義和性質(zhì)學習定積分的幾何意義和性質(zhì)，邊做邊講，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗

（15min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生進行測試【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象課堂小結(jié)

（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了定積分的概念、幾何意義和性質(zhì)，難度較高，課后要多加練習，鞏固知識。【學生】總結(jié)回顧知識點總結(jié)知識點，鞏固印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)：完成課后習題6-1【學生】完