益陽市重點中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

益陽市重點中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數(shù)中哪個是冪函數(shù)（）A. B.C. D.2．對于實數(shù)x，“0＜x＜1”是“x＜2”的（）條件A.充要 B.既不充分也不必要C.必要不充分 D.充分不必要3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C D.4．設(shè)和兩個集合，定義集合，且，如果，，那么A. B.C. D.5．直線經(jīng)過第一、二、四象限，則a、b、c應(yīng)滿足（）A. B.C. D.6．已知sin(α-π)+cos(π-α)A.-2 B.2C.-3 D.37．在正方體AC1中，AA1與B1D所成角的余弦值是（）A. B.C. D.8．設(shè)命題，則為A. B.C. D.9．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)是滿足的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．化簡：（）A B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．將函數(shù)圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式為________.12．若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為___________.13．函數(shù)最大值為__________14．水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為的水車，以水車的中心為原點，過水車的中心且平行于水平面的直線為軸，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設(shè)點的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，當(dāng)秒時，___________.15．設(shè)b＞0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為下列之一，則a的值為______________16．已知函數(shù)有兩個零點分別為a，b，則的取值范圍是_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．為了研究某種微生物的生長規(guī)律，研究小組在實驗室對該種微生物進(jìn)行培育實驗.前一天觀測得到該微生物的群落單位數(shù)量分別為8，14，26.根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，用y表示第天的群落單位數(shù)量，某研究員提出了兩種函數(shù)模型：①；②，其中且.（1）根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，分別求出這兩種函數(shù)模型的解析式；（2）若第4天和第5天觀測得到的群落單位數(shù)量分別為50和98，請從兩個函數(shù)模型中選出更合適的一個，并預(yù)計從第幾天開始該微生物的群落單位數(shù)量超過500.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知角α的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點P（-，）（Ⅰ）求cos（α-π）的值；（Ⅱ）若tanβ=2，求的值19．某生物研究者于元旦在湖中放入一些風(fēng)眼蓮（其覆蓋面積為），這些風(fēng)眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積（單位：）與月份（單位：月）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與）可供選擇（1）試判斷哪個函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；（2）求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積倍以上的最小月份．（參考數(shù)據(jù)：，）20．已知函數(shù)的定義域為，且對一切，，都有，當(dāng)時，總有.（1）求的值；（2）證明：是定義域上的減函數(shù)；（3）若，解不等式.21．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；（2）討論f(x)的單調(diào)性；（3）解不等式.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】直接利用冪函數(shù)的定義判斷即可【題目詳解】解：冪函數(shù)是，，顯然，是冪函數(shù).，，都不滿足冪函數(shù)的定義，所以A正確故選：A【題目點撥】本題考查了冪函數(shù)的概念，屬基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】從充分性和必要性的定義，結(jié)合題意，即可容易判斷.【題目詳解】若，則一定有，故充分性滿足；若，不一定有，例如，滿足，但不滿足，故必要性不滿足；故“0＜x＜1”是“x＜2”的充分不必要條件.故選：.3、你4、D【解題分析】根據(jù)的定義，可求出，，然后即可求出【題目詳解】解：，；∴.故選D.【題目點撥】考查描述法的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題5、A【解題分析】根據(jù)直線經(jīng)過第一、二、四象限判斷出即可得到結(jié)論.【題目詳解】由題意可知直線的斜率存在，方程可變形為，∵直線經(jīng)過第一、二、四象限，∴，∴且故選：A.6、B【解題分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式及正余弦的齊次式，將題設(shè)等式轉(zhuǎn)化為-tanα-1【題目詳解】sin(α-π)+∴-tanα-1=-3tan故選：B.7、A【解題分析】畫出圖象如下圖所示,直線與所成的角為,其余弦值為.故選A.8、C【解題分析】特稱命題否定為全稱命題，所以命題的否命題應(yīng)該為，即本題的正確選項為C.9、B【解題分析】把函數(shù)有3個零點，轉(zhuǎn)化為有3個不同根，畫出函數(shù)與的圖象，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組求解即可.【題目詳解】由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，函數(shù)是最小正周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)有3個零點，即有3個不同根，畫出函數(shù)與的圖象如圖：要使函數(shù)與的圖象有3個交點，則，且，即.∴實數(shù)的取值范圍是.故選：B.10、D【解題分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡求值即可.【題目詳解】,故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解題分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，即可得出結(jié)論.【題目詳解】將函數(shù)圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，可得函數(shù)為，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得函數(shù)為.故答案為：.12、【解題分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，作出的圖像，結(jié)合圖像分析即可.【題目詳解】令得，作出的函數(shù)圖像，如圖，因為有4個零點，所以直線與的圖像有4個交點，所以.故答案為：13、3【解題分析】分析:利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求已知函數(shù)的最大值.詳解：由題得當(dāng)=1時，函數(shù)取最大值2×1+1=3.故答案為3.點睛：本題主要考查正弦型函數(shù)的最大值，意在考查學(xué)生對該基礎(chǔ)知識的掌握水平.14、【解題分析】求出關(guān)于的函數(shù)解析式，將代入函數(shù)解析式，求出的值，可得出點的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得的值.【題目詳解】由題意可知，，函數(shù)的最小正周期為，則，所以，，點對應(yīng)，，則，可得，，，故，當(dāng)時，，因為，故點不與點重合，此時點，則.故答案為：.15、-1【解題分析】根據(jù)題中條件可先排除①,②兩個圖象，然后根據(jù)③，④兩個圖象都經(jīng)過原點可求出a的兩個值，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向就可確定a的值.【題目詳解】∵b＞0∴二次函數(shù)的對稱軸不能為y軸，∴可排除掉①,②兩個圖象∵③，④兩個圖象都經(jīng)過原點，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1∵當(dāng)a＝1時，二次函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸在y軸左方，∴第四個圖象也不對，∴a＝﹣1，故答案為：-1【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，做題時注意題中條件的利用，合理地利用排除法解決選擇題16、【解題分析】根據(jù)函數(shù)零點可轉(zhuǎn)化為有2個不等的根，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，由均值不等式求解即可.詳解】不妨設(shè)，因為函數(shù)有兩個零點分別為a，b，所以，所以，即，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時不滿足題意，，即，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數(shù)模型①，函數(shù)模型②（2）函數(shù)模型②更合適，從第8天開始該微生物的群落單位數(shù)量超過500【解題分析】（1）可通過已知條件給到的數(shù)據(jù)，分別帶入函數(shù)模型①和函數(shù)模型②，列出方程組求解出參數(shù)即可完成求解；（2）將第4天和第5天得到的數(shù)據(jù)與第（1）問計算出的函數(shù)模型①和函數(shù)模型②的表達(dá)式計算出的第4天和第5天的模擬數(shù)據(jù)對比，即可做出判斷并計算.【小問1詳解】對于函數(shù)模型①：把及相應(yīng)y值代入得解得，所以.對于函數(shù)模型②：把及相應(yīng)y值代入得解得，所以.【小問2詳解】對于模型①，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故模型①不符合觀測數(shù)據(jù)；對于模型②，當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合觀測數(shù)據(jù)，所以函數(shù)模型②更合適要使，則，即從第8天開始該微生物的群落單位數(shù)量超過500.18、（I）；（II）.【解題分析】由任意角三角函數(shù)的定義可得，，（Ⅰ）可求（Ⅱ）有，，利用誘導(dǎo)公式及同角基本關(guān)系即可化簡求解【題目詳解】解：由題意可得cosα=，sin，（Ⅰ）cos（α-π）=-cosα=，（Ⅱ）∵tanβ=2，tanα=，∴====【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，同角基本關(guān)系的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．19、（1）函數(shù)模型較為合適，且該函數(shù)模型的解析式為；（2）月份.【解題分析】（1）根據(jù)兩個函數(shù)模型增長的快慢可知函數(shù)模型較為合適，將點、代入函數(shù)解析式，求出、的值，即可得出函數(shù)模型的解析式；（2）分析得出，解此不等式即可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）由題設(shè)可知，兩個函數(shù)、）在上均為增函數(shù)，隨著的增大，函數(shù)的值增加得越來越快，而函數(shù)的值增加得越來越慢，由于風(fēng)眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故而函數(shù)模型滿足要求.由題意可得，解得，，故該函數(shù)模型的解析式為；（2）當(dāng)時，，故元旦放入鳳眼蓮的面積為，由，即，故，由于，故.因此，鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積倍以上的最小月份是月份.【題目點撥】思路點睛：解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序：第一步：審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：建?！獙⑽淖终Z言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原——將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際問題的意義；第五步：反思回顧——對于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗證這個數(shù)學(xué)解對實際問題的合理性20、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解題分析】（1）令即可求得結(jié)果；（2）設(shè)，由即可證得結(jié)論；（3）將所求不等式化為，結(jié)合單調(diào)性和定義域的要求即可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【小問1詳解】令，則，解得：；【小問2詳解】設(shè)，則，，，，是定義域上的減函數(shù)；【小問3詳解】由得：，即，又，，是定義域上的減函數(shù)，，解得：；又，，的解集為.【題目點撥】思路點睛：本題考查抽象函數(shù)的函數(shù)值的求解、單調(diào)性證明以及利用單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題；求解函數(shù)不等式的基本思路是將所求不等式化為同一