第二講常用邏輯用語 講義解析版

第二講：常用邏輯用語【考點(diǎn)梳理】1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若，則是的充分條件，是的必要條件是的充分不必要條件且是的必要不充分條件且是的充要條件是的既不充分也不必要條件且2．全稱命題和特稱命題(1)全稱量詞和存在量詞量詞名稱常見量詞符號(hào)表示全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個(gè)等存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有些、某些等(2)全稱命題和特稱命題名稱形式全稱命題特稱命題結(jié)構(gòu)對(duì)中任意一個(gè)，有成立存在中的一個(gè)，使成立簡記否定【典型題型講解】考點(diǎn)一：充分條件與必要條件的判斷【典例例題】例1．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）“”是“點(diǎn)在圓外”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，有，解得∴“”是“點(diǎn)”在圓外”的必要不充分條件.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】1.要明確題中題意，找出條件和結(jié)論.2.充分必要條件在面對(duì)集合問題時(shí)，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.【變式訓(xùn)練】1.已知m，n是兩條不重合的直線，是一個(gè)平面，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由線面垂直的性質(zhì)知，若，，則成立，即充分性成立；根據(jù)線面垂直的定義，必須垂直平面內(nèi)的兩條相交直線，才有，即必要性不成立.故選：A.2.已知且，“函數(shù)為增函數(shù)”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】函數(shù)為增函數(shù),則,此時(shí),故函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí),,,所以,故為增函數(shù).故選:C3.在等比數(shù)列中，已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】∵公比，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴且，∴且，即“”是“”的充分不必要條件．故選：A．考點(diǎn)二：充分條件與必要條件的應(yīng)用【典例例題】例1.“”是“在上恒成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A在上恒成立，即在恒成立，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，所以因?yàn)?，而，所以“”是“在上恒成立”的充分不必要條件.故選：A【方法技巧與總結(jié)】1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含關(guān)系.2.在充分必要條件求解參數(shù)取值范圍時(shí)，要注意端點(diǎn)是否能取到問題，容易出錯(cuò).【變式訓(xùn)練】1.若是成立的一個(gè)充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得，而則，故，故選：D2.（多選）“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】BD由題意，關(guān)于的不等式對(duì)恒成立，則，解得，對(duì)于選項(xiàng)A中，“”是“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的充要條件；對(duì)于選項(xiàng)B中，“”是“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的必要不充分條件；對(duì)于選項(xiàng)C中，“”是“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的充分不必要條件；對(duì)于選項(xiàng)D中，“”是“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”必要不充分條件.故選：BD.3.已知集合，．若“”是“”的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸為，開口向上，所以函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.，由于“”是“”的充分條件，所以，，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：考點(diǎn)三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假【典例例題】例1.已知，下列四個(gè)命題：①，，②，，③，，④，．其中是真命題的有（

）A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【詳解】對(duì)于①，由得：，，，則，①正確；對(duì)于②，，，即，則，②正確；對(duì)于③，函數(shù)在上為減函數(shù)，而，則，即，，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，，即，④錯(cuò)誤，所以所給命題中，真命題的是①②．故選：C【方法技巧與總結(jié)】1.全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要通過漢字意思，又要通過數(shù)學(xué)結(jié)論.2.全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷較為簡單，注意細(xì)節(jié)即可.【變式訓(xùn)練】1．已知命題：存在，使得，命題：對(duì)任意的，都有，命題：存在，使得，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，可知不成立；由輔助角得，所以所以的最大值為5，所以為假.故選：B2．已知函數(shù)和的定義域均為，記的最大值為，的最大值為，則使得“”成立的充要條件為（

）A．，，B．，，C．，，D．，【答案】C【詳解】解：A選項(xiàng)表述的是的最小值大于的最大值；B選項(xiàng)表述的是的最小值大于的最小值；C選項(xiàng)表述的是的最大值大于的最大值成立的充要條件；D選項(xiàng)是成立的充分不必要條件．故選：C3．下列命題中，真命題為（

）A．存在，使得B．直線，平面，平面，則平面C．最小值為4D．，是成立的充分不必要條件【答案】D【詳解】對(duì)于A中，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得恒成立，所以不存在，使得，所以A為假命題；對(duì)于B中，如圖所示，在正方體中，設(shè)平面為平面，平面為平面，直線為直線，直線為直線，此時(shí)滿足，且平面，平面，但平面與平面不垂直，所以C為假命題.對(duì)于C中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，顯然不成立，所以C為假命題對(duì)于D中，由，可得，即充分性成立；反之：例如：，此時(shí)滿足，但不成立，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件，所以D為真命題.故選：D4.（多選題）下列命題中的真命題是（

）A．?x∈R，2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x∈R，lgx<1 D．?x∈R，tanx＝2【答案】ACD【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，令，，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，故存在，，C正確；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以存在，使?故選：ACD考點(diǎn)四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定【典例例題】例1．（2022·廣東佛山·高三期末）設(shè)命題，則p的否定為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定為全稱量詞命題，所以命題的否定為.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】1.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定是將條件中的全稱量詞和存在量詞互換，結(jié)論變否定.2.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要注意否定是全否，而不是半否.【變式訓(xùn)練】1.已知命題p：，，則為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】：，.故選：D2．已知命題：，，則為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】命題：，的否定是：，．故選：D．3．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由存在量詞命題的否定知原命題的否定為：，.故選：C.考點(diǎn)五：根據(jù)全稱（特稱）命題的真假求參數(shù)【典例例題】例1.若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B依題意命題“，”為真命題，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，函數(shù)開口向下，不恒成立.綜上所述，.故選：B例2.命題：，使得成立．若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B命題：，使得成立．因?yàn)槭羌倜}，則命題的否定為：，使得成立，為真命題．所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B．【方法技巧與總結(jié)】1.在解決求參數(shù)的取值范圍問題上，可以先令兩個(gè)命題都為真命題，如果哪個(gè)是假命題，去求真命題的補(bǔ)級(jí)即可.2.全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題相對(duì)較難，要注重端點(diǎn)出點(diǎn)是否可以取到.【變式訓(xùn)練】1.若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意命題“，”為真命題，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，函數(shù)開口向下，不恒成立.綜上所述，.故選：B2．若命題“存在，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】C【詳解】∵命題“存在，使”是假命題，則其否定“任意，”為真命題,∴，所以.故選：C.3．若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C.【詳解】解：命題“”為假命題，其否定為真命題，即“”為真命題．令，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為.故選：C4．若“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的最大值為___________.【答案】【詳解】若“，”是真命題，則實(shí)數(shù)小于等于函數(shù)在的最小值，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上的最小值為，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：5．已知定義在上的函數(shù)滿足且，其中的解集為A.函數(shù)，，若，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)，所以，因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，所以，所以在上單調(diào)遞增，且，所以不等式可化為，即，所以，所以的解集，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，或時(shí)等號(hào)成立，在A上僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以在A上的值域?yàn)?，為增函?shù)，所以在A上的值域?yàn)?，若，使得，則，所以，又因?yàn)榧磳?shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.6．若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【詳解】由題意得“”為真命題，故，故答案為：7．若“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的最小值為______．【答案】3【詳解】“，”的否定為“，都有”，因?yàn)椤?，”為假命題，所以“，都有”為真命題，所以在上恒成立，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為3，故答案為：3【鞏固練習(xí)】一、單選題1．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定為全稱量詞命題，結(jié)合題意可得命題“，”的否定為，．故選：B.2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A解：因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，或一定成立，所以“”是“”的充分條件；當(dāng)或時(shí)，不一定成立，所以“”是“”的非必要條件.所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A3．若命題“時(shí)，”是假命題，則的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】B因?yàn)椤?，”是假命題，則其否定“，”為真命題則而當(dāng)時(shí)，取得最小值所以故選：B4．“”是“使成立”為假命題的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B解：“使成立”為假命題，則“使成立”為真命題，當(dāng)時(shí)成立，當(dāng)，則，，∴，綜合得，則“”是的充分不必要條件.故選：B.5．若不等式的一個(gè)充分條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D由不等式，可得，（不合題意）要使得是的一個(gè)充分條件，則滿足，解得.故選：D.6．已知函數(shù)，則“函數(shù)的圖象恒在軸的下方”是“”的（

）A．既不必要又不充分條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．充要條件【答案】C因?yàn)槎魏瘮?shù)的開口方向向下，所以有，則，即，滿足函數(shù)的圖像在軸的下方.又因?yàn)?，所以“函?shù)的圖像在軸的下方”是“0”的必要不充分條件.故選：C7．若，則“”的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】B因?yàn)?，?duì)于A，當(dāng)，取，明顯可見，不成立，故必要性不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，，得，必要性成立；當(dāng)，取，，明顯可見，，則不成立，充分性不成立；則B正確對(duì)于C，當(dāng)，取，明顯可見，，則不成立，故必要性不成立，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)成立，則，明顯可見，成立；當(dāng)，兩邊平方，同樣有，充分性也成立，D錯(cuò)誤；故選：B8．若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B當(dāng)時(shí)顯然恒成立，當(dāng)時(shí)要使命題為真，則：可得；而時(shí)不可能恒成立，綜上，k的取值范圍是.故選：B二、填空題9．已知命題“”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】因?yàn)槊}“”為真命題，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：10．已知p：，q：，，且p是