d12數(shù)列的極限課件

第一章二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、極限存在準(zhǔn)那么一、數(shù)列極限的定義第二節(jié)數(shù)列的極限數(shù)學(xué)語言描述:一、數(shù)列極限的定義引例.設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.如下圖,可知當(dāng)

n無限增大時(shí),無限逼近S.當(dāng)n

>

N時(shí),用其內(nèi)接正

n

邊形的面積總有劉徽(劉徽割圓術(shù))播放數(shù)列的極限問題:當(dāng)

無限增大時(shí),是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近〞意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:“無限接近〞的含義：只要n足夠大，可以小于任意給定的小正數(shù)。無論它多么小，定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作或稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)).假設(shè)數(shù)列及常數(shù)a有以下關(guān)系:當(dāng)n>

N

時(shí),總有記作此時(shí)也稱數(shù)列收斂,否那么稱數(shù)列發(fā)散.幾何解釋:即或那么稱該數(shù)列的極限為a,例如,趨勢(shì)不定收斂發(fā)散如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：幾何解釋:其中例1.證明數(shù)列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取那么當(dāng)時(shí),就有故例2.證明證:欲使只要即取那么當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N

與

有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,那么當(dāng)n>N時(shí),就有故的極限為0.例證成立.由極限的定義可知:小結(jié)〔1〕用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定>0尋找N,使當(dāng)n>N時(shí)，〔2〕為了找到上述N，常常先將適當(dāng)放大為再令并從中能方便的解出此時(shí)取〔3〕有時(shí)為了方便，在不阻礙可以任意小的前提下，可事先設(shè)小于某個(gè)正數(shù)。二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有1.收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾,因此收斂數(shù)列的極限必唯一.那么當(dāng)n>N時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式例4.

證明數(shù)列是發(fā)散的.

證:

用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,那么有唯一極限a存在.取那么存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在長(zhǎng)度為1的開區(qū)間使當(dāng)n>N

時(shí),有因此該數(shù)列發(fā)散.2.收斂數(shù)列一定有界.證:

設(shè)取那么當(dāng)時(shí),從而有取那么有由此證明收斂數(shù)列必有界.說明:

此性質(zhì)反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.有數(shù)列3.收斂數(shù)列具有保號(hào)性.假設(shè)且有證:對(duì)a>0,取推論:假設(shè)數(shù)列從某項(xiàng)起(用反證法證明)保號(hào)性定理的推論2：在極限存在的前提下,對(duì)不等式兩邊可以同時(shí)取極限,不等號(hào)的方向不變,但嚴(yán)格不等號(hào)也要改為不嚴(yán)格不等號(hào)子數(shù)列的概念

在數(shù)列{xn}:x1,x2,

,xn,

中,保持各項(xiàng)原來的先后次序不變,自左往右任意選取無窮多項(xiàng)所構(gòu)成的新的數(shù)列,稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列,記為*********************4.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.證:設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.假設(shè)那么當(dāng)時(shí),有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證明*********************三、極限存在準(zhǔn)那么由此性質(zhì)可知,假設(shè)數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限,例如，

發(fā)散!夾逼準(zhǔn)那么;單調(diào)有界準(zhǔn)那么;*柯西審斂準(zhǔn)那么.那么原數(shù)列一定發(fā)散.說明:1.夾逼準(zhǔn)那么(準(zhǔn)那么1)(P50)證:

由條件(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令那么當(dāng)時(shí),有由條件(1)即故例5.證明證:利用夾逼準(zhǔn)那么.且由2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限(準(zhǔn)那么2)(P52)(證明略)例6.設(shè)證明數(shù)列極限存在.(P53～P54)證:利用二項(xiàng)式公式,有大大正又比較可知根據(jù)準(zhǔn)那么2可知數(shù)列記此極限為e,e

為無理數(shù),其值為即有極限.又內(nèi)容小結(jié)*3.柯西極限存在準(zhǔn)那么(柯西審斂原理)(P55)數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù)N,使當(dāng)時(shí),證:“必要性〞.設(shè)那么時(shí),有使當(dāng)因此“充分性〞證明從略.有柯西內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“–N〞定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;保號(hào)性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3.極限存在準(zhǔn)那么:夾逼準(zhǔn)那么;單調(diào)有界準(zhǔn)那么;*柯西準(zhǔn)那么

收斂的數(shù)列必有界.

有界的數(shù)列不一定收斂.

無界的數(shù)列必發(fā)散.

發(fā)散的數(shù)列不一定無界.思考與練習(xí)1.如何判斷極限不存在?方法1.

找一個(gè)趨于∞的子數(shù)列;方法2.

找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.2.,求時(shí),下述作法是否正確?說明理由.設(shè)由遞推式兩邊取極限得不對(duì)!此處作業(yè)P301,*3

(2),*4

P564

(1),(3)4

(3)

提示:可用數(shù)學(xué)歸納法證第三節(jié)故極限存在，備用題

1.設(shè),且求解：設(shè)那么由遞推公式有∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故利用極限存在準(zhǔn)那么2.

設(shè)證:顯然證明下述數(shù)列有極限.即單調(diào)增,又存在“拆項(xiàng)相消〞法劉徽(約225–295年)我國(guó)古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的?重差?對(duì)?九章算術(shù)?中的方法和公式作了全面的評(píng)注,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的奉獻(xiàn).他的“割圓術(shù)〞求圓周率“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,那么與圓合體而無所失矣〞它包含了“用逼近未知,用近似逼近精確〞的重要極限思想.

的方法:柯西(1789–1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的奉獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),?柯西全集?共有27卷.其中