標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤關(guān)系與區(qū)別之歐陽家百創(chuàng)編

歐陽家白創(chuàng)編歐陽家白創(chuàng)編歐陽家白?創(chuàng)編標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤關(guān)系與區(qū)別歐陽家百（2021.03.07）在日常的統(tǒng)計(jì)分析中，標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)誤是一對(duì)十分重要的統(tǒng)計(jì)量，兩者有區(qū)別也有聯(lián)系。但杲很多人卻沒有弄清其中的差異，經(jīng)常性地進(jìn)行一些錯(cuò)誤的使用。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤的區(qū)別，很多書上這樣表達(dá)：標(biāo)準(zhǔn)差表示數(shù)據(jù)的離散程度，標(biāo)準(zhǔn)誤表示抽樣誤差的大小。這樣的解釋可能對(duì)于許多人來說等于沒有解釋。其實(shí)這兩者的區(qū)別可以采用數(shù)據(jù)分布表達(dá)方式描述如下：如果樣本服從均值為山標(biāo)準(zhǔn)差為6的正態(tài)分布，即X—NQM2）,那么樣本均值服從均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為52/11的正態(tài)分布，即?—N（屈2/n）。這里6為標(biāo)準(zhǔn)差，6/111/2為標(biāo)準(zhǔn)誤。明白了吧，用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法解釋起來就杲這么簡(jiǎn)單?？墒牵瑢?shí)際使用中總體參數(shù)往往未知，多數(shù)情況下用樣本統(tǒng)計(jì)量來表示。那么，關(guān)于這兩者的區(qū)別可以這樣表述：標(biāo)準(zhǔn)差杲樣本數(shù)據(jù)方差的平方根，它衡量的是樣本數(shù)據(jù)的離散程度；標(biāo)準(zhǔn)誤是樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差，衡量的是樣本均值的離散程度。而在實(shí)際的抽樣中，習(xí)慣用樣本均值來推斷總體均值，那么樣本均值的離散程度（標(biāo)準(zhǔn)誤）越大，抽樣誤差就越大。所以用標(biāo)準(zhǔn)誤來衡量抽樣誤差的大小。歐陽家白創(chuàng)編在此舉一個(gè)例子。比如，某學(xué)校共有500名學(xué)生，現(xiàn)在要通過抽取樣本量為30的一個(gè)樣本，來推斷學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。這時(shí)可以依據(jù)抽取的樣本信息，計(jì)算出樣本的均值與標(biāo)準(zhǔn)差。如果我們抽取的不杲一個(gè)樣本，而是10個(gè)樣本，每個(gè)樣本30人，那么每個(gè)樣本都可以計(jì)算出均值，這樣就合有10個(gè)均值。也就是形成了一個(gè)10個(gè)數(shù)字的數(shù)列，然后計(jì)算這10個(gè)數(shù)字的標(biāo)準(zhǔn)差，此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差就是標(biāo)準(zhǔn)誤。但杲，在實(shí)際抽樣中我們不可能抽取10個(gè)樣本。所以，標(biāo)準(zhǔn)誤就由樣本標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本量來表示。當(dāng)然，這樣的結(jié)論也不是隨心所欲，而是經(jīng)過了統(tǒng)計(jì)學(xué)家的嚴(yán)密證明的。在實(shí)際的應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差主要有兩點(diǎn)作用，一杲用來對(duì)樣本進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即樣本觀察值減去樣本均值，然后除以標(biāo)準(zhǔn)差，這樣就變成了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；而是通過標(biāo)準(zhǔn)差來確定異常值，常用的方法就是樣本均值加減n倍的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)誤的作用主要是用來做區(qū)間估計(jì)，常用的估計(jì)區(qū)間是均值加減n倍的標(biāo)準(zhǔn)誤。英文:StandardError標(biāo)準(zhǔn)偏差反映的是個(gè)體觀察值的變異，標(biāo)準(zhǔn)誤反映的是樣本均數(shù)之間的變異（即樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，是描述均數(shù)抽樣分布的離散程度及衡量均數(shù)抽樣誤差大小的尺度），標(biāo)準(zhǔn)誤不是標(biāo)準(zhǔn)差，是樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)誤用來衡量抽樣誤差。標(biāo)準(zhǔn)誤越小，表明樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的值越接近，樣本對(duì)總體越有代表性，用樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體參數(shù)的可靠度越大。因此，標(biāo)準(zhǔn)誤是統(tǒng)計(jì)推斷可靠性的指標(biāo)。歐陽家白創(chuàng)編在相同測(cè)量條件下逬行的測(cè)量稱為等精度測(cè)量，例如在同樣的條件下，用同一個(gè)游標(biāo)卡尺測(cè)量銅棒的直徑若干次，這就是等精度測(cè)量。對(duì)于等精度測(cè)量來說，還有一種更好的表示誤差的方法，就是標(biāo)準(zhǔn)誤差。編輯本段定義標(biāo)準(zhǔn)誤差定義為各測(cè)量值誤差的平方和的平均值的平方根，故又稱為均方誤差。設(shè)n個(gè)測(cè)量值的誤差為門、￡2……sn,則這組測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差o等于：（此處為一公式，顯示不出來，你看下文字就可以知道這個(gè)公式是什么樣的。）由于被測(cè)量的真值是未知數(shù)，各測(cè)量值的誤差也都不知道，因此不能按上式求得標(biāo)準(zhǔn)誤差。測(cè)量時(shí)能夠得到的是算術(shù)平均值（）,它最接近真值（N）,而且也容易算出測(cè)量值和算術(shù)平均值之差，稱為殘差（記為v）。理論分析表明①可以用殘差v表示有限次（n次）觀測(cè)中的某一次測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)誤差6其計(jì)算公式為（此處為一公式，顯示不出來，你看下文字就可以知道這個(gè)公式是什么樣的。）対于一組等精度測(cè)量（n次測(cè)量）數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值，其誤差應(yīng)該更小些。理論分析表明，它的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。有的書中或計(jì)算器上用符號(hào)s表示）與一次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差Q之間的關(guān)系是歐陽家白創(chuàng)編（此處為一公式，顯示不出來，你看下文字就可以知道這個(gè)公式是什么樣的。）編輯本段誤差需要注意的是，標(biāo)準(zhǔn)誤差不是測(cè)量值的實(shí)際誤差，也不是誤差范圍，它只是對(duì)一組測(cè)量數(shù)據(jù)可靠性的佶計(jì)。標(biāo)準(zhǔn)誤差小，測(cè)量的可靠性大一些，反之，測(cè)量就不大可靠。進(jìn)一步的分析表明，根據(jù)偶然誤差的高斯理論，當(dāng)一組測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為。時(shí)，則其中的任何一個(gè)測(cè)量值的誤差直有68.