適用于老高考舊教材2023屆高考數(shù)學二輪總復習文四壓軸大題搶分練搶分練3含解析

Page2搶分練3(時間:30分鐘,滿分:24分)1.(本題滿分12分)(2022·遼寧葫蘆島二模)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A,B,坐標原點O與A點關于直線l:x=-2對稱,(1)求橢圓C的標準方程;(2)過A,O兩點的圓Q與l交于M,N兩點,直線BM,BN分別交橢圓C于異于B的E,F兩點.求證:直線EF恒過定點.2.(本題滿分12分)(2022·遼寧丹東模擬預測)已知函數(shù)f(x)=2alnx-x2+2(a-1)x+a.(1)若a=1,證明:f(x)<2x-x2;(2)若f(x)有兩個不同的零點x1,x2,求a的取值范圍,并證明:x1+x2>2a.

搶分練31.(1)解點O與A關于直線x=-2對稱,可知A(-4,0),故點B(4,0),a=4,由題意可設C(-2,n),n>0,于是AC·OC=(2,n)·(-2,n)=n2-4=-1,解得n=3將C(-2,3)代入橢圓方程中,得416+3b2=所以橢圓方程為x216+(2)證明A(-4,0),B(4,0),直線l:x=-2,由題意得,圓心在直線l:x=-2上,設M(-2,yM),N(-2,yN),且OM⊥ON,所以OM·ON=yMyN+4=0,故yMyN則kBM·kBN=yM-2設直線EF:x=my+t(t≠4),E(x1,y1),F(x2,y2),由x216+y24=1,x=my+t,得(則y1+y2=-2mtm2+4,y1x1+x2=m(y1+y2)+2t=8tx1x2=(my1+t)(my2+t)=4t所以kBE=kBM=y1x1-4,kBF則y1x1即13t2-32t-80=0,解得t=4(舍去)或t=-2013所以直線EF為x=my-2013,恒過定點-2.(1)證明當a=1時,f(x)=2lnx-x2+1,定義域為(0,+∞),令g(x)=f(x)-(2x-x2)=2lnx-2x+1,則g'(x)=2x-2,當0<x<1時,g'(x)>0;當x>1時,g'(x)<所以函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故g(x)max=g(1)=-1<0,所以g(x)<0,得f(x)<2x-x2.(2)解因為f(x)有兩個不同的零點x1,x2,不妨令x1<x2,則f(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).由f'(x)=2ax-2x+2(a-1)=當a≤0時,f'(x)<0在(0,+∞)恒成立,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合題意;當a>0時,在(0,a)上有f'(x)>0,在(a,+∞)上有f'(x)<0,所以f(x)在(0,a)上單調(diào)遞增,在(a,+∞)上單調(diào)遞減.則0<x1<a<x2,令F(x)=f(x)-f(2a-x)=2alnx-x2+2(a-1)x+a-2aln(2a-x)+(2a-x)2-2(a-1)(2a-x)-a=2alnx-2aln(2a-x)-4x+4a.則F'(x)=4(當x∈(0,a)時,F'(x)>0,則F(x)在(0,a)上單調(diào)遞增,所以F(x)<F(a)=f(a)-f(2a-a)=0,故f(x)<f(2a-x),因為0<x1<a<x2,所以f(x1)<f(2a-x1)