高數(shù)第九章無窮級(jí)數(shù)

9.2.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法9.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法9.2.2交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法9.2.3絕對(duì)收斂與條件收斂9.2

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

9.2.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù).定理9.2.1(充要條件)這種級(jí)數(shù)稱為其部分和數(shù)列{sn}為單調(diào)增加數(shù)列.定理9.2.2(比較審斂法)證明即部分和數(shù)列有界不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù).解由圖可知重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).解(2)定理9.2.3比較審斂法的極限形式設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;證明由比較審斂法的推論,得證.(2)(3)的證法相同。故原級(jí)數(shù)收斂.(3)所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所給級(jí)數(shù)收斂。證明定理9.2.4(比值審斂法,達(dá)朗貝爾D’Alember審斂法)收斂發(fā)散比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).注意:例4

判斷下列各級(jí)數(shù)的斂散性解（1）（2）則級(jí)數(shù)收斂。(2)

比值法失效。所以原級(jí)數(shù)收斂。

注意用比值法失效,一般用比較法.定理9.2.5(根值審斂法,也稱柯西判別法）對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)證明(i)當(dāng)ρ<1時(shí)，取一適當(dāng)小的正數(shù)ε，使ρ+ε=r<1。由極限定義，存在m，即有(ii)略(iii)ρ=1時(shí)，仍以p-級(jí)數(shù)為例則當(dāng)ρ<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)ρ>1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，ρ=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

當(dāng)n≥m時(shí)有不等式，例5

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性解例6

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性方法：拆成兩個(gè)級(jí)數(shù)，收斂方法：根值法，發(fā)散方法：比較法，收斂總結(jié):

稱形如：u1－u2+u3－…+(－1)n-1un+…定理9.2.6(萊布尼茲定理)證明k=1，2，…)的級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù).或－u1+u2－u3+…+(－1)n-1

un+…(2)un→0(n→∞)(1)un≥un

+1；滿足條件9.2.2交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法(其中uk>0,由前一式知{S2n}單調(diào)增加，由后一式知S2n<u1。由數(shù)列判斂的單調(diào)有界準(zhǔn)則知:它也滿足收斂的兩個(gè)條件，于是有右端也是一交錯(cuò)級(jí)數(shù)，注意單調(diào)減少不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)例7

交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂收斂的必要條件。例8

判斷解顯然原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，記則un單調(diào)減且un→0(n→∞)，依萊布尼茲定理，原級(jí)數(shù)收斂。

下面討論一般項(xiàng)級(jí)數(shù)u1+u2+u3+…+un+…其中un為任意實(shí)數(shù)。

定理9.2.7證明令另一方面，un=2vn－|un|，于是依正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，進(jìn)而知顯然有0≤vn≤|un|。9.2.3絕對(duì)收斂與條件收斂也收斂。定義9.2.1的依據(jù)是>1，此時(shí)un不趨于0(n→∞)，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件。注意但如果我們是用比值法或根值法判定這是因?yàn)檫@兩種審斂法判定級(jí)數(shù)發(fā)散

例9