湖南省長(zhǎng)沙市2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中題含解析

Page18湖南省長(zhǎng)沙市2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中題一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.2.A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即得結(jié)果.詳解：選D.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)除法法則，考查學(xué)生基本運(yùn)算能力.3.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正負(fù)相關(guān)與線性相關(guān)的強(qiáng)弱進(jìn)行求解即可【詳解】都是正線性相關(guān)，所以，并且相關(guān)性最強(qiáng)，所以；都是負(fù)線性相關(guān)并，所以，且相關(guān)性強(qiáng)，所以，所以；所以；故選：A4.函數(shù)的一個(gè)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦函數(shù)的遞減區(qū)間，可得，求解即可得到函數(shù)的遞減區(qū)間，即可得到符合的結(jié)果【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，求得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，可得該函數(shù)的一個(gè)減區(qū)間為，故選：B.5.已知圓柱的側(cè)面積為，體積為則該圓柱的軸截面的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積與體積公式，解得底面半徑及高，即可得到圓柱的軸截面面積．【詳解】設(shè)圓柱底面圓半徑為，高為，則由題意得到，解得，所以圓柱軸截面為正方形，此圓柱的軸截面正方形的面積為故選：．6.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】用二倍角余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.

故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7.一試驗(yàn)田某種作物一株的生長(zhǎng)果實(shí)個(gè)數(shù)x服從正態(tài)分布，且，從試驗(yàn)田中隨機(jī)抽取20株，果實(shí)個(gè)數(shù)在[的株數(shù)記作隨機(jī)變量X，且X服從二項(xiàng)分布，則X的方差為（）A.0.42 B.0.6 C.4.2 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性和二項(xiàng)分布的方差公式即可求解.【詳解】∵，且，∴，∴.X的方差為.故選：C.8.已知是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，，，.若是偶函數(shù)，則（）A.－3 B.－2 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)得到關(guān)于對(duì)稱，得到，結(jié)合和為偶函數(shù)即可得周期為4，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則關(guān)于對(duì)稱，即.即，即，也滿足.又是定義域?yàn)镽偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，，∴周期為4，∴，∴.故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．本題還可用排除，對(duì)B，，，排除B，對(duì)C，，排除C．對(duì)D，，排除D，故選A．【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷．10.若函數(shù)，則（）A.的定義域是B.有兩個(gè)零點(diǎn)C.在點(diǎn)處切線的斜率為D.在遞增【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)定義域即可判斷；對(duì)B，直接解方程可求解；對(duì)C，求出在處的導(dǎo)數(shù)可得；對(duì)D，求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可判斷單調(diào)性.【詳解】對(duì)于A：函數(shù)的定義域是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，即，解得：或，故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C：斜率，故C正確；對(duì)于D：，時(shí)，，，故，在單調(diào)遞增，故D正確.故選：BCD.11.已知由樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合，求得的回歸直線方程為，且，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和誤差較大，去除后重新求得的回歸直線l的斜率為1.2，則（）A.變量x與y具有正相關(guān)關(guān)系 B.去除后的回歸方程為C.去除后y的估計(jì)值增加速度變快 D.去除后相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差為0.05【答案】AB【解析】【分析】A.根據(jù)回歸直線方程的x系數(shù)的正負(fù)判斷.B.根據(jù)去除前后樣本點(diǎn)不變判斷.C.根據(jù)去除前后x的系數(shù)大小判斷.D.根據(jù)殘差的計(jì)算公式判斷.【詳解】因?yàn)榛貧w直線方程為，，所以變量x與y具有正相關(guān)關(guān)系.故A正確.當(dāng)時(shí)，，樣本點(diǎn)為，去掉兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和后，樣本點(diǎn)還是，又因?yàn)槿コ笾匦虑蟮玫幕貧w直線l的斜率為1.2，所以，解得，所以去除后的回歸方程為，故B正確.因?yàn)椋匀コ髖的估計(jì)值增加速度變慢，故C錯(cuò)誤.因?yàn)椋?，故D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】本題主要考查回歸分析的理解，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.12.已知拋物線C：，圓F：（F為圓心），點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)Q在圓F上，點(diǎn)A，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的最小值是 B.的最小值是C.當(dāng)最大時(shí)， D.當(dāng)最小時(shí)，【答案】AC【解析】【分析】確定出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)，圓F的圓心和半徑，分析、計(jì)算判斷A，B；數(shù)形結(jié)合，計(jì)算判斷C，D作答.【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)，圓F：的圓心，半徑，對(duì)于A，的最小值是的最小值減去圓的半徑，又的最小值是1，的最小值是，A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值是，B不正確；對(duì)于C，如圖所示，要使最大，當(dāng)且僅當(dāng)AQ與圓F相切，AP與拋物線C相切，且P，Q在x軸兩側(cè)，所以當(dāng)最大時(shí)，，C正確；對(duì)于D，因最小值為，即P，A，Q共線，則當(dāng)最小時(shí)，即，D不正確.故選：AC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及與圓相離的圖形F上的點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離最值問題，轉(zhuǎn)化為圖形F上的點(diǎn)與圓心的距離加或減圓半徑求解.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為___________.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的性質(zhì)可得函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則，從而求出參數(shù)的值，再代入檢驗(yàn)即可；【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是R上的偶函數(shù)，是R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)是R上的奇函數(shù)，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，即符合題意.故答案為：14.的展開式中的系數(shù)為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又的展開式的通項(xiàng)所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.15.已知平面向量，，.若與共線，則在上的投影向量的坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，表示出，根據(jù)共線求出，然后可得在方向上的投影向量的坐標(biāo).【詳解】∵，，∴，又∵與共線，∴，∴，∴，向量在向量方向上的投影為，由于向量在向量方向上的投影向量與共線，且，可得所求向量為.故答案為：16.設(shè)雙曲線C：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)A是C右支上的一點(diǎn)，則的最小值為___________.【答案】8【解析】【分析】由雙曲線的定義把表示為的函數(shù)，然后由函數(shù)的單調(diào)性得最小值．【詳解】解：由雙曲線C：，可得，，所以，所以，，由雙曲線定義可得，所以，所以，由雙曲線性質(zhì)可知：，令，則，所以，記，設(shè)，則，所以，即在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)A為雙曲線的右頂點(diǎn)（1，0）．故答案為：8．四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足，且對(duì)于任意，，都有.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，，再判斷數(shù)列是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列，最后求即可；（2）先求出，再判斷數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，最后求即可.【詳解】解：（1）∵對(duì)于任意，，都有成立，∴令，，得，即，，∴數(shù)列是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列，∴，.（2）∵，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴.【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，是基礎(chǔ)題.18.在中，.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合余弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，即可得出的周長(zhǎng).【小問1詳解】解：在中，設(shè)內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，因?yàn)?，即，由題意得：由正弦定理得，即，所以，，又因?yàn)?，所以?【小問2詳解】解：，代入，則，即，因?yàn)?，所以，，則，可得，因此，的周長(zhǎng)為.19.“五項(xiàng)管理”是“雙減”工作的一項(xiàng)具體抓手，是促進(jìn)學(xué)生身心健康?解決群眾急難愁盼問題的重要舉措.為了在“控量”的同時(shí)力求“增效”，提高作業(yè)質(zhì)量，某學(xué)校計(jì)劃設(shè)計(jì)差異化作業(yè).因此該校對(duì)初三年級(jí)的400名學(xué)生每天完成作業(yè)所用時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：男生女生總計(jì)90分鐘以上8018090分鐘以下220總計(jì)160240400（1）求x，y，z的值，并根據(jù)題中的列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為完成作業(yè)所需時(shí)間在90分鐘以上與性別有關(guān)？（2）教務(wù)處從完成作業(yè)所需時(shí)間在90分鐘以上的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取9人了解情況，校長(zhǎng)再?gòu)倪@9人中選取3人進(jìn)行訪談，記校長(zhǎng)選取的3人中男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.0763.8415.0246.635【答案】（1），，，列聯(lián)表答案見解析，沒有95%的把握認(rèn)為完成作業(yè)所需時(shí)間在90分鐘以上與性別有關(guān)（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)表計(jì)算x，y，z，完善列聯(lián)表，再計(jì)算觀測(cè)值與臨界值比對(duì)作答.（2）根據(jù)分層抽樣分別求得抽得的男女生人數(shù)，再根據(jù)超幾何分布可求解.【小問1詳解】由表中的數(shù)據(jù)可得：；；；所以列聯(lián)表如下：男生女生總計(jì)90分鐘以上8010018090分鐘以下80140220總計(jì)160240400.所以沒有95%的把握認(rèn)為完成作業(yè)所需時(shí)間在90分鐘以上與性別有關(guān).【小問2詳解】抽取的9人中，需要抽取男生：人，女生：人，X取值0，1，2，3，，，故X的分布列為X0123P.20.如圖，在四棱臺(tái)中，底面四邊形ABCD是矩形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD.（1）求證：平面ABCD；（2）若二面角的余弦值為，求四棱臺(tái)的高.【答案】（1）證明見解析；（2）1.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可得，，再利用線面垂直的判定推理作答.（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量及二面角余弦值計(jì)算作答.【小問1詳解】因?yàn)榈酌嫠倪呅蜛BCD矩形，有，而平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，則平面，又平面，則有，因平面平面ABCD，同理有，而，平面ABCD，所以平面ABCD.【小問2詳解】在四棱臺(tái)中，由（1）知，AB，AD，兩兩垂直，且即為四棱臺(tái)的高，以A為原點(diǎn)，射線AB，AD，分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，平面的一個(gè)法向量，因此，，解得，所以四棱臺(tái)的高為1.21.已知橢圓E：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)P和Q，且.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D.證明：【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意可得，即得；（2）由題可設(shè)AB方程為，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及橢圓的性質(zhì)即得.【小問1詳解】由對(duì)稱性知點(diǎn)在橢圓上，由題意可得，解得，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立，得，∴，即.設(shè)，，，則，，∴，，即，則OM所在直線方程為，聯(lián)立，得或.∴，.則.而∴，即.22.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（其中為的導(dǎo)函數(shù)），求的值.【答案】（1）增區(qū)間為、，減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知存在極值點(diǎn)，且滿足，求得，根據(jù)已知條件求出的值，即可求得實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】解：因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，由，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.【小問2詳解】解：設(shè)，且，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)