七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題4.8 線段大小比較（知識(shí)講解）-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（人教版）

/專題4.8線段大小比較（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、經(jīng)歷疊合法比較兩條線段的大小關(guān)系的過程，并會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示它們的大小關(guān)系；2、會(huì)用直尺、圓規(guī)等學(xué)習(xí)工具畫線段，初步體會(huì)用作圖語言敘述畫法；3、能用線段表示和差倍分關(guān)系，并能計(jì)算線段的數(shù)量關(guān)系；4、理解中點(diǎn)定義，并進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。【要點(diǎn)梳理】【知識(shí)點(diǎn)一】線段大小比較比較線段大小的方法：（1）目測法；（2）度量法；（3）疊合法疊合比較法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個(gè)端點(diǎn)重合，另一個(gè)端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來比較長短．如下圖：

特別說明：線段的比較方法除了疊合比較法外，度量比較法也是常用的方法．【知識(shí)點(diǎn)二】尺規(guī)作圖【定義】僅用圓規(guī)和沒有刻度的直尺作圖的方法叫做尺規(guī)作圖特別說明：（1）只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題．（2）直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來將兩個(gè)點(diǎn)連在一起，不可以在上面畫刻度．（3）圓規(guī)可以開至無限寬，但上面也不能有刻度.它只可以拉開成之前構(gòu)造過的長度．【方法】作一條線段等于已知線段“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：【方法一】尺規(guī)作圖：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝a，則線段AB為所求；這是考試中?？键c(diǎn)?！痉椒ǘ慷攘孔鲌D：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個(gè)長度的線段．特別說明：幾何中連結(jié)兩點(diǎn)，即畫出以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段.常見的線段和差倍分作圖有以下幾種：（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一條線段等于已知線段的幾倍或幾分之一；（3）作一條線段等于已知線段的和或差?！局R(shí)點(diǎn)三】線段的和與差如下圖：線段AB上有一點(diǎn)C，則AC+BC=AB；AC=AB-BC;BC=AB-AC，在這里線段AC、BC、AB表示線段的長度，如AC+BC=AB表示AC長度與BC長度之和等于AB長度?！局R(shí)點(diǎn)四】線段的中點(diǎn)【定義】線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則，或AB＝2AC＝2BC．特別說明：若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C一定在線段AB上．【典型例題】知識(shí)點(diǎn)一、線段的和與差1．如圖，點(diǎn)在線段上.按要求完成下列各小題.(1)尺規(guī)作圖：在圖中的線段的延長線上找一點(diǎn)，使得；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，圖中共有______條線段，比較線段大?。篲_____（填“>”“<”或“=”）；(3)在（1）的基礎(chǔ)上，若，，求線段的長度.【答案】(1)作圖見分析(2)6；(3)【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；（2）根據(jù)線段的定義，判斷即可；（3）利用線段和差定義解決問題即可．（1）解：如圖，線段CD即為所求；（2）解：圖中共有6條線段，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故答案為：6，＝；（3）解：由（1）知AB＝CD．因?yàn)锽C＝2AB，所以BC＝2CD，所以BD＝BC+CD＝3CD＝6，所以CD＝2＝AB，所以AD＝2+6＝8．【點(diǎn)撥】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，直線，射線，線段的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解直線，射線，線段的定義．舉一反三：【變式1】如圖：A、B、C、D四點(diǎn)在同一直線上．(1)若AB＝CD．①比較線段的大?。篈CBD（填“＞”、“＝”或“＜”）；②若BC＝AC，且AC＝12cm，則AD的長為cm；(2)若線段AD被點(diǎn)B、C分成了3∶4∶5三部分，且AB的中點(diǎn)M和CD的中點(diǎn)N之間的距離是16cm，求AD的長．【答案】(1)①=；②15(2)24cm【分析】（1）①由已知同加BC即得答案；②求出BC和AB，根據(jù)AB=CD得到CD，即可得到AD；（2）根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)，，，根據(jù)線段的和差關(guān)系求得，根據(jù)題意列出方程進(jìn)而即可求解．解：(1)①∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，故答案為：=；②∵BC=AC，AC=12cm，∴BC=9cm，∴AB=AC-BC=3cm，∵AB=CD，∴CD=3cm，∴AD=AC+CD=15cm；故答案為：15；(2)如圖，線段AD被點(diǎn)B、C分成了3∶4∶5三部分，設(shè)，，AB的中點(diǎn)M和CD的中點(diǎn)N之間的距離是16cm，，解得，cm．【點(diǎn)撥】本題考查了線段的和差計(jì)算，線段的中點(diǎn)的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知線段，點(diǎn)在線段上，且．(1)求線段，的長；(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)，，重合，線段的中點(diǎn)為，設(shè)①請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示線段，的長；②若三個(gè)點(diǎn)，，中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則稱，，三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出使得，，三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的的值．【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm(2)①或，；②6或12【分析】（1）由可得，，從而可求得AC、CB的長；（2）①分點(diǎn)P在線段AC上和點(diǎn)P在線段CB上兩種情況分別計(jì)算即可；②分點(diǎn)P在線段AC上和點(diǎn)P在線段CB上兩種情況列方程，可求得m的值．解：(1)∵，點(diǎn)在線段上，且∴，(2)∵M(jìn)為線段的中點(diǎn)∴①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，則MP=PC∴解得：m=6當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，則MC=PC∴解得：m=12綜上所述，m=6或12【點(diǎn)撥】本題考查了求線段長度，線段中點(diǎn)的意義及線段的和差，掌握線段中點(diǎn)的意義、線段的和差是解題的關(guān)鍵．注意（2）小題要分類討論．知識(shí)點(diǎn)二、線段中點(diǎn)2．如圖所示，長度為12cm的線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)M，點(diǎn)C將線段MB分成，求線段AC的長度.【答案】8cm【分析】設(shè)MC=xcm，由MC：CB=1：2得到CB=2xcm，則MB=3x，根據(jù)M點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，AB=12cm，得到AM=MBAB12=3x，可求出x的值，又AC=AM+MC=4x，即可得到AC的長．解：設(shè)MC=xcm，則CB=2xcm，∴MB=3x．∵M(jìn)點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，AB=12cm，∴AM=MBAB12=3x，∴x=2，而AC=AM+MC，∴AC=3x+x=4x=4×2=8（cm）．故線段AC的長度為8㎝．【點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)間的距離：兩點(diǎn)的連線段的長叫兩點(diǎn)間的距離．也考查了方程思想的運(yùn)用．舉一反三：【變式1】如圖，已知點(diǎn)在同一直線上，分別是的中點(diǎn)．（1）若，求的長；（2）若，求的長；（3）若，求的長；（4）從（1）（2）（3）的結(jié)果中能得到什么結(jié)論？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）線段的長度等于線段的一半，與點(diǎn)的位置無關(guān).【分析】（1）先求解再利用中點(diǎn)的含義求解再利用線段的差可得答案；（2）先利用含的代數(shù)式再利用中點(diǎn)的含義，用含的代數(shù)式再利用線段的差可得答案；（3）先利用含的代數(shù)式再利用中點(diǎn)的含義，用含的代數(shù)式再利用線段的差可得答案；（4）由（1）（2）（3）總結(jié)出結(jié)論即可.解：（1），分別是的中點(diǎn)，（2），分別是的中點(diǎn)，（3），分別是的中點(diǎn)，（4）由（1）（2）（3）的結(jié)果中可得：線段的長度等于線段的一半，與點(diǎn)的位置無關(guān).【點(diǎn)撥】本題考查的是線段的中點(diǎn)的含義，線段的和差關(guān)系，掌握利用線段的中點(diǎn)及線段的和差關(guān)系求解線段的長度是解題的關(guān)鍵.【變式2】如圖，已知點(diǎn)，在線段上，且，，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求線段的長．【答案】【分析】根據(jù)可設(shè)，，，則可得到，易求得的長，從而得到的長度，由是線段的中點(diǎn)，得DM的長度，則代入即可求解．解：設(shè)，，由題意：，解得，，，，．是線段中點(diǎn)，．．【點(diǎn)撥】本題考查線段的中點(diǎn)，線段的和差，掌握中點(diǎn)的性質(zhì)和線段的和差關(guān)系為解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)三、尺規(guī)作圖-作線段3．作圖：已知線段a、b，畫一條線段使它等于2a﹣b．（要求：用尺規(guī)作圖，并寫出已知、求作、結(jié)論，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見分析【分析】可先畫出一條線段等于2a，然后再在這條線段上截去b，剩余線段即為所求線段．解：如圖所示AC=2a﹣b，【點(diǎn)撥】本題考查有關(guān)線段的基本作圖，相加在原來線段的延長線上畫出另一條線段，相減在較長的線段上截去．舉一反三：【變式1】如圖，已知線段，用尺規(guī)作一條線段，使它等于．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】圖見分析【分析】利用尺規(guī)畫線段的方法去作圖．解：如圖，先用圓規(guī)“量出”線段a的長度，畫出兩段a，再用圓規(guī)“量出”線段b的長度，接著剛才的線段畫出線段b，就得到線段，再“量出”線段c，圓規(guī)一端抵在線段最左端畫一個(gè)弧，得到線段c，此時(shí)圖上的線段AB就等于．【點(diǎn)撥】本題考查尺規(guī)畫線段以及線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖的方法．【變式2】尺規(guī)作圖：如圖，已知線段a、b，作一條線段，使它等于2a﹣b．（保留作圖痕跡）【答案】見分析【分析】根據(jù)題意可先畫出一條線段等于2a,然后再在這條線段上截去b,剩余線段即為所求線段.解：如圖,線段AD即為所求【點(diǎn)撥】本題主要考查有關(guān)線段作圖方法,根據(jù)線段基本作圖方法:相加在原來線段延長線上畫出另一條線段,相減在較長的線段上截去,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握線段基本作圖方法.知識(shí)點(diǎn)四、線段的應(yīng)用4．如圖，點(diǎn)在線段上，是線段的中點(diǎn)．（1）在線段上，求作點(diǎn)，使．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，，①若，求的長；②若點(diǎn)在線段上，且，請(qǐng)你判斷點(diǎn)是哪條線段的中點(diǎn)，并說明理由．【答案】（1）見詳解；（2）①②E是線段CD的中點(diǎn)，理由見詳解【分析】（1）以C為圓心AC為半徑畫弧交CO于點(diǎn)F,再以F為圓心AC為半徑畫弧交CO于點(diǎn)E,則E點(diǎn)即為所求；（2）①先根據(jù)是線段的中點(diǎn)得出，然后再根據(jù)，得出，則，則AC可求；②根據(jù)可以推出，即則說明E是線段CD的中點(diǎn)．解：（1）如圖（2）①∵是線段的中點(diǎn)∴∵，∴∴∴∴∴②E是線段CD的中點(diǎn)，理由如下：∵∴∵∴即∵∴∴即∴E是線段CD的中點(diǎn)【點(diǎn)撥】本題主要考查線段的尺規(guī)作圖及線段的和與差，表示出線段的和與差是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知:如圖，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，（1）若線段，，，求的值；（2）如圖1，在（1）的條件下，求線段的長；（3）如圖2，若，，求線段的長.【答案】(1)20；(2)6；(3)5.1.【分析】(1)因?yàn)椋鶕?jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性可以得出，即可求出的值.(2)由(1)知，AB=16，CE=4，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則能求出AC,AE,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),即可求出DE.(3)因?yàn)?，設(shè)BE=x，即可以表示出AD=2x=DE，所以列方程即可以求解.解：(1)∵∴，，，.(2)由(1)知：，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)∴又∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)∴.∴(3)由題知：設(shè)BE=，則AD=DE=2x【點(diǎn)撥】本題主要考查的是線段中點(diǎn)的性質(zhì)，正確的計(jì)算和熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想推出線段之間的關(guān)系.【變式2】【操作】結(jié)合圖形，完成以下填空：（1）點(diǎn)在線段AB上，如圖1，圖中有______條線段；（2）點(diǎn)，在線段AB上，如圖2，圖中有______條線段；（3）點(diǎn)，，在線段AB上，如圖3，圖中有______條線段；【猜想】點(diǎn)，，，……，在線段AB上，如圖4，圖中有___________條線段（用含n的代數(shù)式表示）【應(yīng)用】春節(jié)期間，10位同學(xué)之間互通電話（每兩位同學(xué)之間只通一次電話）祝福，求10位同學(xué)之間通電話的次數(shù)．【答案】操作：（1）3；（2）6；（3）10；