第一章n階行列式

第一章〃階行列式§1全排列及逆序數(shù)解方程是代數(shù)中的一個(gè)基本問(wèn)題，中學(xué)代數(shù)中，解線(xiàn)性方程組問(wèn)題時(shí)引出了二階和三階行列式，我們知道它們的展開(kāi)式分別為二〃1]〃22二〃1]〃22一，(1-D(1-2)(1-2)“13〃23二〃11422a33+〃12423〃31+413。21〃32。13。22。31一。11〃23。32一。12。21。33，其中元素劭的兩個(gè)下標(biāo)i與j分別表示劭所在的行與列的序數(shù).我們觀(guān)察到（L2）式的右端是一些項(xiàng)的代數(shù)和，其中，每一項(xiàng)是位于不同行不同列的三個(gè)數(shù)相乘，這三個(gè)數(shù)的第一個(gè)下標(biāo)是按自然順序排列的，第二個(gè)下標(biāo)則不按自然順序排列.我們不禁要問(wèn)：這個(gè)代數(shù)和的項(xiàng)數(shù)、每一項(xiàng)前的符號(hào)與第二個(gè)下標(biāo)的排列順序有無(wú)關(guān)系?有什么關(guān)系？為此我們引入全排列與逆序數(shù)等概念.定義1由1,2,…，〃組成的一個(gè)有序數(shù)組稱(chēng)為一個(gè)〃級(jí)全排列（簡(jiǎn)稱(chēng)排列）.有序數(shù)組12和21,由兩個(gè)數(shù)構(gòu)成，稱(chēng)為二級(jí)排列，有序數(shù)組213則稱(chēng)為三級(jí)排列，三級(jí)排列的總數(shù)為3!二6個(gè),4321為四級(jí)排列,四級(jí)排列的總數(shù)為4!=24個(gè),〃級(jí)排列的總數(shù)是〃（/2-1）（〃一2）2?1二加，讀為“〃階乘”.顯然12…〃也是一個(gè)〃級(jí)排列，這個(gè)排列具有自然順序，就是按遞增的順序排起來(lái)的，其它的排列都或多或少地破壞自然順序.定義2在一個(gè)排列中，如果兩個(gè)數(shù)（稱(chēng)為數(shù)對(duì)）的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么稱(chēng)它們構(gòu)成一個(gè)逆序（反序）.一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù).一個(gè)排列川2…/〃的逆序數(shù)，一般記為?。╦lj2…jn）.排列12的逆序數(shù)為0；排列21的逆序數(shù)為1；排列231的數(shù)對(duì)21、31均構(gòu)成逆序，而23不構(gòu)成逆序,因此排列231的逆序數(shù)為2；同理排列213的逆序數(shù)是1,即工（213）=1.進(jìn)一步我們有以下定義.定義3逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱(chēng)為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱(chēng)為奇排列.二級(jí)排列12為偶排列，21為奇排列；三級(jí)排列231為偶排列，213為奇排列.現(xiàn)在我們探討（1-1）、（1-2）式右端各項(xiàng)的規(guī)律：（1-1）式右端各項(xiàng)的第一個(gè)下標(biāo)按自然順序排列，對(duì)它們第二個(gè)下標(biāo)進(jìn)行觀(guān)察：第二個(gè)下標(biāo)由兩個(gè)自然數(shù)1和2組成，只能構(gòu)成兩個(gè)二級(jí)排列：12和21,排列個(gè)數(shù)等于（1-1）式右端a\\aijain中劃去元素aij所在的第i行與第j列,的行列式剩下的5-1)2個(gè)元素按照原來(lái)的排法構(gòu)成一個(gè)幾-1a\\aijain中劃去元素aij所在的第i行與第j列,的行列式剩下的5-1)2個(gè)元素按照原來(lái)的排法構(gòu)成一個(gè)幾-1階a\\???a\J-\“Lj+1???ain??????ai-\A???ai-\,j+\???a.1i-\,n4+1,1???aMJ-\aMJ+\???a..Z+1,7????????????????冊(cè)???a..nj-\a..〃，/+1???ann稱(chēng)為元素%的余子式，記為加力.記出叫做元素劭的代數(shù)余子式.由定義可知，&與行列式中第，行、第，列的元素?zé)o關(guān).引理在〃階行列式。，如果第，行元素除與外全部為零,那么這行列式等于因與它的代數(shù)余子式的乘積，即證先證，=LJ=1的情形.即41“21an\an2ann(_1)Sjn&a%…aJ2J3JnJ乙J1 ?/flJ2J3Jn=即2(T嚴(yán)"“/3/3。嘰J2J3Jn=anan2an3ann=〃iMi=〃ii(T)"Mi=4iAi?對(duì)一般情形，只要適當(dāng)交換。的行與列的位置，即可得到結(jié)論.定理3行列式D等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即D=%A1+ci-2^2+ an2an3ann=〃iMi=〃ii(T)"Mi=4iAi?對(duì)一般情形，只要適當(dāng)交換。的行與列的位置，即可得到結(jié)論.定理3行列式D等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即D=%A1+ci-2^2+ +生〃A力(z—192,…，n)D=%.A,.+a2.4：+ +ci-A^j(j-1,2,…，7i).?7J ?/ J JJa\\4〃a\\ana\nan20+cin+0++0+0+aina\\an2a\2a\na\\a\nai2an2%〃an2=《14+@2A?+…,我們稱(chēng)定理3為行列式的按行（列）展開(kāi)處理，也稱(chēng)之為拉普拉15g&2al計(jì)算行列式由定理3知O=2?O=2?(—1嚴(yán)+4?(—1產(chǎn)=2x2—4x(-6—15)=88.例8計(jì)算行列式TOC\o"1-5"\h\z/? 0 0a b 00 a b\o"CurrentDocument"0 0a00b0=/—//ab例9計(jì)算行列式(加邊法)TOC\o"1-5"\h\z1+x 1 1 11 1-x 1 1D=1 1 1+y 1\o"CurrentDocument"1 1 1 1—y當(dāng)x=0或y=0時(shí)，顯然￡＞二0,現(xiàn)假設(shè)xWO且yWO,由引理知1 1 10 1+x 10 1 1-x0 1 10 1 1r(i+l(T)，；i=2,3,4,511X0001 11 11 11+y 11 1 —y111\o"CurrentDocument"0 0 0-x0 00y0QQ-y( /1\\c1+2-I\X/J( (1AAc1+3—I\x))1+心<y))ioo001X00010-x0000y01000一y例10證明范德蒙(Wmdermo/ide)行列式v〃==n（七一弓），\<j<i<nc1其中連乘積n(Xi-Xj)=(X2-Xi)(X3-X{)-%)(七-%)-％2)…?)?-乙_1)1<j<i<n是滿(mǎn)足條件lWj<iWn的所有因子（玉-乙）的乘積.證用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)〃二2時(shí)，有=%一%=YI（七一為），1<j<i<2結(jié)論成立.假設(shè)結(jié)論對(duì)/7-1階范德蒙行列式成立,下面證明對(duì)〃階范德蒙行列式結(jié)論也成立.在V〃中，從第〃行起,依次將前一行乘-xi加到后一行，得x2一%

x2(x2一X1)x3-x2X3(X3一)_%)X3~2(X3__2)琛25—Zt)按第1列展開(kāi)，并分別提取公因子，得x2匕=氏一%）（&-%）區(qū)—1）c2上式右端的行列式是〃-1階范德蒙行列式，根據(jù)歸納假設(shè)得匕=區(qū)一七）（工3一5）區(qū)T）H（七一丐）,2<j<i<n所以匕=n（七-%）?1<j<i<n推論行列式D中任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即ai{AjX+ai2Aj2+?--+ainAjn=0(i*j)a\i\j+。2喝+…+aniAnj=0 (，差/).ai\ am町4/1+"，2A72++，力［4%=: '%.一%〃當(dāng)用,因?yàn)?%與行列式中第7行的元素?zé)o關(guān)，將上式中的%*換成。法（依1,2,…〃），有a\\ a\nTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"aiXAjX+ai2Aj2++ainAjn= =0.ai\ ain? ?? ?■ ■41 %〃gj）?gj）?a\i\j+a2i^2j+ +aniAnj=0綜上所述，即得代數(shù)余子式的重要性質(zhì)（行列式按行（列）展開(kāi)公式）:k=\。當(dāng)k=\。當(dāng)當(dāng)，工力=k=\=k=\2當(dāng)。，當(dāng)iwj.例11計(jì)算〃階行列式（遞推公式法）例11計(jì)算〃階行列式（遞推公式法）Dn=X00???0%-1 0x —1\o"CurrentDocument"0 x??? ???0 0an-\ an-2解由行列式。,可知，A=x+q=x+ax.將。，按第1將。，按第1列展開(kāi)-1D〃=xan-3a2x+aan-3a2x+a]這個(gè)式子對(duì)任何n522)都成立,故有Dn=xD〃t+%=x(xDn_2+%)+冊(cè)~ +an-\X+an~—xn1Z)j+a0x"2++ +an例12求方程/(x)=0的根，其中x-1x-2x-\fM=x-4x-3x-4x-1x-42x-5解由觀(guān)察可知x=0是一個(gè)根，因?yàn)閤=0時(shí)，行列式第1、2列成比例，所以/(0)=0.要求其他根需展開(kāi)這個(gè)行列式，將第1列乘-1加到2,4歹！1,x-1x-2x-\fM=x-4x-3x-4x-1x-42x-5解由觀(guān)察可知x=0是一個(gè)根，因?yàn)閤=0時(shí)，行列式第1、2列成比例，所以/(0)=0.要求其他根需展開(kāi)這個(gè)行列式，將第1列乘-1加到2,4歹！1,結(jié)合例4,即得3,4歹限再將變換后的第2列加到第x-1/(X)=x—2x-3-2-3%-4-4工一11—2x-3-2—3-4x-1-2x-1%—2-2x-1-2%—2-2x-1-2所以方程〃x)=0有兩個(gè)根：0與-1.§6克萊姆法則由二元、三元線(xiàn)性方程組的克萊姆法則，我們有〃元線(xiàn)性方程組的克萊姆法則.克萊姆法則如果線(xiàn)性方程組auxx+a]2x2H—+所以方程〃x)=0有兩個(gè)根：0與-1.§6克萊姆法則由二元、三元線(xiàn)性方程組的克萊姆法則，我們有〃元線(xiàn)性方程組的克萊姆法則.克萊姆法則如果線(xiàn)性方程組auxx+a]2x2H—+aXnxn-b、,

〃2]X]+〃22%2H ha2nXn=仇，(1-7)afl]x}+an2x2++annxH=bn的系數(shù)行列式不等于零，即a\\a\nwO,an\ann那么，方程組(1.7)有惟一解D、D2(1-8)其中。/(；=1,2,…，而是把系數(shù)行列式O中的第，列元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的〃階行列式，即Dj=xawa2\a\J~\

a2J-2a29j+2…4…a2an\a.nj-nann證明(1)把方程組(1-7)簡(jiǎn)寫(xiě)為Ea/i=bj,i=、2，".JJJ=1把(1-8)式代入第i個(gè)方程，左端為〃 D 1nZ-j〃八n-lJJv=i u u六i因?yàn)镈j=4%+24./+…+。八=^bsAsj,5=1所以UJ=1 Uj=\ s=} Uj=\5=11 〃〃 1 〃〃=—yy冊(cè)am=—y(y%4曲FA I]M3n IJSJ'S=—Db.=b..D1 1這相當(dāng)于把（1-8）式代入方程組（1-7）的每個(gè)方程使它們同時(shí)變成恒等式，因而（1-8）式確為方程組（1-7）的解.（2）用。中第/列元素的代數(shù)余子式八，4）依次乘方程組（1-7）的〃個(gè)方程,再把它們相加，得（2沏4?）%++（2"々4，丐++（Z"如A@）Z= ,于是有DXj=D(j=l,2, ,〃).當(dāng)。wo時(shí)，得解一定滿(mǎn)足（1-8）式.綜上所述方程組（1-7）有惟一解.例13解線(xiàn)性方程組X]+4x2-lx3+6x4=0.21-511-30-602-1214-76TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"8 1-519-30-(-52-12\o"CurrentDocument"0 4-7628-5119 0-60-5-1210-76于是方程組有解218 11-39—5—62=—27,于是方程組有解218 11-39—5—62=—27,14 0 621-51-3002-114-789=27.—5%—3,A12=—4,X3=—1,14=].克萊姆法則亦可敘述為定理4如果線(xiàn)性方程組(1-7)的系數(shù)行列式ONO,則方程組(1-7)一定有解，且解是惟一的.它的逆否命題如下定理4,如果線(xiàn)性方程組(1-7)無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零(Z>0).特別地，當(dāng)方程組右邊的常數(shù)項(xiàng)全部為零時(shí)，方程組(1-7)稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組〃[內(nèi)+a〃[內(nèi)+a[2x2+0,(1-9)+ +a2nXn=°，(1-9)%內(nèi)+%2馬+..+?！ā?=0?它總有解玉=0,々=°，…，Z=。，稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組(1-9)的雯解.若一組不全為零的數(shù)，它是齊次線(xiàn)性方程組(1-9)的解，則稱(chēng)它為齊次線(xiàn)性方程組(1.9)的非零解.由定理4知定理5如果齊次線(xiàn)性方程組(1-9)的系數(shù)行列式不等于零，則齊次線(xiàn)性方程組(1-9)沒(méi)有非零解.推論如果齊次線(xiàn)性方程組(1-9)有非零解，則齊次線(xiàn)性方程組(1-9)的系數(shù)行列式必為零.在第四章我們會(huì)進(jìn)一步證明，如果齊次線(xiàn)性方程組(1-9)的系數(shù)行列式為零，則齊次線(xiàn)性方程組(1-9)有非零解.例14問(wèn)人為何值時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組(5— +2%2+2退=0,(1-10)2%+(6-2)x2=0,2%+(4—4)工3=0(1-10)有非零解 方程組的系數(shù)行列式為5-2 2 2D=2 6-2 0 = （5-2）（2-2）（8-2）.2 0 4-2若方程組（LIO）有非零解，則它的系數(shù)行列式0=0,從而有人=2,入=5,人=8,容易驗(yàn)證,當(dāng)人二2,入二5或入二8時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組（1-10）有非零解.例15求4個(gè)平面+ + +=0。=1,2,3,4）相交于一點(diǎn)（x（）,y（）,z（））的充分必要條件.解我們把平面方程寫(xiě)成+"y+qz+djt=0,其中，=1,于是4個(gè)平面交于一點(diǎn)，即zj的齊次線(xiàn)性方程組+ +qz+d/=0,a2x+b2y+c2z+d2t=0,a3x+b?)y+c3z+d?)t=O,。4%+/?4丁+宇+。/=0.有惟一的一組非零解（/,為*。/），根據(jù)齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于0,即4個(gè)平面相交于一點(diǎn)的充分必要條件為=0.4d24d4=0.本章小結(jié)與補(bǔ)充行列式在教學(xué)中有著重要的作用，在本書(shū)的后續(xù)部分是一個(gè)有力的工具.為了引進(jìn)n階行列式的定義，揭示行列式中各項(xiàng)符號(hào)的規(guī)律，我們介紹了全排列及逆序數(shù)的概念。由于在確定行列式中項(xiàng)的符號(hào)時(shí)，需要計(jì)算排列的逆序數(shù)，要求讀者能熟練地掌握逆序數(shù)的計(jì)算方法。一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算排列逆序數(shù)的方法有兩種，第一種方法：分別計(jì)算出排在1,2, ,n-l,n前面比它大的數(shù)碼之和，即分別求出L2, ,n-l,n這n個(gè)元素的逆序數(shù)，則這n個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為這個(gè)n級(jí)排列的逆序數(shù).第二種方法：分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即分別求出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，則每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為這個(gè)排列的逆序數(shù).行列式的計(jì)算是行列式理論中的一個(gè)重要問(wèn)題.關(guān)于n階行列式的計(jì)算，除了應(yīng)用定義

的項(xiàng)數(shù)，且排列12的逆序數(shù)為3對(duì)應(yīng)項(xiàng)的符號(hào)為“+”，而排列21的逆序數(shù)為1,所對(duì)應(yīng)項(xiàng)的符號(hào)為“-”.(1-2)式右端各項(xiàng)的第一個(gè)下標(biāo)按自然順序排列，第二個(gè)下標(biāo)由自然數(shù)1、2和3組成，

構(gòu)成的三級(jí)排列共有3!=6個(gè):123、231、312、132、213、321,這正好等于排-2)式右端的

項(xiàng)數(shù)，排列為123、231、312的逆序數(shù)分別為0、2、2,它們均為偶排列，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的符號(hào)為

排列132、213、321的逆序數(shù)分別為1、1、3,它們都是奇排列，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的符號(hào)為綜上所述：(1-2)式右端各項(xiàng)可寫(xiě)成4盧2/2。3r這里加刎是1、2、3的一個(gè)三級(jí)排列，當(dāng)方刎為偶排列時(shí)，項(xiàng)。了。2/2。3/3前面的符號(hào)為正，當(dāng)力次為奇排列時(shí)，項(xiàng)前面的符號(hào)為負(fù)，各項(xiàng)所帶符號(hào)均可表示為(T"，其中J二75/*)為排列及刎的逆序數(shù).從而(-2)式可寫(xiě)為j\jihy表示對(duì)全體三級(jí)排列求和.j\hh例1計(jì)算以下各排列的逆序數(shù)，并指出它們的奇偶性.(1)42531,(2)135…⑵-1)246???(2〃).解(1)對(duì)于所給排列，4排在首位，逆序個(gè)數(shù)為0；2的前面有一個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為1;5的前面有。個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為0；3的前面有兩個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為2；1的前面有四個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為4.把這些數(shù)加起來(lái)，即0+1+0+2+4=7故排列42531的逆序數(shù)為7,即“42531)=7,因而是奇排列.(2)同理可得：「 / 、 /、1 / 、/ 、 n(n+l)7[135…(2〃-1)246…(2幾)]=0+(九一1)+(〃-2)+…+2+1= .2所給排列當(dāng)幾二4k或軌+1時(shí)為偶排列，當(dāng)方M+2或4H3時(shí)為奇排列.§2行列式的定義定義4〃階行列式a\\a2\aa\\a2\a\2“224〃a2nan\an2(1-3)(1-3)等于所有取自不同行不同列的〃個(gè)元素的乘積a\j]a2j2,anjn計(jì)算外，還有以下幾種常見(jiàn)的方法：L化三角形法：我們知道，上三角形行列式或下三角形行列式的值等于它的主對(duì)角線(xiàn)上各元素的乘積.所謂化三角形法，也就是利用行列式的性質(zhì)將原行列式化為上三角形行列式或下三角形行列式來(lái)進(jìn)行計(jì)算.2,降階法：.所謂降階法，也就是利用行列式的按行（列）展開(kāi)處理（第一章§5定理3）將行列式展開(kāi)降階.通常先利用行列式的性質(zhì)把原行列式的某行（列）的元素盡可能多地變?yōu)榱?，使該行（列）不為零的元素只有一個(gè)或兩個(gè)，然后再按該行（列）展開(kāi)降階后進(jìn)行計(jì)算.3.加邊法：所謂加邊法，也就是把行列式添加一行和一列，使升階后的行列式的值保持不變.一般來(lái)講，如果一個(gè)n階行列式。，除主對(duì)角線(xiàn)上的元素外，每一行（列）的元素分別是n-L個(gè)元素41 , 〃2 ， ，ai-\aM， ,的倍元，即為勺勺%,%4+],k.aii=1,2 ，則可添加第1行列的元素依次為1,〃1,4+1, ,4〃，第一列（行）的元素依次為1,0, ,0,將。?轉(zhuǎn)化為。用進(jìn)行計(jì)算（如第一章§5例9）.計(jì)算行列式的方法比較靈活，除了上面介紹的幾種方法外，還可以利用遞推法、數(shù)學(xué)歸納法以及范德蒙行列式等來(lái)計(jì)算行列式的值.有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合利用.在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行交換后，再考察它是否能用常用的幾種方法.作為行列式的一個(gè)直接應(yīng)用，我們給出了克萊姆法則，但需要指出的是：用克萊姆法則的前提是線(xiàn)性方程組的方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)要相符且系數(shù)行列式不等于零.當(dāng)系數(shù)行列式等于零時(shí)，線(xiàn)性方程組可能有無(wú)窮多個(gè)解，也可能無(wú)解，這一點(diǎn)我們將在第四章中展開(kāi)討論.由于行列式的計(jì)算工作量大，在系數(shù)行列式的階數(shù)較大時(shí)用克萊姆法則解線(xiàn)性方程組是不適用的，克萊姆法則主要用于理論推導(dǎo)的論證方面.習(xí)題一1.求下列各排列的逆序數(shù).TOC\o"1-5"\h\z(1); (2)；(3) …321； (4)13…(2〃一1)(2〃)(2〃-2)…2..求出，人使9級(jí)排列jk為偶排列..寫(xiě)出四階行列式中含有因子的2。34的項(xiàng)?3232%的展開(kāi)式中包含/和丁的項(xiàng).\o"CurrentDocument"5x 1 23232%的展開(kāi)式中包含/和丁的項(xiàng).X X I.寫(xiě)出行列式。4=,.\o"CurrentDocument"1 2 x\o"CurrentDocument"x 1 2.用定義計(jì)算下列各行列式.02000010(1)3000；00046,計(jì)算下列各行列式.214-13-12-1(1)；123-2506-212300020⑵30450001ab -ac -ae⑵-hd cd -de ；-bf -cf -ef0 0-10c-11d142343414121237.證明下列各式.a2 ab b2(1)2aa+b2b=(a-b)3；1 1 1b2

c2

d2(6Z+1)2(Q+2)2(4+3)2(0+1)2("2)2("3)2(c+1)2(c+2)2(c+3)23+1)23+2)2(d+3)21a2⑶1b21c2Z?3=(ah+be+ca)1b20=(ad-bcyi；01+2— (4wO,i=L2,…8.計(jì)算下列〃階行列式.⑴D〃=Dn=⑶Dn=(4)Dn=av其中avJ 'Ji—j出j=12?；⑸Dn=9.計(jì)算〃階行列式.10.計(jì)算〃階行列式1+q

a]10.計(jì)算〃階行列式1+q

a]a1a21+(其中qw0,，=1,2,,〃).a；1-1

4fD〃=11.已知4階行列式q2a一2十一2

b?+A42與4+A44,其中A4.為行列式D4的第4行第j個(gè)元素的代數(shù)余子式..用克萊姆法則解方程組.x1x1+x2+x3=5,

2xl+x2-x3+x4=l,

Xj+2x2-x3+x4=2,

x2+2x3+3x4=3.5%+6x2=1,

%+5x2+6x3=0,

x2+5x3+6x4=0,

x3+5x4+6x5=0,

x4+5x5=1..人和u為何值時(shí)，齊次方程組cX1+4%+%3=°，X]+2"工2+工3=0有非零解？.問(wèn)：齊次線(xiàn)性方程組玉+々+工3+監(jiān)=°，X]+2x2+x3+x4=0,X|+-3七+—0,x1+x2+ojc3+bx4=0有非零解時(shí)，〃,b必須滿(mǎn)足什么條件?.求三次多項(xiàng)式/（、）=a。+a[x+a2x2+a3x3,使得/(-D=0,/(1)=4,〃2)=3,"3)=16..求出使一平面上三個(gè)點(diǎn)（%,%）,（%,乃）,（毛，%）位于同一直線(xiàn)上的充分必要條件?的代數(shù)和，這里加2…/〃是1,2,…，〃的一個(gè)排列，每一項(xiàng)（1-3）都按下列規(guī)則帶有符號(hào):當(dāng)為2…方是偶排列時(shí),（1-3）帶有正號(hào)，當(dāng)加2…/〃是奇排列時(shí)，（1-3）帶有負(fù)號(hào),這一定義可以寫(xiě)成a\na\n(1.4)...U21 U22 U2nz八7（力，2j“）(1.4);;;:: ：='㈠） 4盧2/2…%j7172Jn〃川%2 ann這里z表示對(duì)所有〃級(jí)排列求和.J\J2Jn例2計(jì)算四階行列式解根據(jù)定義，。是4!二24項(xiàng)的代數(shù)和，但每一項(xiàng)的乘積心日出方生/產(chǎn)前中只要有一個(gè)元素為0,乘積就等于0,所以只需計(jì)算展開(kāi)式中不明顯為0的項(xiàng).由于第1行元素除01外全為3故只需考慮，尸1,第2行元素中只有的,您不為3現(xiàn)已取力二1,故必須取八二2,同理必須取力二3,/尸4,這就是說(shuō)行列式展開(kāi)式中不為0的項(xiàng)只可能是勺出2。33%4,而列標(biāo)排列1234的逆序數(shù)為0,即此項(xiàng)符號(hào)為正,因此行列式。=%]%2。33〃44?行列式中，從左上角到右下角的直線(xiàn)稱(chēng)為主對(duì)角線(xiàn).主對(duì)角線(xiàn)以上的元素全為零（即Kj時(shí)元素。尸0）的行列式稱(chēng)為下三角行列式，它等于主對(duì)角線(xiàn)上各元素的乘積.主對(duì)角線(xiàn)以下的元素全為零（即以時(shí)元素劭=0）的行列式稱(chēng)為上三角行列式，同理可證它等于主對(duì)角線(xiàn)上各元素的乘積.行列式中，除主對(duì)角線(xiàn)上的元素以外，其他元素全為零（即花/時(shí)元素劭=0）的行列式稱(chēng)為對(duì)角行列式，由上面可知它等于對(duì)主角線(xiàn)上元素的乘積，即a\\a\\。22二411a22…ann例3證明?^Z|2■?an-\,2an\,an-\,2an\,an-\,\ an-\,2%上面的行列式中，未寫(xiě)出的元素都是0.證由于行列式的值為：y(-1)7凌火,a.,只需對(duì)可能不為0的乘積\ /'Jl刀2,lJnJ\J1Jn(-l)Ja.a2/%求和，考慮第〃行元素氏/,知力尸1,再考慮第行元素斯-i,Q,知1J｛乙/2 '%? "〃jn-l=l或jn-l=2,由于jn=l知"=2,如此類(lèi)推力二〃-1,齊〃,排列為%〃只能是排列…21,它的逆序數(shù)為尸(〃-1)+(〃-2)+…+2+1=〃(〃-1)2,所以行列式的值為n(n-\)(-1尸a\na2yn-\an-l92anl*由此可見(jiàn)例4n(n-\)(-1尸a\na2yn-\an-l92anl*由此可見(jiàn)例4設(shè)4i“21“31〃41“12“22“320\二ak\

c\\a\\0

bu41b〃〃b〃〃證明D二DD.證記其中4id\,k+〃d廣劭(z,y=l,2,,2)；dk+i,k+j-bij(z,j—1,2,…'n)；孔抬尸0(z=l,2,???,k\j=l,2,???,ri).R是排列q弓…小心,?〃+〃的逆序考察。的一般項(xiàng)(一1)“4d2r,dk41R是排列q弓…小心,?〃+〃的逆序、/ ir?k，卜入十1,々十1 kih?fl數(shù)，由于4,尸2=001,2,尸1,2,…，幾）,因此不弓，，〃均不可大于Z值，否則該項(xiàng)為0,故、4，rk只能在1,2,…，k中選取,從而〃+i”+2,，〃+〃只能在Hl,k+2,…,k+n中選取，于是。中不為0的項(xiàng)可以記作（―1）%的。極4*2% %」這里p,.=彳，［.=1一％, 1"<%,k+\<rk+i<k+n,兄也就是排列P1P2Pk（k+q、）（%+%）的逆序數(shù)，以R0分別表示排列P1P2Pk與q、q?%的逆序數(shù)，則有〃二夕。于是D-V>（-l）p+06ilna?n a,b,nh?n bnn,l〃i2〃2kpk1,小2、q） 〃,q〃PiPkq\q,i=X（T）4%a機(jī)（Z（一1產(chǎn)%。2必以）P\Pk q1夕〃=Z（一1）'4〃產(chǎn)2〃2 %D2PlPk=D\D）.'J§3對(duì)換定義5排列中，將某兩個(gè)數(shù)對(duì)調(diào)，其余的數(shù)不動(dòng)，這種對(duì)排列的變換叫做對(duì)換，將相鄰兩數(shù)對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換（鄰換）.定理1一個(gè)排列中的任意兩數(shù)對(duì)換，排列改變奇偶性.證先證相鄰對(duì)換的情形.設(shè)排列為Pl PiPiPi+iPi+2…Pn，對(duì)換Pi與化+1排列變?yōu)镻l Pi-lPi+lPiPi+2…P"，顯然Pl〃iP,+2…P〃這些數(shù)的逆序數(shù)經(jīng)過(guò)對(duì)換并不改變，僅Pj與兩數(shù)的逆序數(shù)改變:當(dāng)P,<2+1時(shí)，經(jīng)對(duì)換后，Pi+iPi是逆序,新排列的逆序數(shù)增加1,當(dāng)Pj>Pj+］時(shí)，Pep不是逆序，新排列的逆序數(shù)減少1,所以排列P、…PjiPiPi+iPi+2P〃與排列PlPiPi+TPiPi+2…P〃的逆序數(shù)相差1，奇偶性改變.下證一般對(duì)換的情形.設(shè)排列為Pi…Pi-iPiPM Pi+mPi+m+iPi+m+2P〃，對(duì)換Pj與Pi+m+i，把Pi往后連續(xù)作機(jī)次相鄰對(duì)換，排列變?yōu)镻iP-Pi+i…Pi+mPiPi+m+lPi+m+2…P〃，再把Pi+m+1往前連續(xù)作m+1次相鄰對(duì)換，排列變?yōu)樵翽iPj+〃用Pj+i Pi+,nPiPi+m+2凡，從而實(shí)現(xiàn)了P,?與P,+〃7+1的對(duì)換，它是經(jīng)2m+1次相鄰對(duì)換而成，排列也就改變了2根+1次奇偶性，所以?xún)蓚€(gè)排列的奇偶性相反.由于數(shù)的乘法是可交換的，所以行列式各項(xiàng)中的元素的順序也可任意交換，例如四階行列式中乘積。］］。22。33。44可以寫(xiě)成。22。11。44。33，一般九階行列式中乘積％j%j〃痔可以寫(xiě)JIJL J〃成MP.成MP.其中P1P2Pn與0%成都是〃級(jí)排列?定理2〃階行列式的一般項(xiàng)可以寫(xiě)成「claPMPMhPncln其中S與T分別是〃級(jí)排列P］〃2P〃與1% 9〃的逆序數(shù).證該項(xiàng)中任意兩元素互換，行下標(biāo)與列下標(biāo)同時(shí)對(duì)換，由定理1知n級(jí)排列pmp〃與％%???為同時(shí)改變奇偶性，于是S+7的奇偶性不變，如果將排列P/2p〃對(duì)換為自然順序12…〃（逆序數(shù)為0）,排列外也相應(yīng)對(duì)換為//2 /（逆序數(shù)為力，則有(—I)s+，Qaa =(—1)/a.m.a., 7〃⑼P242PMV7^J\2〃 〃J〃由定理2