專題訓(xùn)練4特殊平行四邊形中的五種折疊方式

專題訓(xùn)練(四)特殊平行四邊形中的五種折疊方式?方式一把一個(gè)頂點(diǎn)折疊到一邊上1．如圖4－ZT－1，矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將矩形ABCD沿直線DE折疊，點(diǎn)A恰好落在邊BC上的點(diǎn)F處．假設(shè)AE＝5，BF＝3，則CD的長(zhǎng)是()A．7B．8C．9D．10圖4－ZT－12．如圖4－ZT－2，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，△BEF沿EF折疊得到△GEF，且點(diǎn)G在邊AD上．假設(shè)EG⊥AC，AB＝6eq\r(2)，則FG的長(zhǎng)為_(kāi)_______．圖4－ZT－23．如圖4－ZT－3，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處，過(guò)點(diǎn)F作FG∥CD，交AE于點(diǎn)G，連接DG.(1)求證：四邊形DEFG為菱形；(2)假設(shè)CD＝8，CF＝4，求eq\f(CE,DE)的值．圖4－ZT－3?方式二把一個(gè)頂點(diǎn)折疊到對(duì)角線上4．如圖4－ZT－4所示，矩形紙片ABCD中，AD＝8，折疊紙片使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長(zhǎng)為()A．3B．4C．5D．6圖4－ZT－45．如圖4－ZT－5所示，將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使邊DC落在對(duì)角線AC上，折痕為CE，且點(diǎn)D落在對(duì)角線上的點(diǎn)D′處．假設(shè)AB＝3，AD＝4，則ED的長(zhǎng)為()A.eq\f(3,2)B．3C．1D.eq\f(4,3)圖4－ZT－5?方式三把一個(gè)頂點(diǎn)折疊到另一個(gè)頂點(diǎn)上6．把一矩形紙片ABCD按圖4－ZT－6所示方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF，假設(shè)AB＝3cm，BC＝5cm，則重疊局部△DEF的面積為_(kāi)_____cm2.圖4－ZT－67．如圖4－ZT－7所示，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接CE.(1)求證：四邊形AFCE為菱形；(2)設(shè)AE＝a，ED＝b，DC＝c，請(qǐng)寫(xiě)出a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．圖4－ZT－7?方式四把一個(gè)頂點(diǎn)折疊到圖形外或圖形8．如圖4－ZT－8，正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(2)，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影局部的周長(zhǎng)為()A．8eq\r(2)B．4eq\r(2)C．8D．6圖4－ZT－89．如圖4－ZT－9，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是()A．2eq\r(10)－2B．6C．2eq\r(13)－2D．4圖4－ZT－910．如圖4－ZT－10，矩形ABCD中，點(diǎn)P，Q分別是邊AD和BC的中點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)C的直線折疊矩形ABCD，使點(diǎn)B落在線段PQ上的點(diǎn)F處，折痕交AB邊于點(diǎn)E，交線段PQ于點(diǎn)G.假設(shè)線段BC的長(zhǎng)為3，則線段FG的長(zhǎng)為_(kāi)_______．圖4－ZT－1011．如圖4－ZT－11，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿EC折疊矩形ABCD，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，折痕為EC，連接AP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接BP.(1)求證：四邊形AECF為平行四邊形；(2)假設(shè)△AEP是等邊三角形，求證：△APB≌△EPC；(3)假設(shè)矩形ABCD的邊AB＝6，BC＝4，求△CPF的面積．圖4－ZT－11?方式五屢次折疊12．2018·資陽(yáng)如圖4－ZT－12，將矩形ABCD的四個(gè)角向翻折后，恰好拼成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的四邊形EFGH，EH＝12cm，EF＝16cm，則邊AD的長(zhǎng)是()A．12cmB．16cmC．20cmD．28cm圖4－ZT－1213．準(zhǔn)備一矩形紙片ABCD，按如圖4－ZT－13所示操作：將△ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)M處，將△CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)N處．(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；(2)假設(shè)四邊形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面積．圖4－ZT－1314．如圖4－ZT－14①，將矩形ABCD沿DE折疊，使頂點(diǎn)A落在DC上的點(diǎn)A′處，然后將矩形展平；沿EF折疊，使頂點(diǎn)A落在折痕DE上的點(diǎn)G處；再將矩形ABCD沿CE折疊，此時(shí)頂點(diǎn)B恰好落在DE上的點(diǎn)H處，如圖②.(1)求證：EG＝CH；(2)AF＝eq\r(2)，求AD和AB的長(zhǎng)．圖4－ZT－14詳解詳析1．[解析]C由折疊的性質(zhì)得EF＝AE＝5.由勾股定理得BE＝4，∴AB＝CD＝9.2．[答案]3eq\r(6)[解析]∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∠BAC＝60°.∵EG⊥AC，∴∠AEG＝30°.由折疊可知，∠BEF＝eq\f(1,2)×(180°－∠AEG)＝75°，∴∠BFE＝180°－(∠B＋∠BEF)＝45°.∴∠BFG＝90°，即FG⊥BC.∴FG＝BC邊上的高＝3eq\r(6).3．解：(1)證明：由折疊的性質(zhì)得∠1＝∠2，ED＝EF，GD＝GF.∵FG∥CD，∴∠1＝∠3，則∠2＝∠3，∴EF＝GF，(方法一)(如圖①)∴ED＝EF＝GD＝GF，∴四邊形DEFG為菱形．(方法二)(如圖①)∴ED＝GF.又∵ED∥GF，∴四邊形DEFG為平行四邊形．又∵EF＝GF，∴?DEFG為菱形．(方法三)連接DF交AE于點(diǎn)O(如圖②)，則EG⊥DF，DO＝FO.∵EF＝GF，EG⊥DF，∴OG＝OE，∴四邊形DEFG為平行四邊形，∴?DEFG為菱形．(2)設(shè)DE＝*，則FE＝DE＝*，CE＝8－*.在Rt△EFC中，CF2＋CE2＝EF2，即42＋(8－*)2＝*2，解得*＝5，∴CE＝8－*＝3，∴eq\f(CE,DE)＝eq\f(3,5).4．[答案]D5．[答案]A6．[答案]eq\f(51,10)[解析]設(shè)ED＝*cm，則根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，得A′E＝AE＝(5－*)cm，A′D＝AB＝3cm.根據(jù)勾股定理，得ED2＝A′E2＋A′D2，即*2＝(5－*)2＋32，解得*＝eq\f(17,5)，∴S△DEF＝eq\f(1,2)×eq\f(17,5)×3＝eq\f(51,10)(cm2)．7．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.由折疊的性質(zhì)，可得∠AFE＝∠CFE，AF＝CF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE，∴AF＝CF＝AE.又∵AD′＝CD，∠D′＝∠D，D′E＝DE，∴△AD′E≌△CDE，∴AE＝CE，∴AF＝CF＝AE＝CE，∴四邊形AFCE為菱形．(2)a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系為a2＝b2＋c2.理由如下：由(1)知CE＝AE.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.∵AE＝a，ED＝b，DC＝c，∴CE＝AE＝a.在Rt△DCE中，CE2＝ED2＋DC2，即a2＝b2＋c2.8．[答案]C9．[答案]A10．[答案]eq\r(3)[解析]由折疊可知△CEF≌△CEB，∴FC＝BC＝3，∠ECF＝∠ECB.由P，Q分別是矩形ABCD的邊AD，BC的中點(diǎn)，得∠FQC＝90°.∵QC＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)FC，∴∠CFQ＝30°，∴∠FCQ＝60°，∴∠ECB＝∠ECF＝∠CFQ＝30°，∴FG＝CG＝eq\r(3).11．解：(1)證明：在矩形ABCD中，AB∥DC.∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE.又由翻折知：EC⊥BP，EP＝EB＝AE，∴∠EAP＝∠EPA，∠EPB＝∠EBP.在△ABP中，∠EAP＋∠EPA＋∠EPB＋∠EBP＝180°，∴∠EPA＋∠EPB＝∠APB＝90°，∴EC∥AF，∴四邊形AECF為平行四邊形．(2)證明：∵△AEP是等邊三角形，∴AP＝EP＝AE，∠PAB＝∠AEP＝∠APE＝60°，∴∠PEC＝∠BEC＝60°.由折疊的性質(zhì)，得∠EPC＝∠EBC＝90°.由(1)知∠APB＝90°，∴∠APB＝∠EPC，∴△APB≌△EPC.(3)∵AB＝6，BC＝4，E是AB邊的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝eq\f(1,2)AB＝3.在Rt△BEC中，EC＝eq\r(BE2＋BC2)＝5，∵四邊形AECF為平行四邊形，∴AF＝EC＝5.如圖，設(shè)CE與BP交于點(diǎn)H.∵BE·BC＝EC·BH，∴BH＝eq\f(12,5)，∴PH＝BH＝eq\f(12,5)，∴BP＝eq\f(24,5).在Rt△BPA中，AP＝eq\r(AB2－BP2)＝eq\f(18,5)，∴PF＝eq\f(7,5).過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AF交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∴CG＝PH＝eq\f(12,5)，∴△CPF的面積＝eq\f(1,2)PF·CG＝eq\f(1,2)×eq\f(7,5)×eq\f(12,5)＝eq\f(42,25).[點(diǎn)評(píng)](1)抓住翻折圖形的特點(diǎn)：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．進(jìn)而抓住AE＝BE＝PE的圖形特點(diǎn)——A，P，B三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形．(2)本問(wèn)考察等邊三角形的性質(zhì)、三角形角和、全等三角形的判定等知識(shí)．(3)本問(wèn)考察了平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理等知識(shí)．12．[解析]C設(shè)點(diǎn)A，B折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，∵∠HEM＝∠HEA，∠FEB＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝eq\f(1,2)(∠AEM＋∠BEM)＝eq\f(1,2)×180°＝90°.同理，∠EHG＝∠HGF＝90°，∴四邊形EFGH為矩形，∴EF＝HG.∵AD∥BC，∴∠DHF＝∠HFB，∴∠DHG＝∠BFE，∴Rt△BEF≌Rt△DGH，∴BF＝HD.∵HA＝HM，BF＝MF，∴HD＝MF，∴AD＝HA＋HD＝HM＋MF＝HF＝eq\r(EH2＋EF2)＝eq\r(122＋162)＝20(cm)．應(yīng)選C.13．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.又由折疊的性質(zhì)，知∠ABE＝∠EBD，∠CDF＝∠FDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF.又∵ED∥BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．(2)∵四邊形BFDE是菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°.∵∠A＝90°，AB＝2，∴AE＝eq\f(2\r(3),3)，BF＝BE＝2AE＝eq\f(4\r(3),3)，∴菱形BFDE的面積為eq\f(4\r(3),3)×2＝eq\f(8\r(3),3).14．解：(1)證明：當(dāng)DE是折痕時(shí)，DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC＝∠AED，∴AD＝AE.當(dāng)EF是折痕時(shí)，AE＝EG，∴AD＝EG.當(dāng)CE是折痕時(shí)，CH＝BC.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∴E