高考北師大版數(shù)學（理）一輪復(fù)習學案2-7函數(shù)的圖像

第七節(jié)函數(shù)的圖像命題分析預(yù)測學科核心素養(yǎng)從近五年的考查情況來看，本節(jié)是高考的一個熱點，主要考查函數(shù)圖像的識別以及函數(shù)圖像的應(yīng)用，如利用函數(shù)圖像解函數(shù)零點問題、解不等式問題、求參數(shù)的取值范圍問題等，一般以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度中等.本節(jié)通過對函數(shù)圖像及其應(yīng)用考查數(shù)形結(jié)合思想的運用和考生的數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學建模核心素養(yǎng).授課提示：對應(yīng)學生用書第33頁知識點函數(shù)的圖像1.描點法作函數(shù)圖像其基本步驟是列表、描點、連線，具體為：首先：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）化簡函數(shù)解析式；（3）討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性）；其次：列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點）；最后：描點，連線.2.利用圖像變換法作函數(shù)的圖像（1）平移變換y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(a＞0，右移a個單位長度),\s\do5(a<0，左移|a|個單位長度))y＝f（x－a）；y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(b＞0，上移b個單位長度),\s\do5(b＜0，下移|b|個單位長度))y＝f（x）＋b.（2）伸縮變換y＝f（x）＝y(tǒng)＝f（ωx）；y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(A＞1，伸長為原來的A倍),\s\do5(0＜A＜1，縮短為原來的A倍))y＝Af（x）Ｗ.（3）對稱變換y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對稱))y＝－f（x）；y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對稱))y＝f（－x）；y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點對稱))y＝－f（－x）.（4）翻折變換y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖),\s\do5(將y軸右邊的圖像翻折到左邊去))y＝f（|x|）；y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(留下x軸上方圖),\s\do5(將x軸下方圖翻折上去))y＝|f（x）|.?溫馨提醒?二級結(jié)論函數(shù)圖像對稱變換的相關(guān)結(jié)論（1）y＝f（x）的圖像關(guān)于直線x＝m對稱的圖像是函數(shù)y＝f（2m－x）的圖像.（2）y＝f（x）的圖像關(guān)于直線y＝n對稱的圖像是函數(shù)y＝2n－f（x）的圖像.（3）y＝f（x）的圖像關(guān)于點（a，b）對稱的圖像是函數(shù)y＝2b－f（2a－x）的圖像.必明易錯函數(shù)圖像的每次變換都針對自變量“x”而言，如從f（－2x）的圖像到f（－2x＋1）的圖像是向右平移eq\f(1,2)個單位長度，其中是把x變成x－eq\f(1,2).f（x）＝x＋eq\f(1,x)的圖像關(guān)于（）A.y軸對稱 B.x軸對稱 D.直線y＝x對稱解析：函數(shù)f（x）的定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞）且f（－x）＝－f（x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù).答案：C①中的圖像是函數(shù)y＝f（x）的圖像，則圖②中的圖像對應(yīng)的函數(shù)可能是（）A.y＝f（|x|） B.y＝|f（x）|C.y＝f（－|x|） D.y＝－f（－|x|）解析：因為題圖②中的圖像是在題圖①的基礎(chǔ)上，去掉函數(shù)y＝f（x）的圖像在y軸右側(cè)的部分，然后將y軸左側(cè)圖像翻折到y(tǒng)軸右側(cè)得來的，所以題圖②中的圖像對應(yīng)的函數(shù)可能是y＝f（－|x|）.答案：C，函數(shù)f（x）的圖像為折線ACB，則不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是__________.解析：在同一直角坐標系內(nèi)作出y＝f（x）和y＝log2（x＋1）的圖像（如圖）.由圖像知不等式的解集是（－1，1].答案：（－1，1]4.（易錯題）設(shè)f（x）＝2－x，g（x）的圖像與f（x）的圖像關(guān)于直線y＝x對稱，h（x）的圖像由g（x）的圖像向右平移1個單位長度得到，則h（x）＝__________.解析：與f（x）的圖像關(guān)于直線y＝x對稱的圖像所對應(yīng)的函數(shù)為g（x）＝－log2x，再將其圖像右移1個單位長度得到h（x）＝－log2（x－1）的圖像.答案：－log2（x－1）授課提示：對應(yīng)學生用書第34頁題型一函數(shù)圖像的識別[例]（2020·高考浙江卷）函數(shù)y＝xcosx＋sinx在區(qū)間[－π，π]上的圖像可能為（）解析：因為f（x）＝xcosx＋sinx，則f（－x）＝－xcosx－sinx＝－f（x），即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于坐標原點對稱，據(jù)此可知選項C、D錯誤；且x＝π時，y＝πcosπ＋sinπ＝－π＜0，據(jù)此可知選項B錯誤.答案：A函數(shù)圖像的識別方法（1）特殊點法：根據(jù)已知函數(shù)的解析式選取特殊的點，判斷選項中的圖像是否經(jīng)過這些點，若不滿足則排除.（2）函數(shù)性質(zhì)法：根據(jù)選項中的圖像特點，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等來排除選項，有時需要借助導數(shù)工具求解.（3）極限思想：應(yīng)用極限思想來處理，達到巧解妙算的效果，使解題過程費時少，準確率高.（4）圖像變換法：有關(guān)函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝af（bx＋c）＋h的圖像問題的判斷，熟練掌握圖像的平移變換（左加右減，上加下減）、對稱變換、伸縮變換等，便可破解此類問題.[題組突破]1.（2021·淄博模擬）函數(shù)f（x）＝ln（x2＋2）－ex－1的圖像可能是（）解析：當x→＋∞時，f（x）→－∞，故排除D；易知f（x）在R上連續(xù)，故排除B；且f（0）＝ln2－e－1＞0，故排除C.答案：Af（x）的圖像如圖所示，則f（x）的解析式可能是（）A.f（x）＝x2－2ln|x|B.f（x）＝x2－ln|x|C.f（x）＝|x|－2ln|x|D.f（x）＝|x|－ln|x|解析：由函數(shù)圖像可得，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且x＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)性為先減后增，最小值為正，極小值點小于1，分別對選項中各個函數(shù)求導，并求其導函數(shù)等于0的正根，可分別得1，eq\f(\r(2),2)，2，1，由此可得僅函數(shù)f（x）＝x2－ln|x|符合條件.答案：B題型二函數(shù)圖像的應(yīng)用函數(shù)圖像是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性.常見的命題角度有：（1）研究函數(shù)的性質(zhì)；（2）研究不等式.考法（一）研究函數(shù)的性質(zhì)[例1]已知函數(shù)f（x）＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是（）A.f（x）是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是（0，＋∞）B.f（x）是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是（－∞，1）C.f（x）是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是（－1，1）D.f（x）是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是（－∞，0）[解析]將函數(shù)f（x）＝x|x|－2x去掉絕對值得f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))畫出函數(shù)f（x）的圖像，如圖所示，觀察圖像可知，函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于原點對稱，故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在（－1，1）上單調(diào)遞減.[答案]C利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)對于已知或解析式易畫出其在給定區(qū)間上圖像的函數(shù)，其性質(zhì)常借助圖像研究：（1）從圖像的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值.（2）從圖像的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性.（3）從圖像的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性.考法（二）研究不等式[例2]（1）若不等式（x－1）2＜logax（a＞0，且a≠1）在x∈（1，2）內(nèi)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A.（1，2] B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.（1，eq\r(2)） D.（eq\r(2)，2）（2）設(shè)函數(shù)f（x）＝|x＋a|，g（x）＝x－1，對于任意的x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________.[解析]（1）要使當x∈（1，2）時，不等式（x－1）2＜logax恒成立，只需函數(shù)y＝（x－1）2在（1，2）上的圖像在y＝logax的圖像的下方即可.當0＜a＜1時，顯然不成立；當a＞1時，如圖所示，要使x∈（1，2）時，y＝（x－1）2的圖像在y＝logax的圖像的下方，只需（2－1）2≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2，故實數(shù)a的取值范圍是（1，2].（2）如圖所示，作出函數(shù)f（x）＝|x＋a|與g（x）＝x－1的圖像，觀察圖像可知，當且僅當－a≤1，即a≥－1時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，因此a的取值范圍是[－1，＋∞）.[答案]（1）A（2）[－1，＋∞）當不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對應(yīng)函數(shù)的圖像可作出時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解.[題組突破]f（x）在（0，＋∞）上為增函數(shù)，且f（1）＝0，則不等式eq\f(f（x）－f（－x）,x)＜0的解集為（）A.（－1，0）∪（1，＋∞） B.（－∞，－1）∪（0，1）C.（－∞，－1）∪（1，＋∞） D.（－1，0）∪（0，1）解析：因為f（x）為奇函數(shù)，所以不等式eq\f(f（x）－f（－x）,x)＜0可化為eq\f(f（x）,x)＜0，即xf（x）＜0，f（xxf（x）＜0的解集為（－1，0）∪（0，1）.答案：D2.（2021·貴陽模擬）已知函數(shù)f（x）的圖像如圖所示，則函數(shù)g（x）＝logeq\r(2)f（x）的定義域是__________.解析：當f（x）＞0時，函數(shù)g（x）＝logeq\r(2)f（x）有意義，由函數(shù)f（x）的圖像知滿足f（x）＞0的x∈（2，8].答案：（2，8]函數(shù)圖像應(yīng)用中的核心素養(yǎng)（一）直觀想象——數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問題中的應(yīng)用[例1]已知函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1，x≥0，,x2－2x－1，x＜0，))則對任意x1，x2∈R，若0＜|x1|＜|x2|，則下列不等式成立的是（）A.f（x1）＋f（x2）＜0 B.f（x1）＋f（x2）＞0C.f（x1）－f（x2）＞0 D.f（x1）－f（x2）＜0[解析]函數(shù)f（x）的圖像如圖所示，且f（－x）＝f（x），從而函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且在[0，＋∞）上是增函數(shù).又0＜|x1|＜|x2|，所以f（x2）＞f（x1），即f（x1）－f（x2）＜0.[答案]D數(shù)形結(jié)合思想的主要方面是“以形助數(shù)”尋找解決問題的途徑，f（x）是偶函數(shù)，且在[0，＋∞）上為增函數(shù)的性質(zhì)，進而得出結(jié)論f（x1）－f（x2）＜0.（二）創(chuàng)新應(yīng)用——由實際問題的變化過程探究函數(shù)圖像[例2]廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習稱為“陰陽魚太極圖”.如圖，是由一個半徑為2的大圓和兩個半徑為1的半圓組成的“陰陽魚太極圖”，圓心分別為O，O1，O2，若一動點P從點A出發(fā)，按路線A→O→B→C→A→D→B運動（其中A，O1，O，O2，B五點共線），設(shè)P的運動路程為x，y＝|O1P|2，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝f（x），則y＝f（x）的圖像大致為（）[解析]根據(jù)題圖中信息，可將x分為4個區(qū)間，即[0，π），[π，2π），[2π，4π），[4π，6π]，當x∈[0，π）時，函數(shù)值不變，y＝f（x）＝1；當x∈[π，2π）時，設(shè)eq\o(O2P,\s\up6(→))與eq\o(O2O1,\s\up6(→))的夾角為θ，因為|eq\o(O2P,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(O2O1,\s\up6(→))|＝2，θ＝x－π，所以y＝（eq\o(O2P,\s\up6(→))－eq\o(O2O1,\s\up6(→))）2＝5－4cosθ＝5＋4cosx，所以y＝f（x）的圖像是曲線，且單調(diào)遞增；當x∈[2π，4π）時，eq\o(O1P,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OO1,\s\up6(→))的夾角為α，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OO1,\s\up6(→))|＝1，α＝2π－eq\f(1,2)x，所以y＝|eq\o(O1P,\s\up6(→))|2＝（eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→))）2＝5－4cosα＝5－4coseq\f(x,2)，函數(shù)y＝f（x）的圖像是曲線，且單調(diào)遞減.[答案]A解決此類問題，可以根據(jù)已知條件求出函數(shù)解析式后再判斷函數(shù)的圖像；也可采用“以靜觀動”，即將動點處于某些特殊的位置處考查圖像的變化特征，從而得出結(jié)果.[題組突破]f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≤0，,ln（x＋1），x＞0.))若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（）A.（－∞，0] B.（－∞，1]C.[－2，1] D.[－2，0]解析：由y＝|f（x）|的圖像（如圖所示）知，①當x＞0時，只有a≤0時才能滿足|f（x）|≥ax.②當x≤0時，y＝|f（x）|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f（x）|≥ax得x2－2x≥ax.當x＝0時，不等式為0≥0成立；當x＜0時，不等式等價為x－2