高考北師大版數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案7-4直線平面平行的判定及其性質(zhì)

第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)命題分析預(yù)測學(xué)科核心素養(yǎng)從近五年的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主要考查直線與平面以及平面與平面平行的判定和性質(zhì)，常出現(xiàn)在解答題的第（1）問中，難度中等．本節(jié)通過線、面平行的判定及性質(zhì)考查考生的直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第146頁知識(shí)點(diǎn)一直線與平面平行直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行（線線平行?線面平行）∵l∥a，aα，lα，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（簡記為“線面平行?線線平行”）∵l∥α，lβ，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b1．下列命題中正確的是（）A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，bα，則b∥α解析：A錯(cuò)誤，a可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)；B錯(cuò)誤，a與α內(nèi)的直線平行或異面；C錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交；D正確，由a∥α，可得a平行于經(jīng)過直線a的平面與α的交線c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b?α，cα，所以b∥α．答案：D2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為_________．解析：連接BD交AC于O，連接EO，則O為BD的中點(diǎn)．因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥BD1．又因?yàn)锽D1平面ACE，OE平面ACE，所以BD1∥平面ACE．答案：平行知識(shí)點(diǎn)二平面與平面平行平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行（簡記為“線面平行?面面平行”）∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，aα，bα，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b?溫馨提醒?平面與平面平行的幾個(gè)有用性質(zhì)（1）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．（2）夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長度相等．（3）經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．（4）兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．（5）如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行．（6）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行．1．平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是（）A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，aα，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α解析：若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，a∥α，a∥β，故排除A．若α∩β＝l，aα，a∥l，則a∥β，故排除B．若α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C．答案：D2．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)的所有直線中（）A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一的與a平行的直線解析：當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)時(shí)，不存在與a平行的直線．答案：A3．如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為_________．解析：因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG．同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．答案：平行四邊形授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第147頁題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)直線與平面平行的判定與性質(zhì)是高考的考查重點(diǎn)．多考查直線與平面平行的判定、利用線面平行的性質(zhì)判定線線平行及探索存在性問題．常見的命題角度有：（1）直線與平面平行的判定；（2）直線與平面平行的性質(zhì)．考法（一）直線與平面平行的判定[例1]如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE相交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)．（1）求證：AP∥平面BEF；（2）求證：GH∥平面PAD．[證明]（1）連接EC，∵AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，E為AD的中點(diǎn)，∴BC綊AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點(diǎn)．又∵F是PC的中點(diǎn)，∴FO∥AP，F(xiàn)O平面BEF，AP平面BEF，∴AP∥平面BEF．（2）連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，∴FH∥PD，又PD平面PAD，F(xiàn)H平面PAD，∴FH∥平面PAD．又易知O是BE的中點(diǎn)，∴OH∥AD，易得OH∥平面PAD．又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD．又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD．證明直線與平面平行的三種方法（1）定義法：一般用反證法．（2）判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語言敘述證明過程．（3）性質(zhì)判定法：即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面．考法（二）直線與平面平行的性質(zhì)[例2]如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2eq\r(17)，點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．（1）證明：GH∥EF；（2）若EB＝2，求四邊形GEFH的面積．[解析]（1）證明：因?yàn)锽C∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC．同理可證EF∥BC，因此GH∥EF．（2）連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK．因?yàn)镻A＝PC，O是AC的中點(diǎn)，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD．又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD內(nèi)，所以PO⊥底面ABCD．又因?yàn)槠矫鍳EFH⊥平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO∥平面GEFH．因?yàn)槠矫鍼BD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，所以GK⊥底面ABCD，從而GK⊥EF．所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，從而KB＝eq\f(1,4)DB＝eq\f(1,2)OB，即K為OB的中點(diǎn)．再由PO∥GK得GK＝eq\f(1,2)PO，且G是PB的中點(diǎn)，所以GH＝eq\f(1,2)BC＝4．由已知可得OB＝4eq\r(2)，PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(68－32)＝6，所以GK＝3．易得EF＝BC＝8，故四邊形GEFH的面積S＝eq\f(GH＋EF,2)·GK＝eq\f(4＋8,2)×3＝18．證明線線平行的三種判定方法（1）利用平行公理．（2）利用線面平行的性質(zhì)定理．（3）利用面面平行的性質(zhì)定理．[對點(diǎn)訓(xùn)練]如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH．求證：GH∥平面PAD．證明：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)．又M是PC的中點(diǎn)，所以AP∥OM．根據(jù)直線和平面平行的判定定理．則有PA∥平面BMD．因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BMD＝GH，根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，得PA∥GH．因?yàn)镚H平面PAD，PA平面PAD，所以GH∥平面PAD．題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)[例]如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：（1）B，C，H，G四點(diǎn)共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．[證明]（1）因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．（2）在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC，因?yàn)镋F平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF∥平面BCHG．又因?yàn)镚，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，所以A1G綊EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB．因?yàn)锳1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG．又因?yàn)锳1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG．[變式探究1]在本例條件下，若D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD∥平面A1B1BA．證明：如圖所示，連接HD，A1B，因?yàn)镈為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1的中點(diǎn)，所以HD∥A1B．又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA．[變式探究2]在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D．證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以A1B∥DM．因?yàn)锳1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1．又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1．又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因?yàn)镈C1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．判定面面平行的四種方法（1）面面平行的定義，即判斷兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)．（2）面面平行的判定定理．（3）垂直于同一條直線的兩平面平行．（4）平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行．[對點(diǎn)訓(xùn)練]如圖所示，平面α∥平面β，點(diǎn)A∈平面α，點(diǎn)C∈平面α，點(diǎn)B∈平面β，點(diǎn)D∈平面β，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD．（1）求證：EF∥平面β；（2）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長．解析：（1）證明：①當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)，∵α∥β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD．∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD．又EFβ，BDβ，∴EF∥平面β．②當(dāng)AB與CD異面時(shí)，設(shè)平面ACD∩β＝DH，且DH＝AC．∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH．故四邊形ACDH是平行四邊形．在AH上取一點(diǎn)G，使AG∶GH＝CF∶FD，又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH．又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面β．又EF平面EFG，∴EF∥平面β．綜上，EF∥平面β．（2）如圖所示，連接AD，取AD的中點(diǎn)M，連接ME，MF．∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴ME∥BD，MF∥AC，且ME＝eq\f(1,2)BD＝3，MF＝eq\f(1,2)AC＝2．因此∠EMF為AC與BD所成的角（或其補(bǔ)角）．故∠EMF＝60°或120°．在△EFM中，由余弦定理得，EF＝eq\r(ME2＋MF2－2ME·MF·cos∠EMF)＝eq\r(32＋22±2×3×2×\f(1,2))＝eq\r(13±6)，即EF＝eq\r(7)或EF＝eq\r(19)．直線與平面平行問題中的核心素養(yǎng)直觀想象、邏輯推理——直線與平面平行的創(chuàng)新應(yīng)用[例]如圖所示，側(cè)棱與底面垂直，且底面為正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分別在AD1，BC上移動(dòng)，始終保持MN∥平面DCC1D1，設(shè)BN＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f（x）的圖像大致是（）[解析]過M作MQ∥DD1，交AD于Q，連接QN（圖略）．∵M(jìn)N∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1，又平面ABCD與平面MNQ和DCC1D1分別交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，∵eq\f(MQ,AQ)＝eq\f(DD1,AD)＝2，∴MQ＝2x．在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1（x≥0，y≥1），∴函數(shù)y＝f（x）的圖像為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線上支的一部分．[答案]C作平面MNQ∥平面DCC1D1，且由勾股定理得出y與x的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．[對點(diǎn)訓(xùn)練]如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個(gè)命題：①?zèng)]有水的部