同濟大學線性代數(shù)課件第四章

§1向量組及其線性組合定義1：n個數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為一個n維向量，這n個數(shù)稱為該向量的n個分量，第i個數(shù)稱為第i個分量。這里定義的n維向量就是指行(或列)矩陣。10/7/20231§1向量組及其線性組合定義1：n個數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為稱為行向量。稱為列向量。10/7/20232稱為行向量。稱為列向量。10/6/20232例.

3維向量的全體所組成的集合通常稱為3維Euclid幾何空間。稱為R3

中的一個平面。集合10/7/20233例.3維向量的全體所組成的集合通常稱為3維Euc稱為n維Euclid空間Rn中的n-1維超平面。集合稱為n維Euclid空間。例.n維向量的全體所組成的集合10/7/20234稱為n維Euclid空間Rn中的n-1維超平面。集例.非齊次線性方程組的解集合齊次線性方程組的解集合10/7/20235例.非齊次線性方程組的解集合齊次線性方程組的解集合10/m×n陣A的列向量組:行向量組:

同一維數(shù)的列向量(或行向量)所組成的集合稱為向量組。10/7/20236m×n陣A的行向量組:同一維數(shù)的列向量(或行§2向量組的線性相關性定義1：設向量組及一組實數(shù)稱為向量組A的一個線性組合，稱為線性組合的系數(shù)。表達式10/7/20237§2向量組的線性相關性定義1：設向量組及一組實數(shù)稱為向量定義2：設向量組和向量b若存在一組實數(shù)使得則稱向量b是向量組A的一個線性組合，或稱向量b能由向量組A線性表示。10/7/20238定義2：設向量組和向量b若存在一組實數(shù)使得則稱向量b是例如：則b能由線性表示.解方程組既解方程組10/7/20239例如：則b能由線性表示.解方程組既解方程組10/6/20所以，得10/7/202310所以，得10/6/202310記10/7/202311記10/6/202311則方程組的向量表示為10/7/202312則方程組的向量表示為10/6/202312定理1:向量b可由向量組線性表示有解，其中10/7/202313定理1:向量b可由向量組則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向量組B能相互線性表示，若B組中的每一個向量都能由向量組A線性表示，定義3:設向量組及則稱向量組A與向量組B等價。10/7/202314則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向B能由A線性表示10/7/202315B能由A線性表示10/6/202315定理2:向量組能由線性表示有解，其中10/7/202316定理2:向量組定理3:向量組能由線性表示，則R(B)≤

R(A)。其中證：根據(jù)定理2有R(A)=

R(A,B)而R(B)≤

R(A,B)，因此R(B)≤

R(A)。

10/7/202317定理3:向量組定義4：10/7/202318定義4：10/6/202318n維向量組線性相關定理4:推論：n維向量組線性無關10/7/202319n維向量組例2:試討論向量組及向量組的線性相關性.10/7/202320例2:試討論向量組及解：設即系數(shù)行列式齊次線性方程組有非零解，所以向量線性相關向量對應分量不成比例，所以線性無關。10/7/202321解：設即系數(shù)行列式齊次線性方程組有非零解，所以向量例3:n維向量討論它們的線性相關性.結論:線性無關解:上述向量組又稱基本向量組或單位坐標向量組.問題:n=3時,分別是什么？10/7/202322例3:n維向量討論它們的線性相關性.結論:線性無關解:一些結論：一個零向量線性相關,一個非零向量線性無關；(2)兩個向量線性相關當且僅當它們的對應分量成比例;

(3)一個向量組線性無關，則增加其中每個向量的分量所得新向量組仍線性無關。(4)向量組線性相關當且僅當向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示。10/7/202323一些結論：一個零向量線性相關,(2)兩個向量線性相則向量組也線性相關。則向量組也線性無關。若向量組線性相關，定理5-1：定理5-2：m個n維向量(m>n)構成的向量組一定線性相關.特別地,n+1個n維向量線性相關.若向量組線性無關，推論：定理5-3：向量組線性無關,向量組線性相關,則b

能由向量組A線性表示，且表示式唯一.10/7/202324則向量組也線性相關。則向量組也線性無關。若向量組線性相關，定例4：已知向量線性無關，向量可以由向量線性表示，并且證明：線性無關的充要條件是R(K)=3證：線性無關。設Kx

=0，其中則故x

=0，即Kx

=0只有零解，于是R(K)=3=010/7/202325例4：已知向量線性無關，向量可以由向量線性表示，并且證明：線=0故Kx

=0，而R(K)=3，于是x

=0，10/7/202326=0故Kx=0，而R(K)=3，于是x=例5：已知向量線性無關，證明：向量線性無關。證：線性無關。10/7/202327例5：已知向量線性無關，證明：向量線性無關。證：線性無關。1§3向量組的秩定義1:簡稱最大無關組,r稱為向量組A的秩，記作RA（ii）A的任意向量都可由A0線性表示.線性無關,（i）那么稱部分組為向量組A的一個最大線性無關組，設A為一個向量組，A的部分組

滿足：向量組

的秩也記作10/7/202328§3向量組的秩定義1:簡稱最大無關組,r稱為向量組注:（1）只含零向量的向量組沒有最大無關組，規(guī)定秩為0。（2）一個線性無關向量組的最大無關組就是其本身。（4）向量組A能由A0線性表示。（3）向量組的最大無關組一般不是唯一的。（5）任意一個最大線性無關組都與向量組本身等價。10/7/202329注:（1）只含零向量的向量組沒有最大無關組，規(guī)定秩為0。（例如：在向量組中，首先線性無關，又線性相關，所以是一個極大無關組。還可以驗證也是一個極大無關組。10/7/202330例如：在向量組例如：向量組的秩為2。注意：兩個有相同的秩的向量組不一定等價。兩個向量組有相同的秩，并且其中一個可以被另一個線性表示，則這兩個向量組等價。向量組的秩為2。10/7/202331例如：向量組例：設矩陣矩陣A的行向量組是可以驗證，是一個最大無關組，所以矩陣A的行向量組秩為3。10/7/202332例：設矩陣矩陣A的行向量組是可以驗證，是一個最大無關組，所矩陣A的列向量組是可以驗證是一個最大無關組所以矩陣A的列秩是3。10/7/202333矩陣A的列向量組是可以驗證是一個最大無關組所以矩陣A的列秩是定理6：矩陣的秩=矩陣的行向量組的秩=矩陣的列向量組的秩證：矩陣A經(jīng)過初等變換變?yōu)樾凶詈喰蜝又初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性關系，所以，A的秩＝A的列向量組的秩同理，AT的秩＝AT的列向量組的秩＝A

的行向量組的秩但是，A的秩＝AT的秩10/7/202334定理6：矩陣的秩=矩陣的行向量組的秩證：矩陣A經(jīng)過初例1：向量組求向量組的秩和一個最大無關組。10/7/202335例1：向量組求向量組的秩和一個最大無關組。10/6/2023解：10/7/202336解：10/6/202336是一個最大無關組。10/7/202337是一個最大無關組。10/6/202337例2：求矩陣的列向量組的一個最大無關組，并把其余的向量用這個最大無關組線性表示。10/7/202338例2：求矩陣的列向量組的一個最大無關組，并把其余的向量用這解:10/7/202339解:10/6/20233910/7/20234010/6/202340是一個最大無關組.10/7/202341是一個最大無關組.10/6/202341最大無關組的等價定義:線性無關；（i）那么稱部分組為向量組A的一個設A為一個向量組，A的部分組

滿足：（ii）A的任意向量都能由線性表示。最大無關組。10/7/202342最大無關組的等價定義:線性無關；（i）那么稱部分組證：只需證明A中的任意r+1個向量都線性相關。設為A中的r+1個向量，由(ii)知，這r+1個向量能由A0線性表示，故因此，這r+1個向量線性相關。10/7/202343證：只需證明A中的任意r+1個向量都線性相關。設線性表示的充要條件是定理2’：向量組能由向量組線性表示，則定理3’：若向量組能由向量組10/7/202344線性表示的充要條件是定理2’：向量組能由向量組線性表示，則定§4線性方程組解的結構(1)齊次線性方程組或10/7/202345§4線性方程組解的結構(1)齊次線性方程組或10/61.解的性質則仍然是的解。性質1：若是的解，則仍是的解。性質2：若是的解，10/7/2023461.解的性質則2.基礎解系設是的解，滿足線性無關；的任一解都可以由線性表示。則稱是的一個基礎解系。10/7/2023472.基礎解系設是的解，滿足線性無關；的任一解都可以由線性定理7：設是矩陣，如果則齊次線性方程組的基礎解系存在，且每個基礎解系中含有個解向量。證明分三步:1.以某種方法找個解。2.證明這個解線性無關。3.證明任一解都可由這個解線性表示。10/7/202348定理7：設是矩陣，如果則齊次線性方程組的基礎解系存在，且每個證明:化為行最簡形10/7/202349證明:化為行10/6/202349與B對應的方程組10/7/202350與B對應的方程組10/6/202350（1）令依次為得方程組的通解10/7/202351（1）令依次為得方程組的通解10/6/202351（2）向量組線性無關。綜合(1)(2)得,向量組(C)是齊次線性方程組的基礎解系.(C)10/7/202352（2）向量組線性無關。綜合(1)(2)得,向量組(C)是的通解是記則是令為所得。10/7/202353的通解是記則是令為所得。10/6/202353例4:求下列齊次方程組的通解。解：10/7/202354例4:求下列齊次方程組的通解。解：10/6/20235初等行變換行最簡形矩陣對應的方程組為是自由變量。(2)10/7/202355初等行變換行最簡形矩陣對應的方程組為是自由變量。(2)10/法1：先求通解，再求基礎解系令則即10/7/202356法1：先求通解，再求基礎解系令則即10/6/202356法2：先求基礎解系，再求通解。在(2)中令得則通解為10/7/202357法2：先求基礎解系，再求通解。在(2)中令得則通解為10/6解：例5:求下列齊次方程組的通解。10/7/202358解：例5:求下列齊次方程組的通解。10/6/20235初等行變換令得通解10/7/202359初等行變換令得通解10/6/202359(2)非齊次性線性方程組對應的齊次線性方程組10/7/202360(2)非齊次性線性方程組對應的齊次線性方程組10/6/2例8:線性方程組在三維直角坐標系中分別表示經(jīng)過原點的直線。在三維直角坐標系中分別表示不經(jīng)過原點的平面。和和10/7/202361例8:線性方程組在三維直角坐標系中分別表示在三維直角坐性質1：是的解，則是對應的齊次線性方程組的解。性質2：是的解，是對應的齊次線性方程組的解，則是的解。10/7/202362性質1：是的解，則是對應的分析:若有解，則其通解為其中是的一個特解，是對應的齊次線性方程組的通解。1.證明是解；2.任一解都可以寫成的形式。10/7/202363分析:若有解，則其通解為其中是的一個特解，例6:求解非齊次方程組解：10/7/202364例6:求解非齊次方程組解：10/6/20236410/7/20236510/6/202365令得10/7/202366令得10/6/202366令得基礎解系所以原方程組的通解是10/7/202367令得基礎解系所以原方程組的通解是10/6/202367例7:求下列方程組的通解。解：10/7/202368例7:求下列方程組的通解。解：10/6/202368令得得基礎解系令所以通解是10/7/202369令得得基礎解系令所以通解是10/6/202369例:設問u,v=?方程組(1)有唯一解;(2)無解;(3)有無窮多解.解:當u≠2時有唯一解;10/7/202370例:設問u,v=?方程組(1)有唯一解;(2)無解;(當u=2,v≠3時,無解;當u=2,v=3時,有無窮多解;通解10/7/202371當u=2,v≠3時,無解;當u=2,v=3時§5向量空間定義：設

V為n維向量的非空集合，若

V對于加法及數(shù)乘兩種運算封閉，則稱集合

V為向量空間．說明:集合對于加法及數(shù)乘兩種運算封閉指注意.0必是向量空間V的元素，即10/7/202372§5向量空間定義：設V為n維向量的非空集合，說例：3維向量的全體是一個向量空間。n維向量的全體也是一個向量空間。例：齊次線性方程組的解集合是一個向量空間。不是一個向量空間。但非齊次線性方程組Ax=b的解集合10/7/202373例：3維向量的全體是一個向量空間。n維向量例：判別下列集合是否為向量空間.10/7/202374例：判別下列集合是否為向量空間.10/6/202374不是向量空間。解：所以，是向量空間。10/7/202375不是向量空間。解：所以，是向量空間。10/6/202是否為向量空間.V稱為由向量a,b生成的向量空間。例：設a，b為兩個已知的n維向量，判斷集合解：V是一個向量空間。10/7/202376是否為向量空間.V稱為由向量a,b生成的向量空間。例：設由向量組所生成的向量空間為一般地10