內(nèi)蒙古自治區(qū)鄂爾多斯市2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中理科試題含解析

Page20內(nèi)蒙古自治區(qū)鄂爾多斯市2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中理科試題注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號、考生號寫在答題卡上.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．作答時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡集合、，再去求即可解決.【詳解】，則故選：B2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分別求得，再去求即可解決.【詳解】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的模，則故選：B3.下列說法正確的是（）A.命題“若，則”的否命題為“若，則”B.“”是“”的必要不充分條件C.命題“，”的否定是“，”D.已知命題“，”是假命題，則的取值范圍是【答案】D【解析】【分析】由否命題可判斷A；通過解方程可判斷B；由特稱命題的否定可判斷C；將命題轉(zhuǎn)化為恒成立，進而可判斷D.【詳解】對于選項A：命題“若，則”的否命題為“若，則”，故A錯誤；對于選項B：由，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件，故B錯誤；對于選項C：，“，”的否定是“，”，故C錯誤；對于選項D：因為命題“，”是假命題，所以對恒成立，所以恒成立.因為，所以，則，故，故D正確.故選：D.4.向量與共線，向量與垂直，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線公式可得，根據(jù)垂直的坐標公式可得，再根據(jù)數(shù)量積的坐標公式求解即可.【詳解】與共線則，解得，與垂直則，解得.故，，故.故選：B5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的各條棱中，最長的棱與最短的棱所在直線所成角的正切值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三視圖的數(shù)據(jù)，畫出原幾何體的直觀圖，利用平移法即可求解異面直線所成角的正切．【詳解】解：如圖，由三視圖還原幾何體為三棱錐，由圖可知最長的棱為長方體的體對角線，最短的棱為，異面直線與所成的角為，由三視圖可得，，所以，即最長的棱與最短的棱所在直線所成角的正切值為.故選：C．6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題首先根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式，化簡得出，再根據(jù)平移的左正右負的原則得到的解析式，最后得到的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，，，，，，，將函數(shù)向左平移單位的解析式是，令,，結(jié)合所給的選項，令，則的一個增區(qū)間為，故選：B7.若項數(shù)為的等比數(shù)列的中間兩項正好是方程的兩個根，則此數(shù)列的各項積是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)可得，結(jié)合韋達定理可得其各項積.【詳解】項數(shù)為的等比數(shù)列的中間兩項為，它們正好是方程的兩個根，所以，由韋達定理可知，又由等比數(shù)列性質(zhì)可得，所以，此數(shù)列的各項積為.故選：C.8.如圖，在三棱錐中，點，，分別是，，的中點，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運算、三角形的中位線及線段中點的向量表示進行化簡求解.【詳解】如圖，連接，因為點，分別是，的中點，所以.因為點是的中點，所以.因為點是的中點，所以，則.故選：D.9.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：，，，據(jù)此可得：.本題選擇D選項.點睛：對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準確．10.已知在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，取AC的中點D，連接BD，SD，則可得為二面角的平面角，得，過點D作與平面垂直的直線，則球心O在該直線上，設(shè)球的半徑為R，連接OB，OS，然后在△OSD中利用余弦定理可求出R，從而可求得球的表面積.【詳解】如圖，取AC的中點D，連接BD，SD，因為，，所以，所以為二面角的平面角，所以，因為AB⊥BC，，所以，因為，所以，過點D作與平面ABC垂直的直線，則球心O在該直線上，設(shè)球的半徑為R，連接OB，OS，可得，在△OSD中，∠ODS＝，利用余弦定理可得，解得R2＝，所以其外接球的表面積為.故選：D11.對任意兩個非零的平面向量，定義，若平面向量滿足，的夾角，且和都在集合中，則=（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可可設(shè)，，，，得，對，進行賦值即可得出，的值，進而得出結(jié)論．【詳解】解：，故．又由，可設(shè)，，令，，且又夾角，所以，對，進行賦值即可得出所以．故選：C．12.設(shè)函數(shù)．若存在的極值點滿足，則m的取值范圍是A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】由題意知：的極值為，所以，因為，所以，所以即，所以，即3，而已知，所以3，故，解得或，故選C.考點：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究的極值，考查三角函數(shù)，考查一元二次不等式的解法，考查分析問題與解決問題的能力.第II卷二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若滿足約束條件則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】作出可行域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義可知當(dāng)時，.【詳解】不等式組表示的可行域是以為頂點的三角形區(qū)域，如下圖所示，目標函數(shù)的最大值必在頂點處取得，易知當(dāng)時，.【點睛】線性規(guī)劃問題是高考中?？伎键c，主要以選擇及填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件求目標函數(shù)的最值，主要結(jié)合方式有：截距型、斜率型、距離型等.14.若，則__________.【答案】【解析】【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把1換成，，分子分母同時除以，最后把的值代入即可求得答案．【詳解】即答案為.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值．解題的關(guān)鍵是把原式中的弦轉(zhuǎn)化成切，利用已知條件求得問題的解決．15.函數(shù)（）的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】將所給函數(shù)的解析式變形為，再結(jié)合，并根據(jù)基本不等式求解即可得到結(jié)論．【詳解】由題意得，∵，∴．又，∴．∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．∴函數(shù)的最小值為．故答案為：.【點睛】（1）使用基本不等式求最值時，注意使用的前提是“一正、二定、三相等”，且這三個條件缺一不可．（2）在運用基本不等式時，若條件不滿足使用的條件，則要注意通過“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足重要不等式中“正”“定”“等”的條件．16.已知函數(shù)，若方程有8個相異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是_________________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖像，進而數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，再結(jié)合二次函數(shù)零點分布求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖像，如圖：令，因為方程有8個相異的實數(shù)根，所以方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，故令，則函數(shù)在區(qū)間上有兩個不相等的零點.所以，即，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：三．解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的證明過程或演算步驟．17.在中，已知．（1）求的大??；（2）若，求cosB和a的值．【答案】（1）或（2），【解析】【分析】（1）由可求，再由，用正弦定理算出，可得.（2），結(jié)合已知條件可求值，再用余弦定理求a的值.【小問1詳解】△ABC中，因為，所以．由正弦定理得：，

所以．所以或．【小問2詳解】，則，所以（舍去）．此時，，，，所以．即．由余弦定理得：，即，由，解得：.18.已知函數(shù)=4tanxsin（）cos（）.（Ⅰ）求f（x）的定義域與最小正周期；（Ⅱ）討論f（x）在區(qū)間[]上的單調(diào)性.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）先利用誘導(dǎo)公式、兩角差余弦公式、二倍角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)：，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求定義域、最小正周期；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，研究函數(shù)f（x）在區(qū)間[]上單調(diào)性.試題解析：（Ⅰ）的定義域為..所以,的最小正周期（Ⅱ）令函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是由,得設(shè)，易知.所以,當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.【考點】三角函數(shù)性質(zhì)，誘導(dǎo)公式、兩角差余弦公式、二倍角公式【名師點睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和與差的正、余弦公式、二倍角公式、輔助角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓?，是解決三角問題的關(guān)鍵，明確角的范圍，開方時正負取舍是解題正確的保證.對于三角函數(shù)來說，常常是先化為y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．三角恒等變換要堅持結(jié)構(gòu)同化原則，即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等，其中切化弦也是同化思想的體現(xiàn)；降次是一種三角變換的常用技巧，要靈活運用降次公式．19.已知數(shù)列與的前項和分別為，，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2），若恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系求出和，證明是等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式.（2）化簡，利用裂項相消法求出，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可求出的取值范圍.【小問1詳解】由題意，，在數(shù)列中，當(dāng)時，，解得或．∵∴．∵∴．兩式相減得．∴．∵，∴．即數(shù)列是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列，∴即【小問2詳解】由題意及（1）得，，在數(shù)列中，在數(shù)列中，∴．∴．∵恒成立，∴．∴的取值范圍為20.已知四棱錐，底面是、邊長為2的菱形，又，且，點分別是的中點．（1）證明：DN//平面PMB；（2）證明：平面PMB平面PAD；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明過程見詳解（2）證明過程見詳解（3）【解析】分析】（1）作輔助線，利用線面平行判定定理證明（2）作輔助線證明平面，進而證明面面垂直（3）建立直角坐標系，求出兩個平面的法向量，進而求出二面角的余弦值.【小問1詳解】取中點，連接，因為點分別是的中點，所以且又因為底面是菱形，所以，所以所以四邊形為平行四邊形，則.因為平面，平面，所以平面【小問2詳解】連接，因為底面是、邊長為2的菱形，所以為等邊三角形，所以因為，且平面，所以又因為，所以平面，又因為平面所以平面平面.【小問3詳解】以為原點，分別為軸，過點作的平行線為軸建立空間直角坐標系.令，則，由（2）知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則所以由圖可知二面角的為銳角，所以余弦值為.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）用表示中的最大值，設(shè)函數(shù)，討論零點的個數(shù).【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時，在上無零點；當(dāng)或時，在上有一個零點；當(dāng)時，在上有兩個零點.【解析】【分析】（1）對參數(shù)進行分類討論，即可由導(dǎo)數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)的定義，利用導(dǎo)數(shù)分區(qū)間討論在上的零點分布情況.【詳解】（1），故可得，當(dāng)時，在上恒成立，故此時在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，故容易得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）①當(dāng)時，，，顯然此時沒有零點；②當(dāng)時，，若，，故是的零點；若，，故不是的零點；③當(dāng)時，，所以在上的零點個數(shù)，即為在上的零點個數(shù).在上的零點個數(shù)，等價于在上實數(shù)根的個數(shù).令，故可得，故容易得在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.且.故當(dāng)或時，在沒有零點；當(dāng)或，在有一個零點；當(dāng)時，在有個零點.綜上所述：當(dāng)時，在上無零點；當(dāng)或時，在上有一個零點；當(dāng)時，在上有兩個零點.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，以及求解函數(shù)零點的個數(shù)，屬綜合困難題.22.在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系．曲線的極坐標方程為．（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程：（2）設(shè)直線與曲線交于點,若點坐標為,求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）消去參數(shù)可得