第28講 零點差問題（原卷版）

第28講零點差問題1．設．（1）如果在處取得最小值，求的解析式；（2）如果，的單調(diào)遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，試求和的值（注：區(qū)間，2．已知關(guān)于的函數(shù)，與，在區(qū)間上恒有．（1）若，，，求的表達式；（2）若，，，，求的取值范圍；（3）若，，，，，，求證：．3．已知函數(shù)．（1）如，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，單調(diào)增加，在，單調(diào)減少，證明：．4．已知函數(shù)，．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當，時，函數(shù)有兩個極值點，，證明：．5．已知函數(shù)，其中是實數(shù)．設，為該函數(shù)圖象上的兩點，橫坐標分別為，，且．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）若，函數(shù)的圖象在點，處的切線互相垂直，求的最大值．6．已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求證：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，，并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長度的取值范圍．7．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，，是的兩個零點．證明：（?。?；（ⅱ）．8．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，是的兩個零點．證明：（?。?；（ⅱ）．9．設函數(shù)，其中且．（1）證明恰有兩個零點；（2）設為的極值點，為的零點，且，證明：．10．已知函數(shù)，若有兩個不同的極值點，，且．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：；（3）證明：．11．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）若曲線在點，處的切線方程為，求的最小值．（2）當常數(shù)時，若函數(shù)在，上有兩個零點，，證明：．12．已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當常數(shù)時，函數(shù)在，上有兩個零點，，證明：．13．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）設，證明：函數(shù)有兩個零點，，且．14．已知函數(shù)，．（1）求證：函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方．（2）當時，令的兩個零點，．求證：．15．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，是的兩個零點，求證：．16．已知函數(shù)，為的導函數(shù)，且．證明：（1）；（2）．17．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)，．（Ⅰ）若關(guān)于的方程有三個不同的解，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若實數(shù)，滿足，其中，分別記：關(guān)于的方程在上兩個不同的解為，；關(guān)于的方程在上兩個不同的解為，，求證：．18．設，為實數(shù)，且，函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對任意，函數(shù)有兩個不同的