指數(shù)函數(shù)教案

指數(shù)函數(shù)教案指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

教材選用：北師大版高中數(shù)學(xué)選修1

教學(xué)目標(biāo)：

1.知道什么是指數(shù)函數(shù)及其定義域、值域；

2.能夠根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)畫出它們的圖像、決定它們的性質(zhì)；

3.能夠看出指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)關(guān)系的聯(lián)系，并能舉例說明；

4.能夠進(jìn)行一些基本的乘法、除法、冪運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算。

教學(xué)重點(diǎn)：

1.指數(shù)函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)；

2.冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；

3.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

教學(xué)難點(diǎn)：

1.指數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用；

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)。

教學(xué)內(nèi)容：

第一部分：教師引入

教師可采用物理上的例子作為引入，例如介紹放射性衰變現(xiàn)象或者生物的繁殖過程中，對(duì)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行簡單的引入，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生理解指數(shù)函數(shù)的概念。

第二部分：教師講解

1.指數(shù)函數(shù)的基本概念

（1）指數(shù)函數(shù)的定義：設(shè)a為正實(shí)數(shù)，且a≠1，x為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=a^x稱為以a為底的指數(shù)函數(shù)。

（2）指數(shù)函數(shù)的圖像：

當(dāng)a>1時(shí)，y=a^x是增函數(shù)，圖像呈現(xiàn)指數(shù)增長趨勢(shì)；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=a^x是減函數(shù)，圖像呈現(xiàn)指數(shù)衰減趨勢(shì)。

（3）指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：

①定義域：x為任意實(shí)數(shù)；

②值域：

當(dāng)a>1時(shí)，y≥0；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜y≤1；

③對(duì)稱軸：x軸；

④單調(diào)性：當(dāng)a>1時(shí)，y=a^x遞增；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=a^x遞減。

2.底數(shù)為e的指數(shù)函數(shù)

（1）自然對(duì)數(shù)的定義：lnx(x>0)表示以常數(shù)e為底，x的對(duì)數(shù)，即lnx=logex。

（2）自然指數(shù)函數(shù)：y=e^x，其中e=2.718281828459……

（3）e^x的圖像：y=e^x呈現(xiàn)指數(shù)增長趨勢(shì)。

3.冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

冪函數(shù)y=x^n中，當(dāng)n>0時(shí)，函數(shù)值隨著自變量x的增大而增大，增長趨勢(shì)與y=a^x函數(shù)一致。

當(dāng)n=0時(shí)，y=1，相當(dāng)于指數(shù)函數(shù)y=a^0。

當(dāng)n<0時(shí)，y=x^n中隨著x的增大，函數(shù)值卻在減小，與y=a^x函數(shù)的減函數(shù)趨勢(shì)一致，但由于在n為整數(shù)的情況下，x^n的定義域處理會(huì)存在問題，所以不同的書籍會(huì)有不同的處理方式。

4.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系

（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：

設(shè)a為正實(shí)數(shù)，且a≠1，x為正實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=logax稱為以a為底的對(duì)數(shù)函數(shù)。

（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像：

以2為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x的圖像呈現(xiàn)對(duì)稱性，即y=log2x與y=-log2x的圖像互相對(duì)稱，且y=log2x與x軸、y軸都有公共點(diǎn)，即(1,0)和(0,1)；

當(dāng)a>1時(shí)，y=logax是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，y=logax是減函數(shù)，都呈現(xiàn)指數(shù)增長或衰減的趨勢(shì)；

當(dāng)a=1時(shí)，y=log1b=0；

當(dāng)b>0時(shí)，logbb=1。

（3）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系：

設(shè)a>0，且a≠1，則有a^logax=x。

第三部分：教師輔導(dǎo)

通過例題、習(xí)題的方式，加深學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的掌握。

典型例題：

1.若3^x-2×3^{x-1}=7，求x的值。

解：3^x-3^{x-1}=7/2，化簡可得：

3^{x-1}(3-1)=\frac{7}{2}

化簡后可得：

3^{x-1}=7/4

則x-1=log3(7/4)

x=log3(7/4)+1

2.房子達(dá)到理想溫度需要的時(shí)間是室溫的80%，已經(jīng)過去了20分鐘，還需要過去多長時(shí)間才能達(dá)到溫度呢？

解：設(shè)室溫為a，要達(dá)到的溫度為b，則

t=20+0.8^nt

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的增長趨勢(shì)，若t越大，則0.8^t越小，因此t應(yīng)為升函數(shù)，兩邊同時(shí)除以0.8^n，得：

t/0.8^n=0.25+0.8^n*t/0.8^n

令z=t/0.8^n，將上式代入得：

z=0.25+0.8z

z=0.25÷0.2=1.25

t=1.25×0.8^n

通過應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的增長趨勢(shì)，變形后計(jì)算，求出達(dá)到理想溫度需要的時(shí)間。