廣東省2021年春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷9含解析

Page192021年廣東春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷(9)注：本卷共22小題，滿分150分。一、單選題（本大題共15小題，每小題6分，滿分90分）1．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．0 C．1 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，得，根據(jù)元素的互異性可知【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以且，所以，所以已舍，此時滿足.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集的概念，考查了集合中元素的互異性，屬于基礎(chǔ)題.2．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】比較拋物線的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系得，即可求得答案.【詳解】函數(shù)是開口向上的拋物線，對稱軸為保證在區(qū)間上是減函數(shù)，則即.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間判斷參數(shù)范圍，掌握二次函數(shù)圖像特征是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3．函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】函數(shù)在其定義域上連續(xù)，同時可判斷f（2）＜0，f（3）＞0；從而可得解．【詳解】函數(shù)f（x）＝在其定義域上連續(xù)，f（2）＝2+2?2﹣6＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3+2?3﹣6＝ln3＞0；故函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間（2，3）上，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算，熟記定理，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4．已知向量,若,則()A．1 B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求出，再將變形，用表示出來，代入的值即可.【詳解】由，得，整理得，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查正余弦齊次式的求解，是基礎(chǔ)題.5．在中，角的對邊分別為，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得，化簡后求出，然后求出即可．【詳解】，，，，，．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6．下面結(jié)論正確的是（）A．若四邊形內(nèi)一點(diǎn)滿足，則是平行四邊形B．若，是單位向量，C．，則和可以作為一組基底.D．若，則【答案】A【解析】【分析】對A化簡向量式可得，可確定是平行四邊形；對B由單位向量的定義進(jìn)行判斷；對C按基底的性質(zhì)判斷；對D根據(jù)數(shù)量積的定義判斷；【詳解】由，得，故四邊形是平行四邊形，A正確；單位向量未規(guī)定方向，故不一定相等，B錯誤；，則，和共線，不能作為一組基底，C錯誤；若，則，即在方向的投影與在方向的投影相等，不一定有，D錯誤.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的概念，向量的共線，數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題.7．如圖，第（1）個圖案由1個點(diǎn)組成，第（2）個圖案由3個點(diǎn)組成，第（3）個圖案由7個點(diǎn)組成，第（4）個圖案由13個點(diǎn)組成，第（5）個圖案由21個點(diǎn)組成，，依次類推，根據(jù)圖案中點(diǎn)的排列規(guī)律，第10個圖形由多少個點(diǎn)組成（）A．89 B．91 C．95 D．98【答案】B【解析】【分析】利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】記此圖案的點(diǎn)數(shù)為，則，，，，，將上式相加可得，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．已知實(shí)數(shù)，滿足，其中，則的最小值為（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【解析】實(shí)數(shù)，滿足，其中,當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.的最小值是4.所以A選項(xiàng)是正確的.點(diǎn)睛:本題主要考查基本不等式求最值，在用基本不等式求最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.解決本題的關(guān)鍵是巧妙地將已知條件化為1，即.9．下列說法不正確的是（）A．空間中，一組對邊平行且相等的四邊形是一定是平行四邊形；B．同一平面的兩條垂線一定共面；C．過直線上一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同一個平面內(nèi)；D．過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直.【答案】D【解析】一組對邊平行就決定了共面；同一平面的兩條垂線互相平行，因而共面；這些直線都在同一個平面內(nèi)即直線的垂面；把書本的書脊垂直放在桌上就明確了10．已知點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)為圓的動點(diǎn)，則的最小值為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意可知，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑的差即為所求【詳解】解：圓的圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離為，所以的最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11．用系統(tǒng)抽樣方法從編號為1，2，3，…，700的學(xué)生中抽樣50人，若第2段中編號為20的學(xué)生被抽中，按照等間隔抽取的方法，則第5段中被抽中的學(xué)生編號為（）A．48 B．62 C．76 D．90【答案】B【解析】【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣等距性，結(jié)合等差數(shù)列求解編號.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣等距性，所以各段中被抽中的學(xué)生編號依次構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，因此第5段中被抽中的學(xué)生編號為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12．把一個正四面體的骰子（它的4個面上分別寫有1，2，3，4）隨機(jī)拋兩次，記第一次的底面上的點(diǎn)數(shù)大于第二次的底面上的點(diǎn)數(shù)為事件A，則事件A的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)枚舉法列出所以的基本事件，再分析概率即可.【詳解】設(shè)第一次的底面上的點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)，第二次的底面上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)，列出如下的表格，共16個點(diǎn)，事件A對應(yīng)的點(diǎn)有6個，所以事件A的概率為．12341234故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用枚舉法求解古典概型的問題，屬于基礎(chǔ)題.13．已知一個正方體和一個圓柱等高，并且側(cè)面積相等，則這個正方體和圓柱的體積之比為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長為，根據(jù)側(cè)面積相等，可得圓柱的底面半徑為，再根據(jù)體積公式可得答案.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，則圓柱的高為，設(shè)圓柱的底面半徑為，則正方體的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以，所以，所以正方體和圓柱的體積之比為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了正方體和圓柱的側(cè)面積與體積公式，屬于基礎(chǔ)題.14．已知是公差為2的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和．若，，成等比數(shù)列，則（）A． B．42 C．49 D．7【答案】B【解析】【分析】由，，成等比數(shù)列，可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡可得，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得.【詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，又是公差為2的等差數(shù)列，所以即，即，可得：，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比中項(xiàng)的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.15．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．【答案】D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r，，所以排除選項(xiàng)C，選D.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．二、填空題16．若sinα＜0且tanα＞0，則α是第_________象限角．【答案】第三象限角【解析】試題分析：當(dāng)sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以當(dāng)sinα＜0且tanα＞0，則α是第三象限角．考點(diǎn)：三角函數(shù)值的象限符號.17．已知向量、，滿足，且，則______.【答案】【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18．不等式組表示的平面區(qū)域的面積等于____________.【答案】16【解析】【分析】畫出可行域并計(jì)算出三條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出平面區(qū)域的面積.【詳解】畫出可行域如下圖所示，經(jīng)計(jì)算得,圍成的區(qū)域?yàn)槿切?，故面積為.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性約束條件表示區(qū)域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.19．魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”（如圖所示），劉徽通過計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為．若“牟合方蓋”的體積為，則正方體的外接球的表面積為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知求出正方體的內(nèi)切球的體積，得到內(nèi)切球的半徑，根據(jù)正方體內(nèi)切球的直徑為其棱長，外接球的直徑為其對角線，即可求解.【詳解】因?yàn)椤澳埠戏缴w”的體積為，又正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為，所以正方體的內(nèi)切球的體積球，所以內(nèi)切球的半徑，所以正方體的棱長為2，所以正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線即，所以，所以正方體的外接球的表面積為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查正方體與球的“內(nèi)切”“外接”問題，掌握它們之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題20．已知函數(shù).（1）寫出函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角所對的邊分別為，若，且，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式和單調(diào)性直接求解即可；（2）由可以求出，再由平面向量的數(shù)量積的定義可由求出的值，結(jié)合、余弦定理可以求出的值.【詳解】解：（1），所以的最小正周期，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2），故，所以或，因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以；而，所以，，又，所以，所以，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式，考查了正弦型函數(shù)的最小正周期和單調(diào)性，考查了余弦定理、平面向量數(shù)量積的定義，考查了特殊角的三角函數(shù)值,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21．如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分別是AB、PD的中點(diǎn)．(1)求證：平面PCD．(2)求三棱錐的體積．【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)平面可得，結(jié)合可得平面，從而，再根據(jù)為等腰直角三角形及為的中點(diǎn)得到，從而可證平面.（2）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，從而可計(jì)算.【詳解】∵，為中點(diǎn)，∴.∵平面,又平面.∴.∵,,∴平面.∵平面.∴.∵，∴平面.（2）取的中點(diǎn),連接、，則∥，.又∥，，∴∥，.∴四邊形為平行四邊形.∴∥，由（1）平面，∴平面，為三棱錐的高.又，..得三棱錐的體積.【點(diǎn)睛】線面垂直的判定可由線線垂直得到，注意線線是相交的，也可由面面垂直得到，注意線在面內(nèi)且線垂直于兩個平面的交線.而面面垂直的證明可以通過線面垂直得到，也可以通過證明二面角是直二面角.又三棱錐的體積的計(jì)算需選擇合適的頂點(diǎn)和底面，此時頂點(diǎn)到底面的距離容易計(jì)算22．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，（萬元）．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時，（萬元）．每件商品售價(jià)為0.05萬元．通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？【答案】（1）（2）100千件【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分，兩種情況，分別