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PAGEPAGE1離散數(shù)學圖論部分綜合練習一、單項選擇題 1.設(shè)圖G的鄰接矩陣為 則G的邊數(shù)為(). A.6B.5C.4D. 2.已知圖G的鄰接矩陣為,則G有().A.5點,8邊B.6點,7邊C.6點,8邊D.5點,7邊cabecabedf圖一A.deg(V)=2EB.deg(V)=EC.D.4.圖G如圖一所示,以下說法正確的是().A.{(a,d)}是割邊B.{(a,d)}是邊割集圖二C.{(d,e圖二D.{(a,d),(a,c)}是邊割集5.如圖二所示,以下說法正確的是().A.e是割點B.{a,e}是點割集C.{b,e}是點割集D.ipyffi2是點割集 6.如圖三所示,以下說法正確的是().A.{(a,e)}是割邊 B.{(a,e)}是邊割集C.{(a,e),(b,c)}是邊割集D.{(d,e)}是邊割集圖三7.設(shè)有向圖(a)、(b)、(c)與(d)如圖四所示,則下列結(jié)論成立的是().圖四A.(a)是強連通的B.(b)是強連通的C.(c)是強連通的D.(d)是強連通的應(yīng)該填寫:D 8.設(shè)完全圖K有n個結(jié)點(n≥2),m條邊,當()時,K中存在歐拉回路.A.m為奇數(shù)B.n為偶數(shù)C.n為奇數(shù)D.m為偶數(shù)9.設(shè)G是連通平面圖,有v個結(jié)點,e條邊,r個面,則r=().A.e-v+2B.v+e-2C.e-v-2D.e+v+210.無向圖G存在歐拉通路,當且僅當().A.G中所有結(jié)點的度數(shù)全為偶數(shù)B.G中至多有兩個奇數(shù)度結(jié)點C.G連通且所有結(jié)點的度數(shù)全為偶數(shù)D.G連通且至多有兩個奇數(shù)度結(jié)點11.設(shè)G是有n個結(jié)點,m條邊的連通圖,必須刪去G的()條邊,才能確定G的一棵生成樹.A.B.C.D.12.無向簡單圖G是棵樹,當且僅當().A.G連通且邊數(shù)比結(jié)點數(shù)少1B.G連通且結(jié)點數(shù)比邊數(shù)少1C.G的邊數(shù)比結(jié)點數(shù)少1D.G中沒有回路.二、填空題cabedfcabedf圖四2.設(shè)給定圖G(如圖四所示),則圖G的點割五、證明題1.若無向圖G中只有兩個奇數(shù)度結(jié)點,則這兩個結(jié)點一定是連通的.2.設(shè)G是一個n階無向簡單圖,n是大于等于2的奇數(shù).證明圖G與它的補圖中的奇數(shù)度頂點個數(shù)相等.3.設(shè)連通圖G有k個奇數(shù)度的結(jié)點,證明在圖G中至少要添加條邊才能使其成為歐拉圖.參考解答一、單項選擇題1.B2.D3.C4.C5.A6.D7.D8.C9.A10.D11.A12.A二、填空題1.152.{f},{c,e}3.W|S|4.所有結(jié)點的度數(shù)全為偶數(shù)5.等于出度6.n為奇數(shù)7.v-e+r=28.39.e=v-110.411.512.313.0三、判斷說明題1.解:正確.因為圖G為連通的,且其中每個頂點的度數(shù)為偶數(shù).2.解:(1)圖G1是歐拉圖.因為圖G1中每個結(jié)點的度數(shù)都是偶數(shù).圖G2是漢密爾頓圖.因為圖G2存在一條漢密爾頓回路(不惟一):a(a,b)b(b,e)e(e,f)f(f,g)g(g,d)d(d,c)c(c,a)a問題:請大家想一想,為什么圖G1不是漢密爾頓圖,圖G2不是歐拉圖。(2)圖G1的歐拉回路為:(不惟一):v5v1v2v4v6v3圖九v1(v1,v2)v2(v2,v3)v5v1v2v4v6v3圖九(v5,v2)v2(v2,v6)v6(v6,v4)v4(v4,v1)v13.解:圖G是平面圖.因為只要把結(jié)點v2與v6的連線(v2,v6)拽到結(jié)點v1的外面,把把結(jié)點v3與v6的連線(v3,v6)拽到結(jié)點v4,v5的外面,就得到一個平面圖,如圖九所示.4.解:錯誤.不滿足“設(shè)G是一個有v個結(jié)點e條邊的連通簡單平面圖,若v≥3,則e≤3v-6.”四、計算題1.a(chǎn)1a2a3a4a5(3)圖G是單側(cè)連通圖,也是弱連通圖.2.v1v2v3v4vv1v2v3v4v5(2)鄰接矩陣為圖十(3)deg(v1)=2deg(v2)=3v1v2vv1v2v3v4v5deg(v4)=3deg(v5)=2(4)補圖如圖十一圖十一3.解:(1)G的圖形如圖十二(2)鄰接矩陣:圖十二(3)v1,v2,v3,v4,v5結(jié)點的度數(shù)依次為1,2,4,3,2(4)補圖如圖十三:圖十三4.解:(1)G的圖形表示如圖十四:圖十四(2)鄰接矩陣:(3)粗線表示最小的生成樹,如圖十五如圖十五最小的生成樹的權(quán)為1+1+2+3=7:5.解:注意算法執(zhí)行過程的數(shù)據(jù)要完整的表示。6.解:(1)最優(yōu)二叉樹如圖十六所示:32713551117341602910231942172453319565,19,23,29,31中選2,3為最低層結(jié)點,并從權(quán)數(shù)中刪去,再添上他們的和數(shù),即5,5,7,11,13,17,19,23,29,31;再從5,5,7,11,13,17,19,23,29,31中選5,5為倒數(shù)第2層結(jié)點,并從上述數(shù)列中刪去,再添上他們的和數(shù),即7,10,11,13,17,19,23,29,31;然后,從7,10,11,13,17,19,23,29,31中選7,10和11,13為倒數(shù)第3層結(jié)點,并從如圖十六上述數(shù)列中刪去,再添上他們的和數(shù),即17,17,24,19,23,29,31;……(2)權(quán)值為:26+36+55+74+114+134+173+193+233+293+312=12+18+25+28+44+52+51+57+69+87+62=5057.解:a)前根:a,b,d,g,e,h,i,c,fb)中根:g,d,b,h,e,i,a,c,fc)后根:g,d,h,i,e,b,f,c,a五、證明題1.證明:用反證法.設(shè)G中的兩個奇數(shù)度結(jié)點分別為u和v.假設(shè)u和v不連通,即它們之間無任何通路,則G至少有兩個連通分支G1,G2,且u和v分別屬于G1和G2,于是G1和G2各含有一個奇數(shù)度結(jié)點.這與定理3.1.2的推論矛盾.因而u和v一定是連通的.2.證明:設(shè),.則是由n階無向完全圖的邊刪去E所得到的.所以對于任意結(jié)點,u在G和中的度數(shù)之和等于u在中的度數(shù).由于n是大于等于2的奇數(shù),從而的每個結(jié)點都是偶數(shù)度的(度),于是若在G
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