2導(dǎo)數(shù)構(gòu)造秒解大法-解析版

第2講導(dǎo)數(shù)構(gòu)造秒解大法知識與方法很多選擇題的壓軸題，會以導(dǎo)數(shù)的構(gòu)造出題，往往很多學(xué)生連如何構(gòu)造原函數(shù)都不會，更加不用說下一步了．這個時候，如果你會導(dǎo)數(shù)構(gòu)造秒解大法，也許會覺得思路又開了一扇窗．導(dǎo)數(shù)構(gòu)造秒解大法，實際上就是不構(gòu)造，或者說跳過構(gòu)造，直接根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號“猜測”函數(shù)單調(diào)性．第一步，看后面的符號，如果是“＞”，則默認(rèn)構(gòu)造函數(shù)為增，如果是“＜”則默認(rèn)構(gòu)造函數(shù)為減．第二步，看括號中的常數(shù)，題目往往給一個常數(shù)，其對應(yīng)的函數(shù)值也會給出，將這個常數(shù)代入問題，肯定會剛剛好符合．第三步，直接得出答案．如果后面的符號是“＞”，則答案與問題同號，而且不等式另一側(cè)肯定是常數(shù)，如果后面的符號是“＜”，則答案與問題異號，同樣，不等式另一側(cè)肯定是常數(shù)．如果有些題目沒有給常數(shù)，而是直接求不等式解，例如求的解，則直接根據(jù)我們“猜測”的單調(diào)性，比較括號內(nèi)的大小即可，不用管函數(shù)前面的系數(shù)．總結(jié)一下此方法的優(yōu)缺點，優(yōu)點是快和簡單，很多學(xué)生從來不敢嘗試的題目，幾分鐘就可以明白此方法，弄懂之后就可以5秒一道壓軸題了．缺點是此方法有一定的局限性，遇到定義域為負(fù)數(shù)，或涉及函數(shù)奇偶性，又或選項中有好幾個都符合的時候，就有可能失效．下面我們就一起來看看幾道題，加深一下對此方法的了解．典型例題【例1】定義在R上的函數(shù)滿足：，，則不等式（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B．C． D．【解析】【解法1】設(shè)，則，∵，∴，∴，∴在定義域上單調(diào)遞增，∵，∴，又∵，∴∴．【解法2】，這里是“＞”，所以答案與同號，帶上括號內(nèi)常數(shù)0，【答案】A．【例2】定義在上的函數(shù)滿足：，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【解析】【解法1】設(shè)，則，∵，∴，即當(dāng)x>0時，函數(shù)單調(diào)遞減，∵，∴，則不等式等價為，即，則不等式的解集為．【解法2】，先移項，，這里是“＜”，所以答案與異號，帶上括號中的常數(shù)2，【答案】B．【例3】已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【解析】【解法1】設(shè)，則，∵，∴，即函數(shù)單調(diào)遞增．∵，∴，則不等式等價為，即，∵函數(shù)單調(diào)遞增．∴，∴不等式的解集為．【解法2】，先移項，，這里是“＞”，所以答案與同號，帶上括號中的常數(shù)0，【答案】B．【例4】函數(shù)的定義域為R，，對任意，，則的解集為（）A． B． C． D．【解析】【解法1】設(shè)，則，又對任意，，所以，即在R上單調(diào)遞增，則的解集為，即的解集為．【解法2】，這里是“＞”，所以答案與同號，帶上括號中的常數(shù)-1，【答案】A．【例5】已知定義域為，為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【解析】【解法1】設(shè)，則，∴函數(shù)在上是減函數(shù)，∵，，∴，∴，∴，∴，解得．【解法2】，先移項，，這里是“＜”，所以構(gòu)造原函數(shù)為遞減，只需要比較括號內(nèi)的大小即可，即．再加上定義域的限定，得到3個不等式，完美秒解解得．【答案】D．【例6】已知函數(shù)對任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【解析】【解法1】構(gòu)造函數(shù)，則，∵滿足，∴，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，，，，即，，，，即，，，，【解法2】，此時的符號是“＞”，∴需要構(gòu)造的原函數(shù)為增函數(shù)，只需要比較括號內(nèi)的大小即可．∵，【答案】A．【例7】已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且對任意，均有，則以下說法正確的是（）A．B．C．D．【解析】【解法1】設(shè)，則，因為，所以，所以為減函數(shù)，因為，，所以，，即，所以；，即；【解法2】，，此時的符號是“＜”，∴需要構(gòu)造的原函數(shù)為減函數(shù)，只需要比較括號內(nèi)的大小即可．∵，∴，∵，∴．【答案】C．【例】8．已知函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【解析】【解法1】構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，∵，∴，即函數(shù)單調(diào)遞減，∵，∴若，即，則，則不等式等價為，即，則，則或，解得或，故不等式的解集為．【解法2】，∴構(gòu)造原函數(shù)單調(diào)遞減，，則或，解得或，故不等式的解集為．【答案】B．【例9】設(shè)為R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【解析】【解法1】根據(jù)題意，設(shè)，其導(dǎo)數(shù)，又由當(dāng)時，，則有，即函數(shù)在上為減函數(shù)，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則，即函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在上為減函數(shù)，又由，則，則，則有在上，在上，在上，在上．若，即，則有，則不等式的解集為．【解法2】當(dāng)時，，符號為“＜”，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減．如圖，【答案】C．【例10】已知函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時滿足，則（）A． B．C． D．【解析】【解法1】由，得，設(shè)，則，∵，∴當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增．∵是偶函數(shù)，∴關(guān)于對稱，即關(guān)于對稱，即，故D錯誤，，，則，即，即，故B錯誤，，即，即，則，即，故C錯誤，【解法2】是偶函數(shù)，∴關(guān)于對稱，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，所以自變量越接近2，函數(shù)值越小，【答案】A．【例11】對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足且，則解集是（）A． B．C． D．【解析】令，則，∴函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，又，∴．則當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；∴解集是．【答案】C．【例12】設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,且有,則不等式的解集為（）A. B. C. D.【解析】由,得:,即,設(shè),則即,則當(dāng)時,得0,即在上是減函數(shù),∴,即不等式等價為在是減函數(shù),∴由得,,即,【答案】C.【例14】若,則實數(shù)的取值范圍為()A.B.C.D.【解析】令,則,∵函數(shù)為上的偶函數(shù).∵當(dāng)時,都有成立,∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.,即,∴,因此,化為:,解得.【答案】A.強化訓(xùn)練1.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,滿足,且,則不等式的解集為（）A. B. C. D.【解析】【解法1】構(gòu)造函數(shù),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,即在上單調(diào)遞減;又∵,則不等式化為,它等價于,即,即所求不等式的解集為.【解法2】,先移項,,這里是“”,所以答案與異號,帶上括號中的常數(shù)0,【答案】.2.函數(shù)的定義域為,對任意的.都有成立,則不等式的解集為()A. B. C. D.【解析】【解法1】令對任意的.都有成立,∴對任意的在上是減函數(shù),且,故不等式的解集為,【解法2】,這里是“<”,所以答案與異號,帶上括號中的常數(shù),【答案】A.3.函數(shù)的定義域是,對任意,則不等式的解集為()A.B.C.,或D.,或【解析】令,則.∵對任意,∴恒成立,即在上為增函數(shù),又∵,故的解集為,即不等式的解集為.【答案】A.4.已知的定義域為為的導(dǎo)函數(shù),且滿足,則不等式的解集是（）A. B. C. D.【解析】設(shè),則,即當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,,∴,解得:,則不等式的解集為,【答案】D.5.定義在上的函數(shù)是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有成立,則()A. B.C. D.【解析】因為,所以.由,得.即.令,則.所以函數(shù)在上為增函數(shù),對于A，由于,即,化簡即可判斷A錯;對于,由于,即,化簡即可判斷B正確;對于C,由于,即,化簡即可判斷C錯誤;對于D,由于,即,所以,即.故D錯誤.【答案】B.6.定義在上的函數(shù)滿足:恒成立,若,則與的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.與的大小關(guān)系不確定【解析】構(gòu)造函數(shù),則,因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,∵,∴,即,因此:.【答案】A.7.設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),為其導(dǎo)函數(shù).當(dāng)時,,且0,則不等式的解集為()A. B.C. D.【解析】,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.再根據(jù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),可得函數(shù)是上的奇函數(shù),故函數(shù)是上的奇函數(shù),故函數(shù)在,0)上單調(diào)遞增.∵,故函數(shù)的單調(diào)性如右圖所示.由不等式,可得與同時為正數(shù)或同時為負(fù)數(shù),∴,或,故不等式的解集為:.【答案】D.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且(其中是的導(dǎo)函數(shù))恒成立.若,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.【解析】令,則任意的都有成立,∴在上單調(diào)遞增.∴,又∵.而.【答案】A.9.已知定義在上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)記為,若成立,則下列正確的是()A. B.C. D.【解析】時,時,.構(gòu)