《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》413-5（雷安平）教案 第16課 定積分的概念及性質(zhì)

16第16第課定積分的概念及性質(zhì)PAGE6定積分的概念及性質(zhì)第定積分的概念及性質(zhì)第課16PAGE7

課題定積分的概念及性質(zhì)課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）掌握定積分的概念（2）掌握定積分的幾何意義（3）掌握定積分的性質(zhì)思政育人目標(biāo)：通過(guò)定積分概念及性質(zhì)的學(xué)習(xí)，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和作風(fēng)，提高自身科學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念教學(xué)難點(diǎn)：定積分的幾何意義教學(xué)方法講授法、問(wèn)答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：課堂測(cè)驗(yàn)（10min）第2節(jié)課：課堂測(cè)驗(yàn)（15min）課堂小結(jié)（3min）教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況引例導(dǎo)入（15min）【教師】講解引例設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則由曲線，直線，以及軸所圍成的平面圖形，稱為曲邊梯形，如圖6-1所示．試求此曲邊梯形的面積．圖6-1如何計(jì)算曲邊梯形的面積呢？由于曲邊梯形的高在區(qū)間上是連續(xù)變化的，因此，在很小一段區(qū)間上它的變化很小，近似于不變．將區(qū)間劃分為許多小區(qū)間，曲邊梯形也相應(yīng)地被劃分成許多小曲邊梯形．如果在每個(gè)小區(qū)間上用其中某一點(diǎn)的高近似代替同一區(qū)間上小曲邊梯形的變高，那么，每個(gè)小曲邊梯形就可以近似看成小矩形．以這些小矩形的面積作為曲邊梯形面積的近似值，并將區(qū)間無(wú)限細(xì)分下去，使每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于0，這時(shí)所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形的面積．根據(jù)上面的分析，可按下面的步驟計(jì)算曲邊梯形的面積．1．分割任取分點(diǎn)把區(qū)間任意分成個(gè)小區(qū)間，即．每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為．對(duì)應(yīng)地，把曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形，其面積為．2．近似代替對(duì)于第個(gè)小曲邊梯形，在小區(qū)間上任取一點(diǎn)，得到以區(qū)間的長(zhǎng)為底、以為高的小矩形，如圖6-2所示．用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，即．圖6-23．求和將個(gè)小矩形的面積加起來(lái)，即得曲邊梯形面積的近似值如下：．4．取極限當(dāng)分點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限增大，且小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值趨近于0時(shí)，上述和式的極限便是曲邊梯形的面積，即．類似于上述解決問(wèn)題的方法，就稱為定積分．【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、理解、記錄通過(guò)引例曲講解曲邊梯形面積的計(jì)算步驟，引出定積分的概念知識(shí)講解

（18min）【教師】講解定積分的概念定義6-1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，任意取分點(diǎn)把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，這些小區(qū)間稱為子區(qū)間，其長(zhǎng)度記為．在每個(gè)子區(qū)間上任取一點(diǎn)，得相應(yīng)的函數(shù)值；作乘積，得和式．令，若，上述和式的極限存在，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，并將此極限值稱為函數(shù)在上的定積分，記作，即．其中，“”稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，區(qū)間稱為積分區(qū)間，分別稱為積分下限與上限．關(guān)于定積分的定義，作如下說(shuō)明：（1）和式極限存在（即函數(shù)可積），是指不論對(duì)區(qū)間怎樣劃分及點(diǎn)如何選取，極限都唯一存在．（2）定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)，即．（3）定積分的存在性：當(dāng)在區(qū)間上連續(xù)或只有有限個(gè)左右極限都存在的間斷點(diǎn)時(shí)，在區(qū)間上的定積分存在（即可積）．初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)部都是可積的．（4）定義6-1是在的情況下給出的，但不管還是，總有．特別地，當(dāng)時(shí)，規(guī)定．【學(xué)生】掌握定積分的概念學(xué)習(xí)定積分的概念，邊學(xué)邊做，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)

（10min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測(cè)試的題目，并讓學(xué)生進(jìn)行測(cè)試【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象第二節(jié)課知識(shí)講解

（25min）【教師】講解定積分的幾何意義和性質(zhì)三、定積分的幾何意義根據(jù)前面的引例可知，如果在區(qū)間上，則定積分表示由曲線，直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積．如果在區(qū)間上，如圖6-3所示，此時(shí)，由曲線，直線如果在區(qū)間上既可取正值又可取負(fù)值，則定積分在幾何上表示介于曲線，直線及軸之間各曲邊梯形面積的代數(shù)和，如圖6-4所示．圖6-3圖6-4四、定積分的性質(zhì)設(shè)函數(shù)在所討論的區(qū)間上可積，則定積分有如下性質(zhì)．性質(zhì)1函數(shù)和（差）的定積分等于它們定積分的和（差），即．性質(zhì)2被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)的前面，即．性質(zhì)3對(duì)任意的，有．這一性質(zhì)稱為定積分在區(qū)間上的可加性，即不論是否在內(nèi)，此結(jié)論均成立．性質(zhì)4如果在區(qū)間上，，則．性質(zhì)5（保號(hào)性）如果在區(qū)間上恒有，則；如果在區(qū)間上恒有，則．性質(zhì)6（積分估值性質(zhì)）設(shè)和分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，則．性質(zhì)6的幾何意義是：曲邊梯形的面積介于矩形與矩形的面積之間，如圖6-5所示．性質(zhì)7（定積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則上至少存在一點(diǎn)，使得．定積分中值定理的幾何意義是：在閉區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得以區(qū)間為底邊，以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于底邊長(zhǎng)為、高為的一個(gè)矩形的面積，如圖6-6所示．圖6-5圖6-6顯然，定積分中值公式無(wú)論對(duì)于還是都是成立的．例1比較下列各對(duì)積分值的大?。?）與； （2）與； （3）與．解（1）因?yàn)樵谏?，，所以．?）因?yàn)樵谏希裕?）因?yàn)樵谏希?，所以．?試估算積分的值．解在區(qū)間上，的最小值和最大值分別為1和e，由性質(zhì)6可得，即．【學(xué)生】掌握定積分的幾何意義和性質(zhì)學(xué)習(xí)定積分的幾何意義和性質(zhì)，邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)

（15min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測(cè)試的題目，并讓學(xué)生進(jìn)行測(cè)試【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象課堂小結(jié)

（3min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家掌握了定積分的概念、幾何意義和性質(zhì)，難度較高，課后要多加練習(xí)，鞏固知識(shí)?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)：完成課后習(xí)題6-1【學(xué)生】完