專題05 首屆新高考-圓錐曲線大題綜合-【沖刺雙一流之大題必刷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)沖刺雙一流之大題必刷滿分沖刺（首屆新高考江西、廣西、貴州、甘肅專用）含答案

專題05首屆新高考-圓錐曲線大題綜合（首屆新高考江西、廣西、貴州、甘肅專用）一、解答題1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左頂點為，漸近線方程為.直線交于兩點，直線的斜率之和為-2.(1)證明：直線過定點；(2)若在射線上的點滿足，求直線的斜率的最大值.2．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中中，動點到定點的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)已知點，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點，且，求與面積之和的最小值.3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點為，過點作直線交于點，.(1)若，求直線的斜率；(2)設(shè)，是上異于的點，且，，三點共線，求證：.4．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點，點，點是軸上的動點，點在軸上，直線與直線垂直，關(guān)于的對稱點為．(1)求的軌跡的方程；(2)過的直線交于兩點，在第一象限，在處的切線為交軸于點，過作的平行線交于點是否存在最大值？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點，，，和交點為.(1)求點的軌跡；(2)直線和曲線交與兩點，試判斷是否存在定點使？如果存在，求出點坐標(biāo)，不存在請說明理由.6．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在橢圓：上，從原點向圓作兩條切線分別與橢圓交于點，，若直線，的斜率分別為，，且．(1)求圓的半徑；(2)探究是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．7．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當(dāng)時，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點，點是線段的中點，試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.8．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？级＃┮阎獔A是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點，當(dāng)點運動時，點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點的直線與曲線相交于點，與軸相交于點，過點的另一條直線與相交于兩點，且的面積是面積的倍，求直線的方程．9．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線與交于，兩點，的周長為8，且點在上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與圓：交于C，D兩點，當(dāng)時，求面積的取值范圍．10．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓：經(jīng)過點，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)直線，均過點A，且互相垂直，直線與圓O：交于M，N兩點，直線與橢圓C交于另一點B，求面積的最大值.11．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知橢圓C：的左右焦點分別為、，離心率，、分別為橢圓C的左、右頂點，且.(1)求橢圓C的方程；(2)若O為坐標(biāo)原點，過的直線l與橢圓C交于A、B兩點，求面積的最大值；(3)若橢圓上另有一點M，使得直線與斜率、滿足，請分析直線BM是否恒過定點.12．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預(yù)測）已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，焦距為10，，為其左右頂點．(1)求的方程；(2)設(shè)點是直線：上的任意一點，直線、分別交雙曲線于點、，，垂足為，求證：存在定點，使得是定值．13．（2023·湖南長沙·周南中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓E：的左、右焦點分別為,焦距與短軸長均為4.設(shè)過F2的直線l交E于M,N,過M,N分別作E在點M,N上的兩條切線,記它們的交點為P,MN的中點為Q.(1)證明：O,P,Q三點共線；(2)過F1作平行于l的直線分別交PM,PN于A,B,求的取值范圍.參考結(jié)論：點T(,)為橢圓()上一點,則過點T(,)的橢圓的切線方程為.14．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知過右焦點的直線交雙曲線于兩點，曲線的左右頂點分別為，虛軸長與實軸長的比值為．

(1)求曲線的方程；(2)如圖，點關(guān)于原點的對稱點為點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，求的軌跡方程．15．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知定點，關(guān)于原點對稱的動點，到定直線的距離分別為，，且，記的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程，并說明曲線是什么曲線？(2)已知點，是直線與曲線的兩個交點，，在軸上的射影分別為，（，不同于原點），且直線與直線相交于點，求與面積的比值.16．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知點是圓上一動點，點，線段的垂直平分線交線段于點.(1)求動點的軌跡方程；(2)定義：兩個離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的曲線與曲線相似，且焦點在同一條直線上，曲線經(jīng)過點.過曲線上任一點作曲線的切線，切點分別為，這兩條切線分別與曲線交于點（異于點），證明：.17．（2023·江蘇揚州·揚州中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線上的點到焦點的距離的5.(1)求拋物線方程及點的坐標(biāo).(2)過點的直線交于兩點，延長，分別交拋物線于兩點.令，，，，求的最小值.18．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點為，過的直線交于，兩點（其中點在第一象限），過點作的切線交軸于點，直線交于另一點，直線交軸于點.(1)求證：；(2)記，，的面積分別為，，，當(dāng)點的橫坐標(biāo)大于2時，求的最小值及此時點的坐標(biāo).19．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為為雙曲線的右支上一點，點關(guān)于原點的對稱點為，滿足，且.(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線過點，過圓上一點作圓的切線，直線交雙曲線于兩點，且的面積為，求直線的方程.20．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓，下頂點為是橢圓上任意一點，過點作軸的平行線與直線交于點，若點關(guān)于點的對稱點為，直線交橢圓于兩點.(1)求橢圓上點到直線的距離的最大值；(2)已知．過點作垂直直線，垂足為，是否存在定點，使得為定值，若存在求出定點坐標(biāo)和，若不存在，請說明理由.21．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點為，點A，B在橢圓C上，點到直線的距離為，且的內(nèi)心恰好是點D．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知O為坐標(biāo)原點，M，N為橢圓上不重合兩點，且M，N的中點H在直線上，求面積的最大值．22．（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓C：與y軸交于，兩點，橢圓上異于A，B兩點的動點D到A，B兩點的斜率分別為，，已知．(1)求橢圓C的方程；(2)過定點與動點D的直線，與橢圓交于另外一點H，若AH的斜率為，求的取值范圍．23．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知橢圓E：，橢圓上有四個動點A，B，C，D，，AD與BC相交于P點.如圖所示.

(1)當(dāng)A，B恰好分別為橢圓的上頂點和右頂點時，試探究：直線AD與BC的斜率之積是否為定值？若為定值，請求出該定值；否則，請說明理由；(2)若點P的坐標(biāo)為，求直線AB的斜率.24．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在中，點.圓是的內(nèi)切圓，且延長線交于點，若.(1)求點的軌跡的方程；(2)若橢圓上點處的切線方程是，①過直線上一點引的兩條切線，切點分別是，求證：直線恒過定點；②是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.25．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的離心率為2，右焦點與拋物線的焦點重合，雙曲線的左、右頂點分別為，，點為第二象限內(nèi)的動點，過點作雙曲線左支的兩條切線，分別與雙曲線的左支相切于兩點，，已知，的斜率之比為.

(1)求雙曲線的方程；(2)直線是否過定點？若過定點請求出定點坐標(biāo)，若不過定點請說明理由.(3)設(shè)和的面積分別為和，求的取值范圍.參考結(jié)論：點為雙曲線上一點，則過點的雙曲線的切線方程為.26．（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測）已知是橢圓的左右焦點，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點為，若三角形的面積為1，其內(nèi)切圓的半徑為．(1)求橢圓的方程；(2)已知A是橢圓的上頂點，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，點在第二象限，直線分別與軸交于，求四邊形面積的最大值．27．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓E：．若直線l：與橢圓E交于A、B兩點，交x軸于點F，點A，F(xiàn)，B在直線：上的射影依次為點D，K，G．(1)若直線l交y軸于點T，且，，當(dāng)m變化時，探究的值是否為定值？若是，求出的值；否則，說明理由；(2)連接AG，BD，試探究當(dāng)m變化時，直線AG與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標(biāo)，并給予證明：否則，說明理由．28．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知曲線上的動點滿足，且.(1)求的方程；(2)若直線與交于、兩點，過、分別做的切線，兩切線交于點.在以下兩個條件①②中選擇一個條件，證明另外一個條件成立.①直線經(jīng)過定點；②點在定直線上.29．（2023·山東濰坊·三模）已知橢圓的離心率為，且過點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動直線：與橢圓交于兩點，且在坐標(biāo)平面內(nèi)存在兩個定點，使得（定值），其中分別是直線的斜率，分別是直線的斜率．①求的值；②求四邊形面積的最大值．30．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓：，定點，如圖所示，圓上某一點恰好與點關(guān)于直線對稱，設(shè)直線與直線的交點為.

(1)求證：為定值，并求出點的軌跡方程；(2)設(shè)，為曲線上一點，為圓上一點（，均不在軸上）.直線，的斜率分別記為，，且.求證：直線過定點，并求出此定點的坐標(biāo).專題05首屆新高考-圓錐曲線大題綜合（首屆新高考江西、廣西、貴州、甘肅專用）一、解答題1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左頂點為，漸近線方程為.直線交于兩點，直線的斜率之和為-2.(1)證明：直線過定點；(2)若在射線上的點滿足，求直線的斜率的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)頂點坐標(biāo)和漸近線得出雙曲線方程，解設(shè)，設(shè)直線的斜率分別為，通過化簡表示出直線的方程，即可得出結(jié)論.（2）利用平面幾何知識，將幾何問題轉(zhuǎn)化為，求出的坐標(biāo)，最后直線的斜率用的斜率表示，即可求解.【詳解】（1）由題知，的方程為：，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立，得，且，設(shè)直線的斜率分別為，則，故，又，，，，不過點，，所以直線過定點.（2）由題設(shè)直線.由，得.由，得.故，同理.由可知，，即.因為，化簡得.當(dāng)時取等號，所以直線的斜率的最大值為.

2．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中中，動點到定點的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)已知點，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點，且，求與面積之和的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意直接求動點的軌跡方程即可；（2）當(dāng)直線的斜率為0時，不適合題意，所以設(shè)出直線的方程與拋物線聯(lián)立利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）設(shè)動點的坐標(biāo)為，由已知得，，化簡得：，故曲線的方程為.（2）如圖：

因為點，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點，所以當(dāng)直線的斜率為0時，不適合題意；當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，由得，，，所以，由，得，因為，所以，所以，所以，解得：或（舍去），當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點，且滿足，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故最小值為.3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點為，過點作直線交于點，.(1)若，求直線的斜率；(2)設(shè)，是上異于的點，且，，三點共線，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）求出橢圓左焦點的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，解方程可得直線的斜率；（2）求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理求得點的坐標(biāo)，再求直線的斜率，與直線的斜率比較可得證明.【詳解】（1）依題意，橢圓的左焦點，當(dāng)直線的斜率為0時，此時、兩點是橢圓長軸上的兩點，向量，或，均不滿足，不合題意，所以直線的斜率不為0.故可設(shè)直線的方程為，，，由得：，，則，①，由可得，所以，即②，由①②可得，，化簡整理得，所以，所以直線的斜率為.（2）證明：由，可得直線的方程為，由得：，所以，結(jié)合可得：，，即，又，則，所以，所以.4．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點，點，點是軸上的動點，點在軸上，直線與直線垂直，關(guān)于的對稱點為．(1)求的軌跡的方程；(2)過的直線交于兩點，在第一象限，在處的切線為交軸于點，過作的平行線交于點是否存在最大值？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）利用向量垂直以及中點坐標(biāo)公式即可求解，或者利用菱形的性質(zhì)以及拋物線的定義可判斷點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線．（2）將問題轉(zhuǎn)化為直線與的傾斜角之差最大．聯(lián)立直線與拋物線方程，得到韋達(dá)定理，求導(dǎo)得切線斜率，即可利用傾斜角與斜率的關(guān)系，結(jié)合正切的和差角公式以及基本不等式即可求解.【詳解】（1）法1：設(shè)因為，所以，即．又，所以，所以法2：如圖，設(shè)關(guān)于的對稱點為，由已知得，互相垂直平分所以四邊形為菱形，所以．

因為為中點，所以，即點在定直線上因為，所以與直線垂直即點到定點的距離等于點到定直線的距離所以點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線．所以點的軌跡的方程為．（2）存在最大值．延長交于，

所以最大即直線與的傾斜角之差最大．由題意可知直線有斜率，設(shè)，（）由得所以．因為，所以的斜率，的斜率．設(shè)直線與的傾斜角為，則．．當(dāng)且僅當(dāng)即,時等號成立因為，所以，所以當(dāng)最大時，最大，即最大此時，所以，所以的方程為．【點睛】圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點，，，和交點為.(1)求點的軌跡；(2)直線和曲線交與兩點，試判斷是否存在定點使？如果存在，求出點坐標(biāo)，不存在請說明理由.【答案】(1)(2)存在定點坐標(biāo)為或【分析】（1）利用已知條件表示出點坐標(biāo)，進(jìn)而表示出直線，的方程，聯(lián)立即可得出點軌跡方程.（2）假設(shè)存在定點，設(shè)點坐標(biāo)為，，聯(lián)立方程組，得出，，由整理得出，對恒成立，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)點，，，即，點坐標(biāo)為，，即，點坐標(biāo)為，根據(jù)兩點坐標(biāo)可得，直線方程為：，直線方程為：，兩式移項相乘得：，整理得，點的軌跡為以為焦點，長軸長為的橢圓，即其方程為.（2）假設(shè)存在定點，設(shè)點坐標(biāo)為，，聯(lián)立方程組消得，直線與橢圓交于兩點，即，，，，，，整理得：，，對恒成立，，得，，所以存在定點坐標(biāo)為或.6．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在橢圓：上，從原點向圓作兩條切線分別與橢圓交于點，，若直線，的斜率分別為，，且．(1)求圓的半徑；(2)探究是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）設(shè)過原點作圓的切線，利用圓心到直線的距離等于半徑得到，利用韋達(dá)定理及得到，結(jié)合點在橢圓上，即可求出半徑；（2）設(shè)，，由，可得，再由點在橢圓上得到，，即可得到，從而求出的值.【詳解】（1）設(shè)直線，的方程分別為，，過原點作圓的切線，則，即，即，所以，即，所以.（2）是定值，且，理由如下：設(shè)，，因為，所以，即①，又、在橢圓上，所以，，所以，，代入①可得，化簡得，所以，所以.7．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當(dāng)時，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點，點是線段的中點，試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.【答案】(1)(2)是定值，定值為【分析】（1）延長與交于，根據(jù)，得到，再設(shè)，利用雙曲線的定義求解；（2）設(shè)，利用雙曲線的定義得到兩漸近線所在直線方程，設(shè)直線方程為，聯(lián)立求得即可.【詳解】（1）解：如圖所示：

延長與交于，因為，所以，設(shè)，則，即，，故方程為；（2）設(shè)，則，，兩漸近線所在直線方程為：，設(shè)直線方程為，將漸近線兩側(cè)平方與直線聯(lián)立，則可得，則，則，故.8．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？级＃┮阎獔A是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點，當(dāng)點運動時，點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點的直線與曲線相交于點，與軸相交于點，過點的另一條直線與相交于兩點，且的面積是面積的倍，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意和橢圓的定義即可求解；（2）首先求出直線的方程，以及點的坐標(biāo)，討論直線的斜率存在與否，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立解方程組求出，根據(jù)的面積是面積的倍，化簡可以得到，進(jìn)一步求出斜率，從而得出答案.【詳解】（1）因為點為線段的垂直平分線與半徑的交點，所以，所以，所以點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，在橢圓中，所以曲線的方程為．（2）由已知得，所以直線的方程為，所以點的坐標(biāo)為．當(dāng)直線的斜率不存在時，，或都與已知不符；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由得，易知，則，，由的面積是面積的倍可得，化簡得，即，又，所以，即，也就是，所以，解得，所以直線的方程為．

9．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線與交于，兩點，的周長為8，且點在上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與圓：交于C，D兩點，當(dāng)時，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由的周長結(jié)合橢圓的定義得出，再將代入橢圓方程，即可求出，進(jìn)而得出橢圓的方程；（2）設(shè)直線l的方程為，由點到之間距離公式及勾股定理得出，設(shè)，，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出和，代入，設(shè)，，由的單調(diào)性得出值域，即可求出的范圍．【詳解】（1）因為的周長為8，所以，解得，將點的坐標(biāo)代入橢圓方程，得，解得，所以橢圓E的方程為．

（2）由（1）知圓的方程為，設(shè)直線l的方程為，則圓心到直線l的距離，由，可得．設(shè)，，聯(lián)立方程組，消去x得，則，，所以，設(shè)，則，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，因為，所以．

10．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓：經(jīng)過點，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)直線，均過點A，且互相垂直，直線與圓O：交于M，N兩點，直線與橢圓C交于另一點B，求面積的最大值.【答案】(1)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)面積的最大值為.【分析】（1）由條件列關(guān)于的方程，解方程求，可得橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，求出點的坐標(biāo)及點到直線距離和弦長表示出面積，再討論取得最大值即可求解.【詳解】（1）因為經(jīng)過點，所以，解得，因為橢圓的離心率為，所以，又，所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）若直線的斜率為，則的斜率不存在，所以的方程為，直線與橢圓的交點為，與條件矛盾；由已知當(dāng)直線的斜率不存在時，的斜率為，所以的方程為，的方程為，聯(lián)立可得，或，故，聯(lián)立，可得或，所以點的坐標(biāo)為，所以點到直線的距離為，所以的面積為，當(dāng)直線的斜率存在且不為時，設(shè)其方程為.則直線的方程為.圓心到直線的距離為.直線被圓截得的弦長為，由，消可得，，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，故，，所以點的坐標(biāo)為，所以.因為，所以.當(dāng)時，時，上式等號成立.因為，所以當(dāng)直線的方程是時，面積取得最大值，最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．11．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知橢圓C：的左右焦點分別為、，離心率，、分別為橢圓C的左、右頂點，且.(1)求橢圓C的方程；(2)若O為坐標(biāo)原點，過的直線l與橢圓C交于A、B兩點，求面積的最大值；(3)若橢圓上另有一點M，使得直線與斜率、滿足，請分析直線BM是否恒過定點.【答案】(1)(2)1(3)直線MB恒過定點【分析】（1）根據(jù)離心率，長軸長為4，求得，即可求出橢圓方程.（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得到韋達(dá)定理，利用弦長公式求得AB，并求得AB邊上的高，表示出三角形面積，由基本不等關(guān)系求得最大值即可.（3）設(shè)直線MB的方程為，聯(lián)立與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，設(shè)、，得到，結(jié)合，然后，代入計算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由已知可得：，解得：，，則，則有C：；（2）由于直線l不能與y軸垂直，故設(shè)，，代入可得恒成立，設(shè)，，則有，點O到直線l的距離為所以當(dāng)且僅當(dāng)：時取最大值；

（3）設(shè)直線MB的方程為，代入可得，可設(shè)、則有，，因為，所以，因為在橢圓上，所以，所以，代入，且，可得，即，即即由于，化簡得，即直線MB恒過定點.

【點睛】方法點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).12．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預(yù)測）已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，焦距為10，，為其左右頂點．(1)求的方程；(2)設(shè)點是直線：上的任意一點，直線、分別交雙曲線于點、，，垂足為，求證：存在定點，使得是定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由雙曲線的漸近線方程及焦距求解雙曲線的方程即可；（2）設(shè)出直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理，與直線，，聯(lián)立最終得到點的軌跡方程，即可求解.【詳解】（1）依題意：.（2）證明：如圖：

設(shè)、，，直線：，即：.（記，）代入中得：.所以，.又因為直線：、直線：聯(lián)立得：....即或（舍）.所以.所以，點軌跡為，以為圓心，2為半徑的圓上，所以，.13．（2023·湖南長沙·周南中學(xué)校考三模）已知橢圓E：的左、右焦點分別為,焦距與短軸長均為4.設(shè)過F2的直線l交E于M,N,過M,N分別作E在點M,N上的兩條切線,記它們的交點為P,MN的中點為Q.(1)證明：O,P,Q三點共線；(2)過F1作平行于l的直線分別交PM,PN于A,B,求的取值范圍.參考結(jié)論：點T(,)為橢圓()上一點,則過點T(,)的橢圓的切線方程為.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先求得橢圓方程,再設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓的方程,并化簡切線方程組可得.再設(shè)的中點為,證明即可；（2）取中點,根據(jù)三角形的性質(zhì)有四點共線,再結(jié)合橢圓的對稱性有即可.【詳解】（1）由題意,,,解得,,故橢圓的方程為.又,顯然的斜率不為0,故設(shè)的方程為,,則,即,故,.聯(lián)立過的切線方程,即,相減可得,即,化簡可得.代入可得,故.設(shè)的中點為,則,,故.因為,,故,所以三點共線.（2）由作平行于l的直線分別交于,易得,取中點,根據(jù)三角形的性質(zhì)有四點共線,

結(jié)合橢圓的對稱性有,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故.【點睛】方法點睛：根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系,結(jié)合向量的性質(zhì),聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理證明三點共線與求取值范圍的問題.需要根據(jù)題意聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達(dá)定理得到P,Q的坐標(biāo),再根據(jù)三角形與向量的性質(zhì)轉(zhuǎn)化所求的量從而進(jìn)行簡化求解范圍.屬于難題.14．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知過右焦點的直線交雙曲線于兩點，曲線的左右頂點分別為，虛軸長與實軸長的比值為．

(1)求曲線的方程；(2)如圖，點關(guān)于原點的對稱點為點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，求的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)右焦點坐標(biāo)、虛軸長與實軸長的比值可得曲線的方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為，直線為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入可得、的值，求出直線、直線方程聯(lián)立求得，可得直線的方程，與聯(lián)立可得可得答案．【詳解】（1）由題意得，又，則，曲線的方程為；（2）設(shè)直線的斜率分別為，直線為，由，得，，，則，，由于點關(guān)于原點的對稱點為點，，則直線為，直線為，顯然，由，得，即，則直線的方程為，由得，即，當(dāng)時，由對稱性可知在軸上，此時直線平行于直線，不符合題意，故的軌跡方程為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二位關(guān)鍵點是利用韋達(dá)定理得、的值，直線的方程與直線方程聯(lián)立得點坐標(biāo)，考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力．15．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知定點，關(guān)于原點對稱的動點，到定直線的距離分別為，，且，記的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程，并說明曲線是什么曲線？(2)已知點，是直線與曲線的兩個交點，，在軸上的射影分別為，（，不同于原點），且直線與直線相交于點，求與面積的比值.【答案】(1)曲線的方程為或，曲線是以點，為焦點，長軸長為的橢圓與軸組成的曲線(2)比值為1【分析】（1）設(shè)，由直接列式化簡可得；（2）先證直線直線的交點也是直線與直線的交點，則有，，由即可求解.【詳解】（1）設(shè)，.由有，，兩邊平方得，化簡得，即曲線的方程為或.曲線是以點，為焦點，長軸長為的橢圓與軸組成的曲線.（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，則，.令，將代入并整理得，，，.直線的方程為：.設(shè)，則，同理直線與直線相交于點，.，其中.從而，與重合.因為，所以.又，，則.所以與面積的比值為1.

16．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知點是圓上一動點，點，線段的垂直平分線交線段于點.(1)求動點的軌跡方程；(2)定義：兩個離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的曲線與曲線相似，且焦點在同一條直線上，曲線經(jīng)過點.過曲線上任一點作曲線的切線，切點分別為，這兩條切線分別與曲線交于點（異于點），證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合軸對稱的性質(zhì)及橢圓定義求出方程作答.（2）由（1）及已知求出曲線的方程，驗證斜率不存在的情況，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出它們的方程，再與，的方程聯(lián)立推理作答.【詳解】（1）依題意，，

由橢圓的定義知，交點的軌跡是以點為左右焦點的橢圓，且長軸長，焦距，則，所以曲線的方程為.（2）由（1）知，曲線的離心率為，且焦點在x軸上，則曲線的離心率為，曲線的焦點在x軸上，而曲線經(jīng)過點，，因此曲線的長半軸長，半焦距，短半軸長有，于是曲線的方程為，設(shè)，

當(dāng)切線的斜率不存在時，的方程為，代入得，此時、與曲線都相切，為的中點，為的中點，則；當(dāng)切線的斜率不存在時，同理有；當(dāng)切線和的斜率都存在時，設(shè)切線的方程為，分別代入和，化簡得①，②，依題意，方程①有兩個相等的實數(shù)根，方程②有兩個不相等的實數(shù)根，于是，即，則，此時為的中點.同理可證，為的中點，因此，所以.【點睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程．②待定系數(shù)法：若焦點位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為(A>0，B>0，A≠B)．17．（2023·江蘇揚州·揚州中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線上的點到焦點的距離的5.(1)求拋物線方程及點的坐標(biāo).(2)過點的直線交于兩點，延長，分別交拋物線于兩點.令，，，，求的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線定義列式得的值，即可得拋物線方程及點的坐標(biāo)；（2）設(shè)，，，，分別表示、，根據(jù)，得，代入，利用基本不等式求解．【詳解】（1）已知拋物線上的點到焦點的距離的5所以，解得，故拋物線方程為，所以，則，所以點的坐標(biāo)為；（2）設(shè)，，，，，

由于A，F(xiàn)，M三點共線，故，即，同理B，F(xiàn)，N三點共線，，故直線的方程為：，即，，，由得，所以，，所以直線的方程為：，即，直線恒過定點，注意到，所以，設(shè)，，則：，，因此，所以的最小值為，此時.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．18．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點為，過的直線交于，兩點（其中點在第一象限），過點作的切線交軸于點，直線交于另一點，直線交軸于點.(1)求證：；(2)記，，的面積分別為，，，當(dāng)點的橫坐標(biāo)大于2時，求的最小值及此時點的坐標(biāo).【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，此時點的坐標(biāo)為【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定直線斜率，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，把所證等式轉(zhuǎn)化為比例式，利用相似比轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之比，即可得證；（2）對的面積可以采用分割法轉(zhuǎn)化為兩三角形面積之差，最后將表達(dá)式進(jìn)行化簡，借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性進(jìn)而確定最值.【詳解】（1）設(shè)點，則.因為點在第一象限，可設(shè)函數(shù)，則，所以，所以直線方程為，令，則，即點.設(shè)直線，與聯(lián)立得，所以，同理.因為，，所以，則，設(shè)直線，與聯(lián)立得，又因為直線與拋物線交于兩點，所以.因為點，所以，代入拋物線，又因為在第四象限，可知.因為，，所以，即，原命題得證.（2）由（1）知，所以，得，即.所以，另由（1）知，，，所以，即；，，設(shè)函數(shù)，，則.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取得最小值為，此時點的坐標(biāo)為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個：一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率；二是把目標(biāo)式表示出來后，利用導(dǎo)數(shù)求解最值.19．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為為雙曲線的右支上一點，點關(guān)于原點的對稱點為，滿足，且.(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線過點，過圓上一點作圓的切線，直線交雙曲線于兩點，且的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意，由雙曲線的定義結(jié)合余弦定理列出方程，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分直線的斜率不存在與存在討論，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由對稱性可知：，故，由雙曲線定義可知：，即，所以，又因為，在中，由余弦定理得：，即，解得：，故離心率為.（2）

因為雙曲線過點，所以雙曲線方程：當(dāng)直線的斜率不存在時，則直線的斜率不存在時不成立.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為又點到直線距離，聯(lián)立，消去得，則，由的面積為，即，將代入上式得，或，即或，經(jīng)檢驗，滿足，直線的方程為：或【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，以及直線與雙曲線相交問題，難度較難，解答本題的關(guān)鍵在于聯(lián)立直線與雙曲線方程表示出，結(jié)合面積公式列出方程.20．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓，下頂點為是橢圓上任意一點，過點作軸的平行線與直線交于點，若點關(guān)于點的對稱點為，直線交橢圓于兩點.(1)求橢圓上點到直線的距離的最大值；(2)已知．過點作垂直直線，垂足為，是否存在定點，使得為定值，若存在求出定點坐標(biāo)和，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在定點，使得.【分析】（1）設(shè)橢圓任意一點，結(jié)合點到直線的距離公式，求得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）設(shè)直線的斜率分別為，得到，以為原點，軸仍為軸建立直角坐標(biāo)系，把橢圓的方程轉(zhuǎn)化為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，求得的值，進(jìn)而得到過定點，求得的中點為及，結(jié)合直角三角形性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由點是橢圓上的任意一點，可設(shè)，則點到直線的距離為，其中且，當(dāng)時，可得，所以，即橢圓上點到直線的最大距離為.（2）解：由題意，可得點，設(shè)直線的斜率分別為，且，則，則，可得，平移坐標(biāo)系，以為原點，軸仍為軸建立直角坐標(biāo)系，則，則橢圓的方程變?yōu)?，設(shè)直線的方程為，可得，所以，所以，可得，所以直線的方程為，經(jīng)過定點，即，所以直線過定點，又由，可得的中點為，且，中直角中，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得，即存在定點，使得.

21．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點為，點A，B在橢圓C上，點到直線的距離為，且的內(nèi)心恰好是點D．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知O為坐標(biāo)原點，M，N為橢圓上不重合兩點，且M，N的中點H在直線上，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)橢圓的左焦點為，則，再根據(jù)的內(nèi)心恰好是點D，可得軸，求出直線的方程，再根據(jù)點到直線的距離求得即可得解；（2）設(shè)，利用點差法求得直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再利用弦長公式求出，利用點到直線的距離公式求出點直線的距離，再利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的左焦點為，則，故點到直線的距離等于，因為的內(nèi)心恰好是點D，所以點到直線的距離相等且為，則即為點到直線的距離，所以，即軸，由，令，則，不妨取，則，故直線的方程為，即，則點到直線的距離為，即，又，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，則，因為M，N為橢圓上不重合兩點，則有，兩式相減得，則，即，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，解得，所以，，則，原點到直線的距離，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以面積的最大值為．

【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓C：與y軸交于，兩點，橢圓上異于A，B兩點的動點D到A，B兩點的斜率分別為，，已知．(1)求橢圓C的方程；(2)過定點與動點D的直線，與橢圓交于另外一點H，若AH的斜率為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）取在橢圓上，代入得，再計算的表達(dá)式即可求出值；（2）取的方程為,其中，聯(lián)立橢圓方程得，設(shè)，則得到韋達(dá)定理式，計算得，再計算，再設(shè)函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)即可求出范圍.【詳解】（1）取在橢圓上,,又，，橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為,其中,將直線方程帶入得,,其判別式為,或，取為交點,,,又,,取,，令，解得，令，，在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又的值域為,即的取值范圍為.當(dāng)直線的斜率不存在時，則點關(guān)于軸對稱，則，綜上的取值范圍為.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是采取設(shè)線法，設(shè)，為了簡便運算令，從而得到韋達(dá)定理式，首先計算，在化簡代入韋達(dá)定理式得，再計算，最后設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其范圍即可.23．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知橢圓E：，橢圓上有四個動點A，B，C，D，，AD與BC相交于P點.如圖所示.

(1)當(dāng)A，B恰好分別為橢圓的上頂點和右頂點時，試探究：直線AD與BC的斜率之積是否為定值？若為定值，請求出該定值；否則，請說明理由；(2)若點P的坐標(biāo)為，求直線AB的斜率.【答案】(1)是定值，定值為(2)【分析】（1）由題意求出直線的斜率，再求可設(shè)直線CD的方程為，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后求解即可；（2）設(shè)，，，記，表示出點的坐標(biāo)，將A，D兩點的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡得，再由可得，從而可得，進(jìn)而可得直線的方程，則可求出其斜率.【詳解】（1）由題意知，，，所以，，所以，設(shè)直線CD的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線CD與橢圓的方程，整理得，由，解得，且，則，，所以，故直線AD與BC的斜率之積是定值，且定值為.（2）設(shè)，，，記()，得.所以.又A，D均在橢圓上，所以，化簡得，因為，所以，同理可得，即直線AB：，所以AB的斜率為.【點睛】關(guān)鍵點睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線CD的方程，代入橢圓方程中消元化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用直線的斜率公式表示出，結(jié)合前面的式子化簡計算可得結(jié)果，考查計算能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.24．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在中，點.圓是的內(nèi)切圓，且延長線交于點，若.(1)求點的軌跡的方程；(2)若橢圓上點處的切線方程是，①過直線上一點引的兩條切線，切點分別是，求證：直線恒過定點；②是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)①證明見解析；②存在實數(shù)【分析】（1）抓住內(nèi)切圓的性質(zhì)找到等量關(guān)系，再由定義法即可求結(jié)果；（2）①通過題設(shè)發(fā)現(xiàn)切點的坐標(biāo)滿足一個同構(gòu)方程，從而得出直線的方程求出過的定點；②涉及到直線與圓錐曲線相交的問題，若用的是代數(shù)法，一般是聯(lián)立方程化簡，結(jié)合韋達(dá)定理將所求表達(dá)出來再進(jìn)化簡轉(zhuǎn)化等，注意設(shè)而不求的思想方法【詳解】（1）解：據(jù)題意，，從而可得，由橢圓定義知道，的軌跡為以為焦點的橢圓，所以所求的橢圓的方程為.（2）解：①設(shè)切點坐標(biāo)為，直線上的點的坐標(biāo)，則切線方程分別為，又兩切線均過點，即，從而點的坐標(biāo)都適合方程，而兩點之間確定唯一的一條直線，故直線的方程是，顯然對任意實數(shù)，點都適合這個方程，故直線恒過定點.②將直線的方程，代入橢圓方程，得，即，不妨設(shè)，同理.所以故存在實數(shù)，使得.25．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的離心率為2，右焦點與拋物線的焦點重合，雙曲線的左、右頂點分別為，，點為第二象限內(nèi)的動點，過點作雙曲線左支的兩條切線，分別與雙曲線的左支相切于兩點，，已知，的斜率之比為.

(1)求雙曲線的方程；(2)直線是否過定點？若過定點請求出定點坐標(biāo)，若不過定點請說明理由.(3)設(shè)和的面積分別為和，求的取值范圍.參考結(jié)論：點為雙曲線上一點，則過點的雙曲線的切線方程為.【答案】(1)(2)過定點，定點坐標(biāo)為(3)【分析】（1）由條件確定雙曲線的焦點位置，設(shè)其方程，再列出關(guān)于的方程，解方程可得雙曲線方程，（2）設(shè)，由條件，的斜率之比為可得，設(shè)，，，結(jié)合所給結(jié)論求切線，方程，由此可得直線的方程，由此判斷結(jié)論；（3）先證明，設(shè)，結(jié)合設(shè)而不求法表示，再通過換元，利用函數(shù)的單調(diào)性求其取值范圍.【詳解】（1）由已知雙曲線為焦點在軸上，中心為原點的雙曲線，設(shè)其方程為，因為雙曲線的離心率為2，所以，，又雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的焦點坐標(biāo)為，所以，所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）知，，設(shè)，所以，，因為，的斜率之比為，即，解得，所以點在直線上，設(shè)，，，則切線方程為：，則切線方程為：，因為點既在直線上又在直線上，即：，，所以直線的方程為：，化簡可得，所以直線過定點；

（3）由（2）得直線過定點，所以，，，所以，點到直線的距離為點到直線的距離的3倍，所以，，因為，所以，，若直線的斜率為，則直線與雙曲線的左支的交點為與已知矛盾，若直線的斜率不存在，則直線的方程為，直線與雙曲線的交點坐標(biāo)為，故切線的方程為，切線的方程為，此時點的坐標(biāo)為，與點在第二象限矛盾，設(shè)，將代入雙曲線中得，由已知，方程的判別式，所以，，，由已知，所以，，所以，，化簡可得，又，所以或，所以的取值范圍為所以令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，的取值范圍為.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決直線與雙曲線的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、雙曲線的條件；(2)強化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．26．（2023·湖北恩施·校考模擬預(yù)測）已知是橢圓的左右焦點，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點為，若三角形的面積為1，其內(nèi)切圓的半徑為．(1)求橢圓的方程；(2)已知A是橢圓的上頂點，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，點在第二象限，直線分別與軸交于，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)三角形的面積及內(nèi)切圓的半徑列出方程組求得得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，，寫出直線的方程求出的坐標(biāo)，并求出，，將表示為的函數(shù)，使用基本不等式求最大值.【詳解】（1）由題意知，則，又，則，又，解得，所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組，可得，則，直線的方程：，所以，同理，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，四邊形的面積最大，最大值為4．【點睛】關(guān)鍵點點睛：求四邊形的面積最大值，首先要選擇合適的面積公式，這是非常規(guī)四邊形，使用的面積公式為，為此計算，代入轉(zhuǎn)化為的函數(shù)求最大值.27．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓E：．若直線l：與橢圓E交于A、B兩點，交x軸于點F，點A，F(xiàn)，B在直線：上的射影依次為點D，K，G．(1)若直線l交y軸于點T，且，，當(dāng)m變化時，探究的值是否為定值？若是，求出的值；否則，說明理由；(2)連接AG，BD，試探究當(dāng)m變化時，直線AG與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標(biāo)，并給予證明：否則，說明理由．【答案】(1)是，(2)存在，定點．【分析】（1）設(shè)直線交橢圓于，聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，并結(jié)合及，可得到的表達(dá)式，進(jìn)而可證明；（2）令，可知直線與相交于，進(jìn)而討論時，直線與也相交于即可.【詳解】（1）易知，且直線l與y軸的交點為，設(shè)直線l交橢圓于，．聯(lián)立，得．所以．所以，，又．可得．所以．又.同理可得．所以，因為．所以．（2）若，則直線l為．此時四邊形ABGD為矩形，根據(jù)對稱性可知直線AG與BD相交于F，K的中點N，易知