等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版22

2023年下學(xué)期高一

在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，存在著大量相等關(guān)系和不等關(guān)系.

例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠(yuǎn)與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于等．

現(xiàn)實(shí)世界的相等和不等關(guān)系長短輕重高矮大小問題1：你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎？（1）某路段限速40km/h.（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f

應(yīng)不少于2.5％，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3％.（3）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.（4）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

0<v≤40km/hf≥2.5%p≥2.3%

問題2：某雜志以每本2.5元的價格發(fā)行時，發(fā)行量為8萬本．經(jīng)過調(diào)查，若價格每提高0.1元，發(fā)行量就減少2000本．如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元？

實(shí)際問題：不等關(guān)系數(shù)學(xué)問題：不等式抽

象刻

畫研究模型練習(xí)：用一段長為30米的籬笆圍成一個靠墻的矩形菜園，墻長18米，要求菜園的面積不小于110平米，靠墻的一邊長為x米。試用不等式表示其中的不等關(guān)系。題型1：建立不等式模型解決問題(要知道邊長的范圍，還得解該不等式)——需要研究不等式的性質(zhì)

如果a-b是正數(shù)，那么a>b；

如果a-b等于零，那么a=b；

如果a-b是負(fù)數(shù)，那么a<b.

反過來也對.兩個實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)要研究量與量之間的相等或不等關(guān)系，首先要解決的是兩個實(shí)數(shù)之間比大小.baa<baba>b（1）正數(shù)大于0，也大于一切負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)小于0，也小于一切正數(shù)；（2）正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；（3）兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，兩個負(fù)數(shù)的和仍是負(fù)數(shù)；（4）同號兩數(shù)相乘，其積為正數(shù)；異號兩數(shù)相乘，其積為負(fù)數(shù)；關(guān)于實(shí)數(shù)的其它基本事實(shí)作差變形定符號定大小題型2：比較兩個實(shí)數(shù)的大小思考：從上式中你得到了兩個實(shí)數(shù)之間比大小的什么方法嗎？作差法題型2：比較兩個實(shí)數(shù)的大小練習(xí)：比較(a＋3)(a－5)與(a＋2)(a－4)的大?。?/p>

A

①畫圖(對/△/開)②配方>>

<分類討論題型2：比較兩個實(shí)數(shù)的大小練習(xí)：比較(a＋3)(a－5)與(a＋2)(a－4)的大?。?a＋3)(a－5)-(a＋2)(a－4)

=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7

∴(a＋3)(a－5)-(a＋2)(a－4)<0

∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)解：作差變形定符號定大小核心素養(yǎng)之

數(shù)學(xué)抽象+數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)抽象過程一杯糖水，加的糖越多，味道會越____？

生活問題：a克糖水中含有b(a>b>0)克糖，再加入m(m>0)克糖，糖水更甜了，為什么？

(定性描述)

(定量描述)量化符號化邏輯推理

？

數(shù)學(xué)問題：

數(shù)學(xué)模型：

論證模型：

【變式設(shè)問】還有其他方法比較嗎?請寫出比較過程.創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維趙爽弦圖的不等關(guān)系第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)是根據(jù)趙爽弦圖設(shè)計(jì)的.中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的證明。大正方形的構(gòu)成：4個全等的直角三角形1個小正方形不等關(guān)系等面積法相等關(guān)系趙爽弦圖中的不等關(guān)系思考：對于任意的實(shí)數(shù)a,b，a2+b2≥2ab成立嗎？試證明。(面積關(guān)系)a,b>0

大正方形面積>4個直角三角形的面積和

大正方形面積=4個等腰直角三角形的面積和重要不等式

2關(guān)于兩個實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)為研究基本不等式的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).那么，不等式到底有哪些性質(zhì)呢？因?yàn)椴坏仁脚c等式一樣，都是對大小關(guān)系的刻畫，所以我們可以從等式的性質(zhì)及其研究方法中獲得啟發(fā).思考1：請同學(xué)們先梳理等式的基本性質(zhì)，在觀察他們的共性，你能歸納一下發(fā)現(xiàn)等式基本性質(zhì)的方法嗎？提示：運(yùn)算中的不變性就是性質(zhì).不等式的性質(zhì)新知探索

可以發(fā)現(xiàn)，性質(zhì)1,2反映了相等關(guān)系自身的性質(zhì)，性質(zhì)3,4,5是從運(yùn)算的角度提出的，反映了等式在運(yùn)算中保持的不變性.思考：類比等式的基本性質(zhì)，你能猜想不等式的基本性質(zhì)，并加以證明嗎？

思考：你能證明上述性質(zhì)3嗎？

這表明，不等式中任何一項(xiàng)可以改變符號后移到不等號的另一邊.

?利用這些基本性質(zhì)，我們還可以推導(dǎo)出其他一些常用的不等式的性質(zhì).思考：你能證明上述性質(zhì)4嗎？

證明：ac-bc=(a-b)c

∵

a>b,

∴a-b>0

∴

c>0時，ac-bc>0,ac>bc;

c<0時，ac-bc<0,ac<bc.

性質(zhì)4

如果a＞b，c＞０，那么ac＞bc；(正數(shù)保序性)

如果a＞b，c＜０，那么ac＜bc.(負(fù)數(shù)反序性)

推導(dǎo)性質(zhì)

3>2，1>-2，

但3－1<2－(-2).>?

?

例析

角度(一)證明不等式正數(shù)同向可乘性

倒數(shù)保號性性質(zhì)4正數(shù)保序性

負(fù)數(shù)反序性

題型三：不等式性質(zhì)的大小應(yīng)用><<<題型三：不等式性質(zhì)的大小應(yīng)用題型三：不等式性質(zhì)的大小應(yīng)用

角度(二)判斷命題的真假DA．x2＜ax＜a2

B．x2＞ax＞a2C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞ax練習(xí)：設(shè)x＜a＜0，則下列不等式一定成立的是()B

DD歸納：比較大小的方法①特殊值法可用于判斷不等式不成立，不能用于證明不等式成立.②性質(zhì)法③作差法：作差并與0比較④作商法：作商并與1比較練習(xí)

角度(三)求取值范圍關(guān)鍵：除化乘練習(xí)：已知-2<a+b≤5,-1≤a-b≤4,求a+5b的取值范圍.解：設(shè)m=a+b,n=a-b,則-2<m≤5,-1≤n≤4,所以-6<3m≤15,-8≤-2n≤2;又a+5b=3m-2n，所以-14<a+5b≤171.對稱性2.傳遞性3.可加性5.同向可加性4.可乘性6.同向可乘性(同號)7.正數(shù)乘方性8.正數(shù)開方性不等式性質(zhì)若x≥2,y≥3,則2x+y≥7.證(作差法)

A

【變式設(shè)問】還有其他方法比較嗎?請寫出比較過程.用不等式的性質(zhì)證明不等式3.不等式性質(zhì)——同向可加性關(guān)鍵：減化加3a+2b3.不等式性質(zhì)——同向可乘性(同號)(不等式不可同向相除)關(guān)鍵：除化乘3.不等式性質(zhì)——同向可加性方法：待求的整體用已知的整體表示，僅用1次同向