4導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式-解析版

第4講導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式知識(shí)與方法導(dǎo)數(shù)與數(shù)列型不等式的交匯問題,主要用到兩個(gè)方面的知識(shí)點(diǎn):第一,學(xué)生要學(xué)會(huì)找到不等式右邊和的通項(xiàng);第二,要學(xué)會(huì)運(yùn)用放縮比較不等式左邊的通項(xiàng)與右邊的通項(xiàng)的大小.我們通過幾道例題來給大家講解.數(shù)列不等式常用通項(xiàng)求法有如下兩種:為通項(xiàng),為前項(xiàng)和為通項(xiàng),為前項(xiàng)積導(dǎo)數(shù)常見放縮技巧: 典型例題【例1】設(shè)函數(shù),其中是的導(dǎo)函數(shù).(1),求的表達(dá)式;（2）若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;（3）設(shè),比較與的大小,并加以證明.【解析】,.綜上,.(2).令,易知,則.當(dāng)時(shí),在上恒成立,∴在上單調(diào)遞增,,滿足條件;當(dāng)時(shí),令,解得,令,解得.于是在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,∴,與題設(shè)矛盾,綜上可知.(3),證明:要證,只需證.在(2)中取,可得,令,則,故有,上述各式相加可得.【例2】已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)且時(shí),證明:.【解析】(1)實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)證明:由(1)知,令,則在上為增函數(shù),,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).要證明,只需證.在中取,有,則;在中取,易知,則.綜上可知成立,則原命題成立.【例3】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求證:.【解析】(1)由于,①當(dāng)時(shí),易知,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),;所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為;②當(dāng)時(shí),同理可知的單調(diào)遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為;(2)證明:要證成立;只須證即證下面證明此式.令此時(shí),所以,由(1)知在上單調(diào)遞減,∴當(dāng)時(shí),即,∴對(duì)一切成立,∵.故結(jié)論成立.強(qiáng)化訓(xùn)練1.已知.(1)若,求在上的最大值與最小值;(2)當(dāng)時(shí),求證：;(3)當(dāng)且時(shí),求證:.【解析】∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∵,∴在上的最大值為,最小值為.（2）證明:函數(shù)的定義域?yàn)?構(gòu)造函數(shù),∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴在處,函數(shù)取得極大值,也就是最大值,∴0.∵構(gòu)造函數(shù),∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,∴在處,函數(shù)取得極小,也就是最小值,∴,∵.(3)證明:∵,由(2)知:,∴.疊加可得.2.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若不等式在區(qū)間上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)求證：.【解析】(1)∵,故其定義域?yàn)?∴,令,解得,令,解得.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）∵,令,令,解得,當(dāng)在(0,內(nèi)變化時(shí),的變化如下表：由表知,當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值,且最大值為,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.(3)證明:由(2)知 3.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)求證:(其中,e是自然數(shù)的底數(shù))【解析】(1)當(dāng)時(shí),,有,由解得,由解得:函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi),即當(dāng),時(shí),不等式恒成立,即恒成立,設(shè),只需即可,.①當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴成立.②當(dāng)時(shí),由,因.若,即時(shí),在區(qū)間上,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,函數(shù)在上無最大值,此時(shí)不滿足;若,即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,同樣函