量子力學(xué)測(cè)試題(4)(復(fù)旦2002)

量子力學(xué)測(cè)試題（4）（復(fù)旦2002）1、已知一維運(yùn)動(dòng)的粒子在態(tài)屮（x）中坐標(biāo)x和動(dòng)量p的平均值分別為x和p，求在態(tài)x 0 0申（x）=e-ip0X-/呷（x+x）中坐標(biāo)X和動(dòng)量p的平均值。0x解：已知粒子在態(tài)屮（x）中坐標(biāo)x和動(dòng)量p的平均值分別為x— +gx=J屮*(x)x屮(x)dx=x0 +gp=J屮*x—g現(xiàn)粒子處在cp（x）態(tài)，坐標(biāo)x和動(dòng)量p的平均值x— +g +gx=J申*(x)x申(x)dx=J屮*(x+x)x屮(x+x)dx00—g—g+g=J屮*(xx'一x)屮(xJdx'=x—x=0000—g +gf QA+gf QAp=Jp*(x)—i方—p(x)dx=Jeipox/方屮*(x+x)—i方—x( Qx丿o( Qx丿—g—g方屮(x+x)+e一ipox1方0+gJeipox/力屮*(x+x)[—pe一ipox/00[e—ipox/方屮(x+x)]dxo—i方 屮(x+x)]dxI Qx丿—g+g=-p+J屮*oQA屮(x')dx'=—p+p=0oo—g2、一體系服從薛定諤方程)+丄klr21（1） 指出體系的所有守恒量（不必證明）；（2） 求基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。解：（1）體系的哈密頓量為方2V2m方2V2m引入質(zhì)心坐標(biāo)R和相對(duì)坐標(biāo)；:r=r—r在坐標(biāo)變換r,r=r,r下，體系的哈密頓量變?yōu)榉? 1V2+—kr2 M=2m卩=m/2。（中心力場(chǎng)）r2。（中心力場(chǎng)）容易得知系統(tǒng)的守恒量為E,L2,L（2）相對(duì)運(yùn)動(dòng)哈密頓量為T(mén)OC\o"1-5"\h\z方2 1H=—V2+kr

r2卩r2相對(duì)運(yùn)動(dòng)為三維各向同性諧振子

方2 1 :k=—V2+一⑷2r2w= _2卩 r2 卩基態(tài)能量和波函數(shù)為3E“=—方wN23、設(shè)t=0時(shí)氫原子處在態(tài)a2r2IpwN=0,1,2,…a=ih+V+U2屮210

+玄3屮 ]211 21—11）求體系能量的平均值；（2）任意t時(shí)刻波函數(shù)屮（；,t）；（3）任意t時(shí)刻體系處在1）求體系能量的平均值；（2）e22an2l=1,m=1態(tài)的幾率；（4）任意t時(shí)刻體系處在m=0態(tài)的幾率。解：氫原子定態(tài)能量和波函數(shù)為e22an2V(r,0,申)=R(r)Y(0,申)nlm nllm11e240a（2）任意t時(shí)刻波函數(shù)V(r,t)=1V(r,t)=1{2e-iEi(/hVv10100(r)+e—iE2t/h[V210(r)+211(r)+V3V (r)]}21—1（3） 任意t時(shí)刻體系處在i=1,m=1態(tài)的幾率為1/5；（4） 任意t時(shí)刻體系處在m=0態(tài)的幾率為1/2。4、一維諧振子受到微擾H，=cx2作用，式中c為常數(shù)。在粒子數(shù)表象中,1/2(a+a+)丿a,a+a,a+分別為湮滅算符和產(chǎn)生算符，滿(mǎn)足aIn>=vnIn—1> a+In>=vn+1In+1>1） 用微擾論求準(zhǔn)確到二級(jí)近似的能量值；2） 求能量的準(zhǔn)確值，并與微擾論給出的結(jié)果相比較。解：(D由[a,a+]=1H'=cxH'=cx2(a+a+)2c方[a2+(a+)2+1+2a+a]2po利用|n>=利用|n>=<n+1In+1>計(jì)算微擾矩陣元得H' H' =<mImn|[a2+(a+)2+1+2a+a]|n>c卉:= {vn(n—1)52c卉:= {vn(n—1)52po m，n—2零級(jí)近似能量、一級(jí)和二級(jí)修正能量分別為(2n+1)5mnn+1)(n+2)5f 1、f1\E(0)=n+—力oE⑴=H'=n+—n(2丿n nn(2丿2H'E(2)nmnE(0)—E(0)nmc2力[n(n—1)(n+1)(n+2)]精確到二級(jí)近似的能量值為f1精確到二級(jí)近似的能量值為f1)hofcc2 )n+1+—I2丿po22p2o4丿n2)現(xiàn)求能量精確值1—po21—po2x22cx211+po2p22x20I 2cf 2c)lo2+=o1+pI po2丿1/2本征能量f 1、ho=f 1、ho=f1、hof2c、1/2f 1\n+n+1+=n+l2丿0l 2丿lpo2丿l 2丿2c方o\1+En九)1/20,1,2,…視九為微小量，則其中f 1)f九九2其中f 1)f九九2E=n+~ho1+-+?nl 2丿l28丿=E(0)+n(1)nE(2)+…nf 1、f 1\chf 1)E(0)=n+—hoE(1)=n+—E(2)=—n+—nl 2丿nl 2丿ponl 2丿2卩2o3c2力能量精確解的前三項(xiàng)與分別與零級(jí)近似能量、一級(jí)和二級(jí)修正能量相同。5、設(shè)a,a+分別為湮滅算符和產(chǎn)生算符，滿(mǎn)足對(duì)易關(guān)系[a,a+]=1。體系的哈密頓量為

1)（1）問(wèn)A,B,C,D滿(mǎn)足什么條件h才是厄密算符？（2）求體系的能量。

解：（1）容易得知H是厄密算符的條件是A,B,C,D均為實(shí)數(shù)，且a=b，則1)H=A[a2+(a+)2]+Ca+a+DC_—a+aC_—a+a+A1a2+(a+)2= (H-D)Ab+=Xa++ya 其中X,y為待定實(shí)數(shù)[Xa+ya+,Xa++ya]=X2[a,a+]+y2[a+,a]已知 [a已知 [a,a+]=1則得[b,b]=X2-y2為使b,b+與a,a+滿(mǎn)足相同的對(duì)易關(guān)系計(jì)算b+計(jì)算b+b=(Xa++ya)(Xa+ya+)=X2a+a+[a2+(a+)2]+y2aa+利用aa+=利用aa+=1+a+b+b=(九2+y2)a+a+九y[a2+(a+)2]+y2所以X2+y2所以X2+y2a+a+a2+(a+)2Xy1(b+b-y2)Xy3)比較（2）式和（3）式，如令X2+y2 CXy A則得TOC\o"1-5"\h\z1 1(H—D)= (b+b-y2)A Xy由此可得 H= （b+b-y2）+D （4）Xy如果已知X,