高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊(cè)課件1-2-3直線與平面的夾角

1.2.3直線與平面的夾角第一章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.掌握直線在平面內(nèi)的射影及斜線與平面所成角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解最小角定理及公式cosθ=cosθ1cosθ2,并能利用這一公式解決相關(guān)問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.會(huì)利用空間向量求直線與平面所成的角問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思邁克爾·杰克遜出生于印第安納州加里市,被稱為“流行音樂之王”.邁克爾·杰克遜除了他擅長(zhǎng)的歌曲,還有他那漂亮的太空步,尤其像謎一樣存在的招牌動(dòng)作45度傾斜舞步,據(jù)說邁克爾杰克遜早在1993年就申請(qǐng)了專利,專利名稱“擺脫地心引力的幻想”.同學(xué)們,45度到底指的是哪個(gè)角呢?知識(shí)點(diǎn)撥1.直線與平面所成的角

微判斷(1)直線與平面所成的角就是該直線與平面內(nèi)的直線所成的角.(

)(2)若直線與平面相交,則該直線與平面所成角的范圍為(0,).(

)答案

(1)×

(2)×微思考直線與平面的夾角的取值范圍是什么?斜線與平面的夾角的取值范圍是什么?2.最小角定理(1)線線角、線面角的關(guān)系式如圖,設(shè)OA是平面α的一條斜線段,O為斜足,B為A在平面α內(nèi)的射影,OM是平面α內(nèi)的一條射線.θ是OA與OM所成的角,θ1是OA與OB所成的角,θ2是OB與OM所成的角,則有cosθ=cosθ1cosθ2.(2)最小角定理平面的斜線與平面所成的角,是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角.微練習(xí)已知平面α內(nèi)的角∠APB=60°,射線PC與PA,PB所成角均為135°,則PC與平面α所成角的余弦值是(

)答案

B解析

設(shè)PC與平面α所成的角為θ,由最小角定理知cos

45°=cos

θcos

30°,微思考將公式cosθ=cosθ1cosθ2中角的余弦值換成正弦值是否成立?提示

不成立.只有在特定的條件下能相等.也只能是數(shù)值上的相等,不具有等式的一般性結(jié)論.3.用空間向量求直線與平面的夾角如果v是直線l的一個(gè)方向向量,n是平面α的一個(gè)法向量,設(shè)直線l與平面α所成角的大小為θ,則有(2)cosθ=sin<v,n>,sinθ=|cos<v,n>|.微判斷直線與平面所成的角等于直線的方向向量與該平面法向量夾角的余角.(

)答案

×

課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一用定義法求直線與平面所成的角例1在正四面體ABCD中,E為棱AD的中點(diǎn),連接CE,求CE和平面BCD所成角的正弦值.分析在求解斜線和平面所成的角時(shí),確定斜線在平面內(nèi)的射影的位置是一個(gè)既基本又重要的問題.解

如圖,過A,E分別作AO⊥平面BCD,EG⊥平面BCD,O,G為垂足.則AO∥GE,AO=2GE.連接GC,則∠ECG為EC和平面BCD所成的角.因?yàn)锳B=AC=AD,所以O(shè)B=OC=OD.因?yàn)椤鰾CD是正三角形,所以O(shè)為△BCD的中心.連接DO并延長(zhǎng)交BC于F,則F為BC的中點(diǎn).令正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,反思感悟1.利用定義法求直線與平面所成的角,首先要作出斜線和這條斜線在平面內(nèi)的射影所成的銳角,然后通過解三角形求出直線與平面所成的角的大小.其基本步驟可歸納為“一作,二證,三計(jì)算”.2.找射影的兩種方法:(1)斜線上任一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影必在斜線在平面內(nèi)的射影上;(2)利用已知垂直關(guān)系得出線面垂直,確定射影.3.本例中找出點(diǎn)E在平面BCD中的射影是解決問題的核心,對(duì)于幾何體中缺少棱長(zhǎng)等數(shù)據(jù)信息,可根據(jù)幾何體的特征進(jìn)行假設(shè),這樣處理不影響角度問題.探究二向量法求直線與平面所成的角例2如圖所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=,BC=1,AD=AA1=3.(1)證明:AC⊥B1D;(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.要點(diǎn)筆記通過此類例題不僅要熟悉求直線與平面夾角的一般流程,更重要的是注意對(duì)所給幾何體的結(jié)構(gòu)分析、合理建系是問題的關(guān)鍵,如果求夾角還要結(jié)合線面角的范圍.變式訓(xùn)練1如圖所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)證明:AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.(1)證明

取AB的中點(diǎn)O,連接OC,OA1,A1B.因?yàn)镃A=CB,所以O(shè)C⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B為等邊三角形,所以O(shè)A1⊥AB.因?yàn)镺C∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C?平面OA1C,故AB⊥A1C.(2)解

由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B,交線為AB,所以O(shè)C⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.探究三最小角定理的應(yīng)用例3如圖,正四面體ABCD,CD在平面α內(nèi),點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn),在該四面體繞CD旋轉(zhuǎn)的過程中,直線BE與平面α所成的角θ不可能是(

)答案

D反思感悟1.最小角定理是立體幾何的重要定理之一,指與平面斜交的直線與它在該平面內(nèi)的射影的夾角不大于該直線與平面內(nèi)其他直線的夾角.2.本例中先明確直線BE與CD所成角的余弦值是突破口,再利用最小角定理即可做出判斷.變式訓(xùn)練2PA、PB、PC是由P點(diǎn)出發(fā)的三條射線,兩兩夾角均為60°,則直線PC與平面PAB所成角的余弦值是(

)答案

C解析

設(shè)所求角為θ,根據(jù)最小角定理及公式可得

素養(yǎng)形成直線與平面所成角中的探索類問題

(1)證明:PN⊥AM;(2)當(dāng)λ取何值時(shí),直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該最大角的正切值.【規(guī)范答題】(1)證明

如圖,以AB,AC,AA1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則歸納提升(1)此類問題屬于逆向思維問題,解決思路也是建立合適的空間直角坐標(biāo)系,將相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)明確或設(shè)出,然后根據(jù)空間角的計(jì)算公式表達(dá)出含參數(shù)的方程或函數(shù).(2)解決此類問題還要注意題目中各動(dòng)點(diǎn)的限制范圍.當(dāng)堂檢測(cè)1.已知向量m,n分別是直線l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=-,則l與α所成的角為(

)° B.60° C.120° D.150°答案

A解析

設(shè)l與α所成的角為θ且θ∈[0,90°],則sin

θ=|cos<m,n>|=.∴θ=30°.2.AB⊥平面α于點(diǎn)B,BC為AC在α內(nèi)的射影,CD在α內(nèi),若∠ACD=60°,∠BCD=45°,則AC和平面α所成的角為(

)°°°°答案

C解析

設(shè)AC和平面α所成的角為θ,則cos

60°=cos

θcos

45°,故cos

θ=,所以θ=45°.答案

D解析

以O(shè)為原點(diǎn),射線OA,OB,OP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,4.等腰直角△ABC的斜邊A