拉普拉斯變換在常微分方程中的應(yīng)用

新疆師范大學(xué)數(shù)理信息學(xué)院2009屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文PAGEPAGE3畢業(yè)論文信息隱藏與數(shù)字水印技術(shù)信息隱藏與數(shù)字水印技術(shù)題目：拉普拉斯變換在常微分方程中的應(yīng)用姓名：古麗吉米來木.阿布迪尼亞孜專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)：2004-5班 院（系）：數(shù)理信息學(xué)院指導(dǎo)教師：肖開提.卡德爾新疆師范大學(xué)拉普拉斯變換在常微分方程中的應(yīng)用新疆師范大學(xué)數(shù)理信息學(xué)院數(shù)學(xué)04-5班作者姓名：古麗吉米來木.阿布迪尼亞孜指導(dǎo)教師：肖開提.卡德爾200

拉普拉斯變換在常微分方程中的應(yīng)用古麗吉米來木.阿布迪尼亞孜新疆師范大學(xué)數(shù)理信息學(xué)院數(shù)學(xué)04-5班摘要：本論文首先討論了拉普拉斯變換的概念，詳細(xì)地闡述了拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，利用拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，導(dǎo)出常系數(shù)線性微分方程初值問題的求解方法，并解決有關(guān)的實(shí)際問題。關(guān)鍵詞：拉普拉斯變換;拉普拉斯變換性質(zhì);拉普拉斯逆變換

拉普拉斯變換在常微分方程中的應(yīng)用1、拉普拉斯變換的定義定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果含參變量的無窮積分對(duì)的某一取值范圍是收斂的.則稱為函數(shù)的拉普拉斯變換，稱為原函數(shù)，稱為象函數(shù)，并記為.我們引進(jìn)拉普拉斯變換的目的，主要在于直接計(jì)算初值問題的解。從定義出發(fā)，直接可算出一些特殊函數(shù)的拉普拉斯變換.例如=，=，=，==.定理1如果函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：（1）在內(nèi)逐段連續(xù)（2）存在數(shù),使得，則對(duì)于，拉普拉斯變換是存在的.證:當(dāng)時(shí)，有.2、拉普拉斯變換的基本性質(zhì)和證明為了利用拉普拉斯變換求解初值問題，我們還要證明以下幾個(gè)性質(zhì).定理2（線性性質(zhì)）設(shè)函數(shù)滿足定理1的條件，則在它們象函數(shù)定義域的共同部分上有其中和是常數(shù).證明：+

.例1求.解：由于；故有=根據(jù)定理2，有，，從而=.定理3（原函數(shù)的微分性質(zhì)）如果均滿足定理1的條件，則或更一般地有用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)有==.設(shè)時(shí),有.當(dāng)時(shí)，有=.例2證明().證明：由于，故有,,,,取，得到，因此故有().定理4（象函數(shù)的微分性質(zhì)）如果，則.或更一般地，有.證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，=.當(dāng)時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)，等式都成立，即.當(dāng)時(shí)，有=.例3求函數(shù)的拉普拉斯變換.解：根據(jù)定理4，有,.定理5如果，則.證明：根據(jù)定義，有.例4證明.證明：由定理5，有，利用定理4，有，于是.類似的，有.為了使用方便起見，現(xiàn)將在求解常系數(shù)線性微分方程的初值問題時(shí)，經(jīng)常碰到的拉普拉斯變換列成下表.3、拉普拉斯變換在常微分方程的應(yīng)用首先介紹拉普拉斯逆變換，然后用拉普拉斯變換將常微分方程化為代數(shù)方程，求代數(shù)方程的解，最后通過拉普拉斯逆變換求解常系數(shù)線性微分方程的解。定義2令，使得則稱是的逆變換.例5求.解：.下面我們解釋利用拉普拉斯變換求解常系數(shù)線性微分方程的解法.設(shè)階常系數(shù)線性微分方程的初值問題為（2）（3）對(duì)（2）兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并利用定理2得到（4）由定理3，有=（5）令，，將（5）代入（4），得到（6）由代數(shù)方程（6）解出，于是該初值問題的解為.下面舉幾個(gè)用這種方法解方程的例子.例6求方程滿足初值問題的解.解：對(duì)方程兩邊施行拉普拉斯變換，得到方程的解的象函數(shù)所應(yīng)滿足的方程，由此得到.直接查拉普拉斯變換表，可得和的原函數(shù)分別為和，因此的原函數(shù)為，這就是所要求的解.例7求方程的滿足初值問題條件的解.解：對(duì)方程兩邊施行拉普拉斯變換，得到方程的解的象函數(shù)所應(yīng)滿足的方程，由此得到，把上式右邊分解成部分分式，對(duì)上式右邊各項(xiàng)分別求出（查表）其原函數(shù)，則它們的和就是的原函數(shù)，這就是所要求的解.例8求解方程，其中是非零常數(shù).解：對(duì)方程兩邊施行拉普拉斯變換，得到，可得.把上式右邊第一項(xiàng)分解為部分分式，于是由拉普拉斯變換表可得，這就是所