2023學年完整公開課版函數(shù)奇偶性

1.3.2函數(shù)的奇偶性觀察下圖，思考并討論以下問題：(1)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x|X…-3-2-10123…f(x)=x2…9410149…X…-3-2-10123…f(x)=|x|…3210123…(2)相應(yīng)的兩個函數(shù)值對應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特征的？

實際上，對于R內(nèi)任意的一個x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),這時我們稱函數(shù)y=x2為偶函數(shù).1．偶函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．

例如，函數(shù)都是偶函數(shù)，它們的圖象分別如下圖(1)、(2)所示.

觀察函數(shù)f(x)=x和f(x)=1/x的圖象(下圖)，你能發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)

實際上，對于R內(nèi)任意的一個x,都有f(-x)=-x=-f(x),這時我們稱函數(shù)y=x為奇函數(shù).f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)2．奇函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=－

f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．

4、如果一個函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性.1、函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；2、由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即奇偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱）．注意：

3、奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立，即

f(x)為奇函數(shù)f(-x)=-f(x)

f(x)為偶函數(shù)f(-x)=f(x)例5、判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)解：定義域為R ∵f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函數(shù)(2)解：定義域為R f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)奇函數(shù)(3)解：定義域為{x|x≠0} ∵f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)奇函數(shù)(4)解：定義域為{x|x≠0} ∵f(-x)=1/(-x)2=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函數(shù)3.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：(1)、先求定義域，看是否關(guān)于原點對稱；(2)、再判斷f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.課堂練習判斷下列函數(shù)的奇偶性：3.奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì)1、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱. 反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么就稱這個函數(shù)為奇函數(shù).2、偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱. 反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么就稱這個函數(shù)為偶函數(shù).3、奇偶函數(shù)單調(diào)性：奇同偶異.例3、已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，它在y軸右邊的圖象如下圖，畫出在y軸左邊的圖象.xy0解：相等xy0相等本課小結(jié)對于f(x)定義域內(nèi)的任意一個x,f(－x)=-f(x)f(x)為奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱

f(－