湖北省隨州市2023年中考數(shù)學(xué)試卷

湖北省隨州市2023年中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的）1．實數(shù)﹣2023的絕對值是（）A．2023 B．﹣2023 C．12023 D．2．如圖，直線l1∥l2，直線l與l1、lA．30° B．60° C．120° D．150° 第2題圖 第3題圖3．如圖是一個放在水平桌面上的圓柱體，該幾何體的三視圖中完全相同的是（）A．主視圖和俯視圖 B．左視圖和俯視圖 C．主視圖和左視圖 D．三個視圖均相同4．某班在開展勞動教育課程調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，第一小組6名同學(xué)每周做家務(wù)的天數(shù)依次為3，7，5，6，5，4（單位：天），則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A．5和5 B．5和4 C．5和6 D．6和55．甲、乙兩個工程隊共同修一條道路，其中甲工程隊需要修9千米，乙工程隊需要修12千米．已知乙工程隊每個月比甲工程隊多修1千米，最終用的時間比甲工程隊少半個月．若設(shè)甲工程隊每個月修x千米，則可列出方程為（）A．9x?12x+1=12 B．12x+1?96．甲、乙兩車沿同一路線從A城出發(fā)前往B城，在整個行程中，汽車離開A城的距離y與時刻t的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，關(guān)于下列結(jié)論：①A，B兩城相距300km；②甲車的平均速度是60km/h，乙車的平均速度是100km/h；③乙車先出發(fā)，先到達B城；④甲車在9：30追上乙車．正確的有（）A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 第6題圖 第7題圖7．如圖，在平行四邊形ABCD中，分別以B，D為圓心，大于12BD的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，過M，N兩點作直線交BD于點O，交A．AE=CF B．DE=BF C．OE=OF D．DE=DC8．已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，則當(dāng)電阻為6Ω時，電流為()A．3A B．4A C．6A D．8A 第8題圖 第9題圖9．設(shè)有邊長分別為a和b(a>b)的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為a+b的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個長為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為()A．6 B．7 C．8 D．910．如圖，已知開口向下的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(①abc<0；②a?b+c>0；③方程cx2+bx+a=0④拋物線上有兩點P(x1，y1)和Q(x A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分．只需要將結(jié)果直接填寫在答題卡對應(yīng)題號處的橫線上）11．計算：(?2)12．如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=60°，則∠ADC的度數(shù)為． 第12題圖 第14題圖13．已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，則x1＋x2﹣x1x2的值等于．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D為AC上一點，若BD是∠ABC的角平分線，則AD=．15．某天老師給同學(xué)們出了一道趣味數(shù)學(xué)題：設(shè)有編號為1-100的100盞燈，分別對應(yīng)著編號為1-100的100個開關(guān)，燈分為“亮”和“不亮”兩種狀態(tài)，每按一次開關(guān)改變一次相對應(yīng)編號的燈的狀態(tài)，所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”．現(xiàn)有100個人，第1個人把所有編號是1的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第2個人把所有編號是2的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第3個人把所有編號是3的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，……，第100個人把所有編號是100的整數(shù)倍的開關(guān)按一次．問最終狀態(tài)為“亮”的燈共有多少盞？幾位同學(xué)對該問題展開了討論：甲：應(yīng)分析每個開關(guān)被按的次數(shù)找出規(guī)律：乙：1號開關(guān)只被第1個人按了1次，2號開關(guān)被第1個人和第2個人共按了2次，3號開關(guān)被第1個人和第3個人共按了2次，……丙：只有按了奇數(shù)次的開關(guān)所對應(yīng)的燈最終是“亮”的狀態(tài)．根據(jù)以上同學(xué)的思維過程，可以得出最終狀態(tài)為“亮”的燈共有盞．16．如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，M是邊AB上一動點（不含端點），將△ADM沿直線DM對折，得到△NDM．當(dāng)射線CN交線段AB于點P時，連接DP，則△CDP的面積為；DP的最大值為．三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、文字說明或證明過程）17．先化簡，再求值：4x2?418．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）若BC=3，DC=2，求四邊形OCED的面積．19．中學(xué)生心理健康受到社會的廣泛關(guān)注，某校開展心理健康教育專題講座，就學(xué)生對心理健康知識的了解程度，采用隨機抽樣調(diào)查的方式，根據(jù)收集到的信息進行統(tǒng)計，繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息回答下列問題：（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有人，條形統(tǒng)計圖中m的值為，扇形統(tǒng)計圖中“非常了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為；（2）若該校共有學(xué)生800人，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，可以估計出該校學(xué)生中對心理健康知識“不了解”的總?cè)藬?shù)為人；（3）若某班要從對心理健康知識達到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中隨機抽取2人參加心理健康知識競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到2名女生的概率．20．某校學(xué)生開展綜合實踐活動，測量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡長CD=10米，坡角α=30°，小華在C處測得建筑物頂端A的仰角為60°，在D處測得建筑物頂端A的仰角為30°．（已知點A，B，C，D在同一平面內(nèi)，B，C在同一水平線上）（1）求點D到地面BC的距離；（2）求該建筑物的高度AB．21．如圖，AB是⊙O的直徑，點E，C在⊙O上，點C是BE的中點，AE垂直于過C點的直線DC，垂足為D，AB的延長線交直線DC于點F．（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）若AE=2，sin∠AFD=13，①求⊙O的半徑；②22．為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，增加村民收入，某村委會干部帶領(lǐng)村民在網(wǎng)上直播推銷農(nóng)產(chǎn)品，在試銷售的30天中，第x天（1≤x≤30且x為整數(shù)）的售價p（元/千克）與x的函數(shù)關(guān)系式p=mx+n(1≤x<20)30(20≤x≤30)（且x為整數(shù)），銷量q（千克）與x的函數(shù)關(guān)系式為（1）m=，n=；（2）求第x天的銷售額W元與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在試銷售的30天中，銷售額超過1000元的共有多少天？23．1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，如圖1，將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P由PC=P′C，∠PCP′=60°，可知△PCP′為由可知，當(dāng)B，P，P′，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A′B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有已知當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費馬點”為點．（2）如圖4，在△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點P為△ABC的“費馬點”，求PA+PB+PC的值；（3）如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/km24．如圖1，平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c過點A(?1，0)，B(2，0)和C(0，2（1）直接寫出拋物線和直線BC的解析式；（2）如圖2，連接OM，當(dāng)△OCM為等腰三角形時，求m的值；（3）當(dāng)P點在運動過程中，在y軸上是否存在點Q，使得以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與以B，C，N為頂點的三角形相似（其中點P與點C相對應(yīng)），若存在，直接寫出點P和點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：因為負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，所以，﹣2023的絕對值等于2023．故答案為：A．【分析】根據(jù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)求解即可。2．【答案】C【解析】【解答】解：∵l1∥l2，∠1=60°，

∴∠2+∠1=180°，

∴∠2=120°.

故答案為：C.

【分析】兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，據(jù)此計算.3．【答案】C【解析】【解答】解：該幾何體的主視圖與左視圖均為矩形，俯視圖為圓，故主視圖和左視圖完全相同.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)三視圖的概念分別確定出圓柱的主視圖、左視圖、俯視圖，然后進行判斷.4．【答案】A【解析】【解答】解：將數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排列為：3、4、5、5、6、7，

∴中位數(shù)為(5+5)÷2=5，眾數(shù)為5.

故答案為：A.

【分析】將數(shù)據(jù)按照由小到大的順序進行排列，求出中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為中位數(shù)，找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)即為眾數(shù).5．【答案】A【解析】【解答】解：設(shè)甲工程隊每個月修x千米，則乙工程隊每個月修(x+1)千米，甲所用的時間為9x，乙所用的時間為12x+1.

∵乙最終用的時間比甲工程隊少半個月，

∴9x-12x+1=126．【答案】D【解析】【解答】解：由圖象可得：A、B兩城相距300km，乙車先出發(fā)，甲車先到達B城，故①正確，③錯誤；

甲車的速度為300÷3=100km/h，乙車的速度為300÷5=60km/h，故②錯誤；

設(shè)甲車出發(fā)后xh，追上乙車，則100x=60(x+1)，

解得x=1.5，

∴甲車出發(fā)1.5h追上乙車.

∵甲車8：00出發(fā)，

∴甲車在9：30追上乙車，故④正確.

故答案為：D.

【分析】由圖象可得：A、B兩城相距300km，乙車先出發(fā)，甲車先到達B城，據(jù)此判斷①③；由圖象可得甲車3小時行駛了300km，乙車5h行駛了300km，利用路程÷時間=速度求出甲、乙的速度，據(jù)此判斷②；設(shè)甲車出發(fā)后xh，追上乙車，根據(jù)甲車xh的路程=乙車(x+1)h的路程可得x的值，然后結(jié)合出發(fā)的時間即可判斷④.7．【答案】D【解析】【解答】解：由作圖可得：EF垂直平分BD，

∴BO=DO.

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠EDO=∠FBO.

∵∠BOF=∠DOE，

∴△BOF≌△DOE（ASA），

∴BF=DE，OE=OF，

∴AD-DE=BC-BF，即AE=CF.

故答案為：D.

【分析】由作圖可得：EF垂直平分BD，則BO=DO，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD=BC，AD∥BC，由平行線的性質(zhì)可得∠EDO=∠FBO，利用ASA證明△BOF≌△DOE，得到BF=DE，OE=OF，據(jù)此判斷.8．【答案】B【解析】【解答】解：∵電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)是反比例函數(shù)關(guān)系，

∴可設(shè)I=kR，

將（8，3）代入可得k=24，

∴I=24R.

令R=6，得I=4.

故答案為：B.

【分析】由題意可設(shè)I=9．【答案】C【解析】【解答】解：∵(3a+b)(2a+2b)=6a2+8ab+2b2，

∴需要C類紙片的張數(shù)為8.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)多項式與多項式的乘法法則可得(3a+b)(2a+2b)=6a2+8ab+2b2，據(jù)此可得需要C類紙片的張數(shù).10．【答案】B【解析】【解答】解：∵拋物線圖象開口向下，對稱軸為直線x=-b2a=2，與y軸的交點在正半軸，

∴a<0，b=-4a>0，c>0，

∴abc<0，故①正確；

∵對稱軸為直線x=2，與x軸的一個交點為（6，0），

∴與x軸的另一個交點為（-2，0），

∴當(dāng)x=-1時，y>0，

∴a-b+c>0，故②正確；

由cx2+bx+a=0可得x1+x2=-bc，x1x2=ac.

∵方程ax2+bx+c=0的兩個根分別為-2、6，

∴-ba=4，ca=12，

∴-bc=-13，ac=112.

若方程cx2+bx+a=0的兩根為x1=12，x2=-16，則x1+x2=-bc=13，x1x2=ac=-112，故③錯誤；

若x1<2<x2且x1+x2>4，則P（x1，y1）到對稱軸的距離小于Q（x2，y2）到對稱軸的距離，

∴y1>y2，故④錯誤.

故答案為：B.

【分析】由圖象可得：拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-b2a=2，與y軸的交點在正半軸，據(jù)此可得a、b、c的符號，進而判斷①；由對稱性可得與x軸的另一個交點為（-2，0），則當(dāng)x=-1時，y>0，據(jù)此判斷②；根據(jù)拋物線與x軸的交點可得方程ax2+bx+c=0的兩個根分別為-2、6，則-ba=4，ca=12，對于cx11．【答案】0【解析】【解答】解：原式=4-4=0.

故答案為：0.

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則以及乘法法則可得原式=4-4，然后由有理數(shù)的減法法則進行計算.12．【答案】30°【解析】【解答】解：∵OA⊥BC，

∴弧AC=弧AB，

∴∠ADC=12∠AOB=12×60°=30°.

故答案為：30°.

【分析】由垂徑定理結(jié)合弦、弧的關(guān)系可得弧AC=弧AB，根據(jù)圓周角定理可得∠ADC=13．【答案】2【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-3x+1=0有兩個實數(shù)根x1，x2，

∴x1+x2=3，x1x2=1，

∴x1+x2-x1x2=3-1=2.

故答案為：2.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=-ba=3，x1x2=14．【答案】5【解析】【解答】解：過D作DE⊥AB于點E，

∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴CD=DE.

∵CD=DE，BD=BD，

∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），

∴BC=BE=6.

∵∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∴AE=AB-BE=10-6=4.

設(shè)CD=DE=x，則AD=8-x，

∵AD2=DE2+AE2，

∴(8-x)2=x2+42，

解得x=3，

∴AD=AC-CD=8-3=5.

故答案為：5.

【分析】過D作DE⊥AB于點E，由角平分線的性質(zhì)可得CD=DE，利用HL證明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC=BE=6，由勾股定理可得AB=10，則AE=AB-BE=4，設(shè)CD=DE=x，則AD=8-x，然后在Rt△ADE中，由勾股定理可得x的值，進而可得AD的值.15．【答案】10【解析】【解答】解：∵1號開關(guān)被按了1次，2號開關(guān)被按了2次，3號開關(guān)被按了3次，4號開關(guān)被按了3次，5號開關(guān)被按了2次，6號開關(guān)被按了4次，7號開關(guān)被按了2次，8號開關(guān)被按了4次，9號開關(guān)被按了3次，……

∴n號開關(guān)被按的次數(shù)等于n的約數(shù)的個數(shù)，

∴約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，則n一定是平方數(shù).

∵100=102，

∴100以內(nèi)共有10個平方數(shù)，

∴最終狀態(tài)為“亮”的燈共有10盞.

故答案為：10.

【分析】由題意可得：n號開關(guān)被按的次數(shù)等于n的約數(shù)的個數(shù)，則約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，n一定是平方數(shù)，據(jù)此解答.16．【答案】10；2【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB=CD=5，

∴S△CDP=12×5×4=10.

當(dāng)點P和點M重合時，DP的值最大，

設(shè)AP=x，則PB=5-x，

由折疊可得AD=DN=4，∠A=∠DNC=90°，AP=PN=x.

∵DN2+CN2=CD2，

∴42+CN2=52，

∴CN=3，

∴PC=3+x.

∵PB2+BC2=PC2，

∴(5-x)2+42=(x+3)2，

解得x=2，

∴DP=AP2+AD2=22+4217．【答案】解：4==2當(dāng)x=1時，原式=2【解析】【分析】對第一個分式的分母利用平方差公式進行分解，然后將除法化為乘法，再約分即可對原式進行化簡，接下來將x=1代入進行計算.18．【答案】（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，又∵矩形ABCD中，OC=OD，∴平行四邊形OCED是菱形；（2）解：矩形ABCD的面積為BC?DC=3×2=6，∴△OCD的面積為14∴菱形OCED的面積為2×3【解析】【分析】（1）由題意可得四邊形OCED為平行四邊形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OC=OD，然后利用菱形的判定定理進行證明；

（2）首先求出矩形ABCD的面積，然后求出△BCD的面積，結(jié)合點O為BD的中點可得△COD的面積，進而可得菱形OCED的面積.19．【答案】（1）80；16；90°（2）40（3）解：由題意列樹狀圖：由樹狀圖可知，所有等可能的結(jié)果有12種，恰好抽到2名女生的結(jié)果有2種，∴恰好抽到2名女生的概率為212【解析】【解答】解：（1）40÷50%=80，m=80-20-40-4=16，20÷80×100%×360°=90°.

故答案為：80、16、90°.

（2）4÷80×800=40.

故答案為：40.

【分析】（1）利用基本了解的人數(shù)除以所占的比例可得總?cè)藬?shù)，進而可求出m的值，利用非常了解的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，然后乘以360°可得所占扇形圓心角的度數(shù)；

（2）利用不了解的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，然后乘以800即可；

（3）畫出樹狀圖，找出總情況數(shù)以及恰好抽到2名女生的情況數(shù)，然后利用概率公式進行計算.20．【答案】（1）解：過點D作DE⊥BC，由題意可得∠DCE=30°，∴在Rt△CDE中，DE=1即點D到地面BC的距離為5米；（2）解：如圖，由題意可得∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠ACD=90°，又∵MN∥BE，∴∠MDC=∠α=30°，∴∠ADC=60°∴在Rt△ACD中，ACCD=tan解得AC=103在Rt△ABC中，ABAC=sin解得AB=15，答：該建筑物的高度AB為15米．【解析】【分析】（1）過D作DE⊥BC，由題意可得∠DCE=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)就可求出DE的值，即為點D到BC的距離；

（2）由題意可得∠DCE=30°，∠ACB=60°，則∠ACD=90°，由平行線的性質(zhì)可得∠MDC=∠α=30°，則∠ADC=60°，利用三角函數(shù)的概念可得AC、AB的值，據(jù)此解答.21．【答案】（1）證明：如圖，連接OC，∵點C是BE的中點，∴CE∴∠CAE=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠CAE=∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半徑，∴DC是⊙O的切線；（2）解：①如圖，連接BE，∵AB是直徑，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AD，∵AD⊥DF，∴BE∥DF，∴∠AFD=∠ABE，∵sin∴sin∵AE=2，∴AB=6，∴⊙O的半徑為3；②由（1）可知，OC⊥DF，∴sin∵OC=3，OF=OB+BF=3+BF，∴3∴BF=6，∴AF=AB+BF=6+6=12，∵AD⊥DF，∴sin∴AD=4，∵AE=2，∴DE=AD?AE=4?2=2．【解析】【分析】（1）連接OC，由中點的概念以及圓周角定理可得∠CAE=∠CAB，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAB=∠ACO，則∠CAE=∠ACO，推出AD∥OC，結(jié)合AD⊥DC可得OC⊥DC，據(jù)此證明；

（2）①連接BE，由圓周角定理可得∠AEB=90°，進而推出BE∥DF，由平行線的性質(zhì)可得∠AFD=∠ABE，結(jié)合三角函數(shù)的概念可得AB的值，進而可得半徑；②由（1）可知OC⊥DF，結(jié)合三角函數(shù)的概念可得BF，然后求出AF，利用∠AFD正弦函數(shù)的概念可得AD的值，接下來根據(jù)DE=AD-AE進行計算.22．【答案】（1）-2；60（2）解：由題意當(dāng)1≤x<20時，W=pq=(?2x+60)(x+10)=?2x當(dāng)20≤x≤30時，W=30q=30(x+10)=30x+300，（3）解：由題意當(dāng)1≤x<20時，W=?2x∵?2<0，∴當(dāng)x=10時，W最大為800，當(dāng)20≤x≤30時，W=30x+300，由30x+300>1000時，解得x>231又∵x為整數(shù)，且30>0，∴當(dāng)20≤x≤30時，W隨x的增大而增大，∴第24至30天，銷售額超過1000元，共7天．【解析】【解答】解：（1）將x=5、p=50；x=10、p=40代入p=mx+n中可得50=5m+n40=10m+n

解得m=-2n=60.

故答案為：-2、60.

【分析】（1）將x=5、p=50；x=10、p=40代入p=mx+n中可得關(guān)于m、n的方程組，求解可得m、n的值；

（2）根據(jù)售價×銷售量=銷售額可得W與x的關(guān)系式；23．【答案】（1）等邊；兩點之間線段最短；120°；A（2）解：將△APC點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P由（1）可知當(dāng)B，P，P′，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，最小值為A∵∠ACP=∠A∴∠ACP+∠BCP=∠A又∵∠PC∴∠BCA由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A∴A′∴PA+PB+PC最小值為5，（3）2【解析】【解答】解：（1）∵PC=P′C，∠PCP′=60°，

∴△PCP′為等邊三角形，

∴PP′=PC，∠P′PC=∠PP′C=60°，

∴PA+PB+PC=PA′+PB+PP′≥A′B，故當(dāng)B、P、P′、A共線時，取得最小值A(chǔ)′B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，

∴∠BPC+∠P′PC=180°，∠A′P′C+∠PP′C=180°，

∴∠BPC=120°，∠A′P′C=120°，

∴∠APC=∠AP′C=120°，

∴∠APB=360°-∠APC-∠BPC=120°，

∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°.

∵∠BAC≥120°，

∴BC>AC，BC>AB，

∴BC+AB>AC+AB，BC+AC>AB+AC，

∴三個頂點中，頂點A到另外兩個頂點的距離和最小，

∴該三角形的“費馬點”為點A.

（3）∵由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/km，

∴總成本=a(PA+PB+2PC).

將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′P′C，連接PP′、A′B，則P′C=PC，∠PCP′=∠ACA′=90°，P′A′=PA，A′C=AC=4，

∴PP′=2PC，

∴PA+PB+2PC=P′A′+PB+PP′，故當(dāng)B、P、P′、A共線時，取得最小值，為A′B，

過A′作A′H⊥BC，則∠A′CH=3