量子力學的復習提要

量子力學的復習提要一、量子理論基礎(chǔ)1、熱輻射普朗克量子假說：物體發(fā)射或吸收電磁輻射只能以“量子”方式進行，每個能量子的能量為e=h。2、 光電效應―愛因斯坦光子假說光和粒子相互作用時表現(xiàn)出粒子性，每一個光量子的能量E與輻射頻率V的關(guān)系E=hV。3、康普頓效應h光量子具有動量，P=E/c=在定量九上是正確的；在微觀的單個碰撞事件中，動量和能量守恒定律仍成立。4、 玻爾理論_?原子具有離散能量的定態(tài)，兩個定態(tài)之間的量子躍遷的概念以及頻率條件：hv=E—E?nm5、 德布羅意的波粒二象性假設(shè)德布羅意波－物質(zhì)波deBroglierelationEv= hhx=_~P二、量子力學的基本框架1、量子系統(tǒng)的狀態(tài)用波函數(shù)描述。?波函數(shù)的概率詮釋”(r)fAxAyAz?在r點處的體積^元dx=AxAyAz中找到粒子的概率。態(tài)疊加原理如屮,屮屮等都是體系的可能1 2，…，n，…狀態(tài)，那末它們的線性疊加態(tài)屮=cl屮1+c2屮2+…+cn屮n+…fCnn也是這個體系的一個可n能狀態(tài)，2、描寫物理系統(tǒng)的一個力學量，對應于一個線性厄米算符。PTP=_i厲▽，本征值P本征函數(shù)

peip'x/力peip'x/力1L二rxp二-i力rxV（L2,L）的共同本征函數(shù)是球諧函z數(shù)Ym（0,甲）：L2Ym（0,申）=1（1+1）方2Ym（0,申）LY1m（0,申）=m九Y1m（9,申）對易式［A,B］三AB—BA?基本對易式［xa，P卩］=i力SaP角動量對易式[L,L]=0， [L,L]=0，xx yy[Lx，Ly]=血z‘ [Ly，Lz]=i〃Lx '[L2，L]=0?（—x,y，z）厄米算符的本征值為實數(shù)，對應不同本征值的本征矢相互正交。3、任一狀態(tài)的波函數(shù)屮，都可以用力學量算符的本征函數(shù)系，或一組力學量完全集的共同本征函數(shù)系來展開。當系統(tǒng)處在由波函數(shù)屮所描述的狀態(tài)時，每次測量一個力學量所得到的結(jié)果，只可能是與該力學量相對應的算符的所有本征值中的一個。對與算符A相應的力學量進行足夠多次的測量，所得的平均值廠是屮與入的內(nèi)積（屮,A屮），同屮與其自身的內(nèi)積（屮,屮）的商，即A=（屮,A屮）?3,屮）或者說，對與算符A相應的力學量進行測量，每次測量的結(jié)果取A的某一本征值A(chǔ)的概率w，等于屮對A的本征函數(shù)nn系的展開式中，相應于本征函數(shù)屮那項n的系數(shù)（屮，屮）的模方，即nWn「（屮n，屮）|2-4、態(tài)函數(shù)隨時間的演化遵從薛定諤方（7 八i屮=H屮，t其中方是系統(tǒng)的哈密頓算符，當哈密頓算符H不顯含時間t時，對應的定態(tài)薛定諤方程（能量本征值方程）為H屮=E屮。

5、系統(tǒng)內(nèi)任意兩個全同粒子互相交換，5、系統(tǒng)內(nèi)任意兩個全同粒子互相交換，都不會改變系統(tǒng)的狀態(tài)。^玻色子：s=0,力,2力,3力，….費米子：s=1/2,3/2九5/2九7/2九?…泡利不相容原理：不可能有兩個全同的費米子處于同一個單粒子態(tài)。6、 旋與軌道角動量的基本內(nèi)容要清楚自旋算符與軌道角動量的代數(shù)類似。7、7、氫原子能級特點，簡并度。波函數(shù)由徑向和角度兩部分構(gòu)成?；居嬎隳芰σ邆浠居嬎隳芰σ邆?、基本例題和作業(yè)題要掌握一維無限深勢阱，線性諧振子，勢壘穿透2、波函數(shù)的概率詮釋，定態(tài)的概念與判斷3、重點在前三章中的基本內(nèi)容。4、補充習題與參考答案補充習題1（選做）、已知局限在x=0到a范圍內(nèi)運動的粒子的歸一化波函數(shù)為屮”（x）=L'a血（礦），0<x<a,計算其動量和動能平〔0, elsewhere均值。解：動量算符為p=切2，dx動能算符為p2/2m=_巴蘭，2mdx2動量的平均值為

?、6/、., ,I \ —Z——w—1'n'dxn.x、6.z?、6/、., ,I \ —Z——w—1'n'dxn.x、6.znKx、7sin( )—sin( )dxa 6x asin(空)cos(匸)dx=0a a0=-i逆fa0=i竺(丫)faa0動能的平均值為TOC\o"1-5"\h\z九2a 62E=- J屮*(x) 屮(x)dx2m n 6x2n0h2f.znKx、62 ./-一sin( )_sin(ma "0h2nKa-()2JmaanKx、7 nKx、7 、 )dxa6x2 a.x、7 九2兀2n2sin2( )dx= a 2ma2補充習題2（選做）、簡諧振子的能量算符為H-丄（p2+m亦2x2）,基態(tài)的歸一化波函數(shù)2m 0為嘰=（加*⑵，其中x。/計算其）動量和能量的平均值。解：動量的平均值為e弋2/2歎弋2/2心導e弋2/2心0e弋2/2歎弋2/2心導e弋2/2心0—f—f屮*(x)H屮(x)dx=0012m0 ax2—f+g2)e-g2/2dx+m2?2x2)y*(x)dx00力2 m? 0_2m詐力仁弋2/2(—二—f力?02蓉—fe—g2dg=力? .2卡 ap=-i力J屮*(x)—屮(x)dx0ax0—g一巴fJJ動能的平均值為補充習題3(選做)、補充習題1中的波函數(shù)是否動量的本征函數(shù)？是否動能的本征函數(shù)？如果是，本征值是多少？解：(1)/、 .工a /、 .2ha.znKx、 .2hn兀 znKx艸(x)=—ih 屮(x)=—i—sin( )=z cos( n a%n a~dx aaa a―不是本征函數(shù)

2）竺屮(x)=-上竺屮(x)=-巴汽工sin(tx)=叱屮(x)2mn 2mdx2n 2m\iadx2 a 2ma2n是本征函數(shù)，本征值為方22n22ma2補充題4（選做）：在狀態(tài)屮仲）=Eos屮中，兀討論1的值，并求廠。zz解：1的本征函數(shù)為 9，本征值為m方，m=0,土1±2,±3,...but屮（9屮（9）=1「9+顯然，屮3）語co旳是由1的兩個本征函數(shù)疊加而成，這兩個本征態(tài)對應于I=±力，且取+力and-力的概率z相同，各為I丄2=1。1V? 2l的本征值自然為零zl :z二1?方+1(-h)=0。22補充題5（選做）：粒子在一維無限深勢阱中運動，對于基態(tài)求：AxAp二?解：寬為a的一維無限深勢阱中運動的粒子的基態(tài)為屮(X)=屮(X)=1?兀smx.aa