2014年自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)串講講義第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布

第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布二維隨機(jī)變量（X,Y）(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)=P(X乞x,Y乞y)X的分布函數(shù)F1(x)=limF(x,y)=F(x,：：)y—Y的分布函數(shù)F2(y)=limF(x,y)二F(::,y)limF(x,y)=0=limF(x,y)x y_..離散型（X,Y）的分布律PjPk-0(與VPK=1比較)Pk-0(與VPK=1比較).KPj=1P=P(X=XiTPjjPj二P（丫二yj八Pj1231 2 30J0.103i0P?1Pg2Pq30.26a0.251Pl1P20i0例1設(shè)（X,Y）的分布律為求（1）a=?P(X=0)P(Y_2)P(X：：1,Y_2)P(X二Y)解:1 3(1)由二二 Pij =1知二:二 Pjij i￡j#=(P01+P)2+P03+P1+P12+P13)=0.1+0.1+0?3+0.25+a+0.25=1解得a=033p(x=0)八P0j二P01P02P03=0.10.10.3=0.5j411P(Y乞2)=P(Y=1)P(Y=2)=RP2「Ri，P2二(0.1 0.25) (0.1 0) =0.45P(X:：:1,Y乞2)=P(X=0,Y乞2)=P(X=0,Y=1) P(X二0,Y=2)= P01- p02 =0.1 0.1二0.2P(X二Y)二印=0.25連續(xù)型(X,Y)的分布密度設(shè)D為平面上的區(qū)域，設(shè)D為平面上的區(qū)域，f(x,y)為(X,Y)的分布密度，則其滿足:口jf(x,y)dxdy=1P((X,Y)D)=f(x,y)dxdyDxy特別，F(xiàn)(x,y)二P(X乞x,Y遼y)二(u,v)dudv：：2：：2F(x,y).x.:yf(x,y)若X，Y相互獨(dú)立，則有F(x,y)二F,x)E(y)，f(x,y)=f,x)￡(y)，其中Fjx),fjx)分別為X的邊緣分布函數(shù)和分布密度， F2(y),f2(y)分別為丫的邊緣分布函數(shù)和分布密度。常見二維連續(xù)型分布(1)平面區(qū)域D上的均勻分布：設(shè) D的面積為SD,(X,Y)服從D的均勻分布，貝U(X,Y)的分布密度為亠(x,y)￡df(x,y)二Sd.0,其他例2設(shè)D='(x,y):x2y2 ，即D為xy平面上的單位園域，則Sd=二，設(shè)(X,Y)服從D上的均勻分布,1x2+y2蘭1則其f(x,y)=付y*0,其他44S解：設(shè)(X,Y)具有D上的均勻分布，A為平面上的某一區(qū)域，則P((X,Y)?A) ，其中Sa-d表示A與DSD公共部分的面積。例3（續(xù)例2）求P（X.0,Y.0）1解：P（X0,Y.0）=4=_二422(2)二維正態(tài)分布N(叫』2,匚1，匚2,P)*，設(shè)(X,Y)具有該分布，則其概率密度為"八2+.‘1一卩2exp-—（X」1）22（1-p）（x-已）（y-巴）+（y-込）I2 嚴(yán)::y：：：：,G0,二2a0,P<1,-處<片<+處，i=1,2此時X的邊緣密度fl(x)—1——e"”/2”，即x?N（叫，匚12）故EX-?，DX、2-1Y的邊緣密度f2(y)二_1 e4^4^/2：?，即丫?NL,&22），故EY二M2,DY■.2二;「2P為X,Y的相關(guān)系數(shù)，可知當(dāng)P=0時，f(x,y)二f1(x)f2(y)，即X,Y相互獨(dú)立，這是一個重要結(jié)論:在正態(tài)分布的場合：不相關(guān)等價于相互獨(dú)立。另外，可知Cov(X,Y)二 /D丫二p二&2*例4設(shè)X?N(0,4),丫?N(-1,1)，兩者相互獨(dú)立，求(X,Y)的分布密度f(x,