不等關(guān)系與不等式第2課時課件高一上學期數(shù)學人教A版

第2課時

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第二章等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)學習目標1.了解等式的性質(zhì).2.掌握不等式的基本性質(zhì)，并能運用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題.(重點)通過上節(jié)課的學習，我們學會了用等式和不等式來表示現(xiàn)實生活中的相等關(guān)系和不等關(guān)系.現(xiàn)在就讓我們一起探究等式性質(zhì)和不等式性質(zhì)，為我們下一步解不等式做好準備！導(dǎo)語一等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)等式的基本性質(zhì)(1)如果a＝b，那么b＝a；(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)如果a＝b，那么ac＝bc；運算中的不變性就是性質(zhì)。探究

類比等式的基本性質(zhì)，你能猜想不等式的基本性質(zhì)，并加以證明嗎？性質(zhì)1(對稱性)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.證明(P41練習1)：由a>b,可得a－b>0.因為正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，所以－(a－b)<0，即b－a<0，所以b<a性質(zhì)2（傳遞性）如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c?a>c證明：由兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實得，因為a>b,所以a－b>0;又因為b>c，所以b－c>0;

所以(a－b)+(b－c)>0,所以a－c>0,

所以a>c介值比較法P43習題6的證明與此類似性質(zhì)3

(可加性)如果a>b,那么a+c>b+c這就是說，不等式兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向.證明(P41練習1)：由a>b,可得a－b>0.因為(a+c)－(b+c)>0，所以a+c>b+c由性質(zhì)3可得，a+b>c?a+b+(－b)>c+(－b)?a>c－b這表明，不等式中任何一項可以改變符號后移到不等號的另一邊.性質(zhì)4

(可乘性)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0,那么ac<bc.這就是說，不等式兩邊同乘一個正數(shù)，所得不等式與原不等式同向；不等式兩邊同乘一個負數(shù)，所得不等式與原不等式反向.證明(P41練習1)：由a>b,可得a－b>0.因為同號相乘得正，異號相乘得負，所以由c>0，可得c(a－b)>0，即ac－bc>0，所以ac>bc由c<0，可得c(a－b)<0，即ac－bc<0，所以ac<bc性質(zhì)5

(同向可加性)如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.

證明：由a>b和性質(zhì)3可得，a+c>b+c,又因為c>d，所以b+c>b+d,由性質(zhì)2可得，a+c>b+d.(異向可減性)如果a>b，c<d，那么a－c>b－d.證明(P41練習2(1))：由c<d和性質(zhì)4可得，－c>－d,再根據(jù)性質(zhì)5和a>b得，a－c>b－d.性質(zhì)6

(同向同正可乘性)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

證明(P41練習1)：由a>b，c>0及性質(zhì)4，可得ac>bc,由c>d，b>0及性質(zhì)4，可得bc>bd,由性質(zhì)2可得，ac>bd.

性質(zhì)7

(乘方法則)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N+).

不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b

a?2傳遞性a>b，b>c?a>c______3可加性a>b?a＋c

b＋c______4可乘性a>b，c>0?________a>b，c<0?______c的符號<不可逆>可逆ac>bcac<bc5同向可加性a>b，c>d?__________同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?________同向7可乘方性a>b>0?an

bn(n∈N，n≥2)同正a＋c>b＋dac>bd>

<<<

(2)方法二：∵a>b>0，c<d<0，∴－c>－d>0，∴－ac>－bd>0，∴ac<bd.利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假的注意點(1)運用不等式的性質(zhì)判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能想當然隨意捏造性質(zhì).(2)也可采用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算.P43習題8

下列命題為真命題的是A.若a>b>0，則ac2>bc2B.若a>b>0，則a2>b2C.若a<b<0，則a2<ab<b2D.若a<b<0，則√

二利用不等式的性質(zhì)證明不等式∵a>b>0，c<0，∴ab>0，b－a<0，c(b－a)>0，方法二∵a>b>0，與P42練習2(4)的證明類似P43習題7

(1)利用不等式的性質(zhì)對不等式的證明其實質(zhì)就是利用性質(zhì)對不等式進行變形，變形要等價，同時要注意性質(zhì)適用的前提條件.(2)用作差法證明不等式和用作差法比較大小的方法原理一樣，變形后判斷符號時要注意充分利用題目中的條件.三利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍P43習題5

已知2<a<3,－2<b<－1，求2a＋b

的取值范圍.補充：求a－b的取值范圍

因為2<a<3,－2<b<－1，所以4<2a<6，所以2<2a＋b<5.又因為1<－b<2，所以3<a－b<5.延伸探究若1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求3a＋2b的取值范圍.設(shè)3a＋2b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，因為1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，因此，2≤3a＋2b≤11.利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進行運算，求得待求的范圍.(2)同向不等式的兩邊可以相加，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍.利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略注意：求解這種不等式問題要特別注意不能簡單地分別求出單個變量的范圍，再去求其他不等式的范圍.1.知識清單：(1)等式的性質(zhì).(2)不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用.2.方法歸納：作差比較法、賦值法、不等式性質(zhì)法.3.常見誤區(qū)：注意不等式性質(zhì)的單向性或雙向性，即每條性質(zhì)是否具有可逆性.下面是甲、乙、丙三位同學做的三個題目，請你看看他們做得對嗎？如果不對，請指出錯誤的原因.甲：因為－6<a<8，－4<b<2，所以－2<a－b<6.丙：因為2<a－b<4，所以－4<b－a<－2.又因為－2<a＋b<2，所以0<a<3，－3<b<0，所以－3<a＋b<3.甲同學做的不對，因為同向不等式具有可加性，但不能相減，甲同學對同向不等式求差是錯誤的.乙同學做的不對，因為不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號的方向不變，但同乘以一個負數(shù)，不等號方向改變，在本題中只知道－6<a<8，不明確a值的正負.故不能將

與－6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式