2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚中市第二高二年級下冊學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚中市高二下學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知是各項不相等的等差數(shù)列，若，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項和（

）A．5 B．45 C．55 D．110【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d（），由等比中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式求得公差，再由等差數(shù)列的求和公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d（），由題意知，，，所以，解得或（舍去），所以，所以.故選：C.2．在下列條件中，使點M與點A，B，C一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先證明四點共面的條件，再根據(jù)四點共面的條件逐項判斷即可求得結(jié)論．【詳解】空間向量共面定理，，若，，不共線，且，，，共面，則其充要條件是；對于A，因為，所以不能得到，，，四點不共面；對于B，因為，所以不能得出，，，四點共面；對于C，由條件可得，則，，為共面向量，所以與,一定共面；對于D，因為，所以，因為，所以不能得出，，，四點共面．故選：C．3．下列說法中正確的是（

）①若隨機變量，則②若隨機變量且，則③甲、乙、丙、丁四人到四個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件“4個人去的景點互不相同”，事件“甲獨自去一個景點”，則④設(shè)隨機變量X，則，A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②【答案】A【分析】利用二項分布的概率公式計算判斷①；利用正態(tài)分布的對稱性計算判斷②；利用條件概率公式計算判斷③；利用期望、方差的性質(zhì)判斷④作答.【詳解】對于①，，則，①正確；對于②，且，則，②正確；對于③，依題意，，所以，③正確；對于④，，，④錯誤，所以說法正確的序號是①②③.故選：A4．已知甲盒中有2個白球，2個紅球，1個黑球，乙盒中有4個白球，3個紅球，2個黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機取出一個球，記事件A=“甲盒中取出的球與乙盒中取出的球顏色不同”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分類討論甲盒中隨機取出一個球的顏色，根據(jù)題意結(jié)合獨立事件的概率乘法公式運算求解.【詳解】若甲盒中隨機取出一個球為白球的概率為，放入乙盒，此時乙盒中有5個白球，3個紅球，2個黑球，再取出一個非白球的概率為；若甲盒中隨機取出一個球為紅球的概率為，放入乙盒，此時乙盒中有4個白球，4個紅球，2個黑球，再取出一個非紅球的概率為；若甲盒中隨機取出一個球為黑球的概率為，放入乙盒，此時乙盒中有4個白球，3個紅球，3個黑球，再取出一個非黑球的概率為；故.故選：D.5．已知正方體的棱長為2，、分別為上底面和側(cè)面的中心，則點到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出點到平面的距離.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，得則點到平面的距離為.故選：A6．若的展開式中的系數(shù)為20，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式可求出結(jié)果.【詳解】，的通項公式為，令，得（舍），令，得，依題意得，得.故選：B7．已知拋物線，焦點為F，點M是拋物線C上的動點，過點F作直線的垂線，垂足為P，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】由條件確定點的軌跡，結(jié)合拋物線的定義，圓的性質(zhì)求的最小值.【詳解】∵

拋物線的方程為，∴

，拋物線的準(zhǔn)線方程為，∵方程可化為，∴過定點，設(shè)，設(shè)的中點為，則，因為，為垂足，∴，所以，即點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則,∴,，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且在之間時等號成立，∴，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)四點共線且在之間時等號成立，所以的最小值為，故選：A.8．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合已知要比較函數(shù)值的結(jié)構(gòu)特點,可考慮構(gòu)造函數(shù),然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系分析出時,函數(shù)取得最大值,可得最大,然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.【詳解】設(shè),則,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,故當(dāng)時,函數(shù)取得最大值,因為,,,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減,可得,即.故選:C二、多選題9．某學(xué)校一同學(xué)研究溫差與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)（人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：x568912y1720252835經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合經(jīng)驗回歸方程，則（

）A．樣本中心點為 B．C．，殘差為 D．若去掉樣本點，則樣本的相關(guān)系數(shù)r增大【答案】ABC【分析】由回歸直線必過樣本中心可判斷A項、B項，由殘差公式可判斷C項，由相關(guān)系數(shù)公式可判斷D項.【詳解】對于A項，因為，，所以樣本中心點為，故A項正確；對于B項，由回歸直線必過樣本中心可得：解得：，故B項正確；對于C項，由B項知，，令，則，所以殘差為，故C項正確；對于D項，由相關(guān)系數(shù)公式可知，去掉樣本點后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不變，故D項錯誤.故選：ABC.10．記A，B為隨機事件，下列說法正確的是（

）A．若事件A，B互斥，，，B．若事件A，B相互獨立，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】BC【分析】對于A，根據(jù)互斥事件和對立事件的性質(zhì)分析判斷即可，對于B，根據(jù)相互獨立事件的性質(zhì)分析判斷，對于CD，根據(jù)條件概率的公式和對立事件的性質(zhì)分析判斷.【詳解】，∴，A錯.，B對.令，，，∴，，∴，，∴，C對.，D錯，故選：BC.11．如圖，在正方體中，點P在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線平面B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與所成角的取值范圍是D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【分析】在選項A中，利用線面垂直的判定定理，結(jié)合正方體的性質(zhì)進行判斷即可；在選項B中，根據(jù)線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式進行求解判斷即可；在選項C中，根據(jù)異面直線所成角的定義進行求解判斷即可；在選項D中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進行求解即可.【詳解】在選項A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直線平面，故A正確；在選項B中，∵，平面，平面，∴平面，∵點在線段上運動，∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，∴三棱錐的體積為定值，故B正確；在選項C中，∵，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.易知為等邊三角形，當(dāng)為的中點時，；當(dāng)與點或重合時，直線與直線的夾角為.故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯誤；在選項D中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長為1，則，，，，所以，.由A選項正確：可知是平面的一個法向量，∴直線與平面所成角的正弦值為：，∴當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.故選：ABD12．已知直線與橢圓交于、兩點，點為橢圓的左、右焦點，則下列說法正確的有（

）A．橢圓的離心率為B．橢圓上存在點，使得C．當(dāng)時，，使得D．當(dāng)，，【答案】AD【分析】根據(jù)橢圓的離心率、焦點三角形、直線與橢圓相交的坐標(biāo)運算逐項判斷即可得答案.【詳解】橢圓，則對于A，，故A正確；對于B，在中，，

由余弦定理得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，最大，則最小值為，因為，函數(shù)在遞減，即最大為，故B錯誤；對于C，時，，即直線過右焦點，設(shè)，則，恒成立，所以，

又，所以，因為，所以，故C錯誤；對于D，時，，設(shè)，聯(lián)立，得；所以，

所以，當(dāng)時，取到最小值為，故，故D正確.故選：AD.三、填空題13．設(shè)，且，若能被15整除，則.【答案】14【分析】講用二項式展開，通過分析被15除的余數(shù)，即可求出的值.【詳解】由題意，，∵，可知被15除的余數(shù)與被15除的余數(shù)相等，又∵，∴被15除的余數(shù)為1，即被15除的余數(shù)為1，∵，∴若能被15整除，則，解得：，故答案為：14.14．已知圓柱的體積為，則該圓柱的表面積的最小值為．【答案】【分析】本題可設(shè)高為，半徑為，然后根據(jù)體積為得出，最后根據(jù)圓柱的表面積公式以及基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)高為，半徑為，則，整理得，故圓柱的表面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故答案為：.15．中國新冠疫苗研究路徑有兩種技術(shù)路線：一個是滅活疫苗，一個是腺病毒載體疫苗.經(jīng)過科研工作者長達一年左右的研制，截至目前我國已有4款自主研發(fā)的新冠疫苗獲批上市.其中在腺病毒載體疫苗研制過程中，科研者要依次完成七項不同的任務(wù)，并對任務(wù)的順序提出了如下要求:重點任務(wù)A必須排在前三位，且任務(wù)必須排在一起，則這七項任務(wù)的安排方案共有種（用數(shù)字作答）【答案】624【分析】分A在第一位、第二位、第三位三種情況，考慮有幾種方式，剩下的元素全排即可.【詳解】把A排在第一位，任務(wù)相鄰的位置有5個，兩者的順序有2種情況，剩下的4個任務(wù)全排列，有種，共有種方案；把A排在第二位，任務(wù)相鄰的位置有4個，兩者的順序有2種情況，剩下的4個任務(wù)全排列，有種，共有種方案；把A排在第三位，任務(wù)相鄰的位置有4個，兩者的順序有2種情況，剩下的4個任務(wù)全排列，有種，共有種方案；總共有種方案.故答案為：624.四、雙空題16．已知數(shù)列滿足，，當(dāng)時，；若數(shù)列的所有項僅取有限個不同的值，則滿足題意的所有實數(shù)a的值為.【答案】2【分析】先利用遞推公式求出，，再由，求出；利用通項公式判斷出a的值為2.【詳解】∵∴∴.∵，∴，∴.∴當(dāng)時，.因為，所以.要使的所有項僅取有限個不同的值，則，此時，.否則時，取值有無窮多個.故答案為：；2.五、解答題17．在條件①無理項的系數(shù)和為，②的系數(shù)是64，③第3項的二項式系數(shù)與第2項的二項式系數(shù)的比為5∶2中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．問題：在的展開式中_____________．(1)求n的值；(2)求展開式中的常數(shù)項．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先寫出展開式的通項，若選①，令的無理項系數(shù)和為、有理項系數(shù)和為，利用賦值法得到，，即可求出，從而求出；若選②，令，求出，即可求出的取值范圍，再由，即可求出的取值范圍，從而得解；若選③，根據(jù)二項式系數(shù)及組合數(shù)公式計算可得；（2）由（1）得到展開式的通項，令的指數(shù)為，求出，再代入計算可得；【詳解】（1）解：因為展開式的通項為若選①，當(dāng)為奇數(shù)時為無理項，為偶數(shù)時為有理項，則的無理項系數(shù)和與的無理項系數(shù)和互為相反數(shù)，令的無理項系數(shù)和為、有理項系數(shù)和為，令，則，所以，所以；若選②，令，解得，因為且，解得且為的倍數(shù)，所以，因為，所以，所以，所以；若選③，依題意可得，即，解得；（2）解：由（1）可得，則展開式的通項為，令，解得，所以展開式中常數(shù)項為；18．已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列滿足，若，，求證：.【答案】(1)，(2)證明見解析.【分析】（1）先由累乘法求得，再根據(jù)與的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項公式；（2）先由條件求得數(shù)列的通項公式，即可得到，然后根據(jù)裂項相消法即可證明.【詳解】（1）因為，則，累乘可得，，所以，又符合式子，所以，當(dāng)時，，所以兩式相減可得，，又符合上式，所以，（2）因為數(shù)列為等比數(shù)列，，且，設(shè)數(shù)列的公比為，則，即，所以，則所以，即19．阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成等邊三角形.過點的直線與橢圓C交于不同的兩點A，B.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為P，Q，直線PA與直線交于點F，試證明B，Q，F(xiàn)三點共線.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用條件，建立的關(guān)系，直接求出即可求出結(jié)果；（2）分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在時，可直接求出B，Q，F(xiàn)三點的坐標(biāo)，從而可利用向量判斷出是否共線；當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程得到，利用韋達定理得到間的關(guān)系，再求出點，再利用向量共線得到點共線即可得到證明.【詳解】（1）依題意有，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）（i）當(dāng)直線的斜率不存在，易知，，或，，當(dāng)，時，直線PA的方程為：，所以點，此時，，，顯然B，Q，F(xiàn)三點共線，同理，時，B，Q，F(xiàn)三點共線；（ii）當(dāng)直線的斜率存在時，顯然斜率，設(shè)直線的方程：，設(shè)，，由整理可得：，，，由（1）可得左右頂點分別為，，直線PA的方程為，又因為直線與交于F，所以，所以，，因為，又，所以，所以，所以B，Q，F(xiàn)三點共線；20．如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對角線交于點F，G為的中點，，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在線段上是否存在一點H，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可證明；（2）證明出，.利用向量法求解；（3）利用向量法求解.【詳解】（1）連接FG.在△中，F(xiàn)、G分別為的中點，所以.又因為平面,平面，所以平面.（2）因為平面,平面，所以.又，所以.以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,.,.設(shè)平面SCD的一個法向量為.則，即，令,得.所以平面SCD的一個法向量為.又平面ESD的一個法向量為.所以所以平面SCD與平面ESD夾角的余弦值為.（3）假設(shè)存在點H,設(shè),則.由（2）知,平面的一個法向量為.則，即,所以.故存在滿足題意的點H,此時.21．網(wǎng)上購物就是通過互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息，并通過電子訂購單發(fā)出購物請求，廠商通過郵購的方式發(fā)貨或通過快遞公司送貨上門，貨到后通過銀行轉(zhuǎn)賬?微信或支付寶支付等方式在線匯款，根據(jù)年中國消費者信息研究，超過的消費者更加頻繁地使用網(wǎng)上購物，使得網(wǎng)上購物和送貨上門的需求量激增，越來越多的消費者也首次通過第三方?品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺進行購物，某天貓專營店統(tǒng)計了年月日至日這天到該專營店購物的人數(shù)和時間第天間的數(shù)據(jù)，列表如下：（1）由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)與時間之間的關(guān)系？若可用，估計月日到該專營店購物的人數(shù)(人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)；若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合，計算時精確到).參考數(shù)據(jù)：.附：相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程的斜率，截距.（2）運用分層抽樣的方法從第天和第天到該專營店購物的人中隨機抽取人，再從這人中任取人進行獎勵，求這人取自不同天的概率.（3）該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案：方案一，購物金額每滿元可減元；方案二，一次性購物金額超過元可抽獎三次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打折，中獎兩次打折，中獎三次打折.某顧客計劃在此專營店購買元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠.【答案】（1）可用線性回歸模型擬合人數(shù)與天數(shù)之間的關(guān)系，月日到該專營店購物的人數(shù)約為；（2）；（3）選擇方案二更劃算.【分析】（1）利用題中所給數(shù)據(jù)和公式，求出相關(guān)系數(shù)的值，由此判斷變量與具有很強的線性相關(guān)性，再求出和，得線性回歸方程，令代入即可求解；（2）先利用分層抽樣得到第1天和第5天取的人數(shù)分別為3人和4人，然后由古典概型概率計算公式即可求解；（3）分別求出方案一