適用于老高考新教材2023屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題四概率與統(tǒng)計(jì)課件

專題四概率與統(tǒng)計(jì)上篇內(nèi)容索引010203高考小題突破5概率與統(tǒng)計(jì)的基本計(jì)算培優(yōu)拓展?統(tǒng)計(jì)圖表創(chuàng)新題中的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)◎高考保分大題四概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題04培優(yōu)拓展?非線性回歸問題考情分析1.從題型和題量上看,高考對本專題考查基本穩(wěn)定在“兩小一大”的形式,總分約22分.題型選擇、填空均可命題,解答必考.2.從考查內(nèi)容上看,選擇、填空題中主要考查抽樣方法、古典概型、用樣本估計(jì)總體、正態(tài)分布及統(tǒng)計(jì)圖表信息題等.解答題?？疾槌蓪?shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析,條件概率,以現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活、科技等真實(shí)情境為背景的離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差等,難度有所提升.3.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等.備考策略1.重視新增知識,如百分位數(shù)、條件概率與全概率公式、分層抽樣中的樣本數(shù)字特征等,在理解的基礎(chǔ)上能熟練運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算.2.重視閱讀理解,本部分知識與實(shí)際聯(lián)系密切,一般閱讀量較大,需要平時(shí)多加訓(xùn)練,抓住材料本質(zhì),提煉關(guān)鍵內(nèi)容,通過數(shù)學(xué)建模達(dá)到處理題目信息的目的.3.重視對統(tǒng)計(jì)圖表信息題的訓(xùn)練,此類問題常通過真實(shí)的統(tǒng)計(jì)圖表,以選擇題尤其是多選題的形式考查讀圖能力和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng),是高考命題的熱點(diǎn).4.提升運(yùn)算正確率,重視幾種特殊分布,尤其是二項(xiàng)分布和超幾何分布,平時(shí)多注意數(shù)學(xué)運(yùn)算的訓(xùn)練,力求會(huì)的題目做對.真題感悟1.(2022·全國甲·理2)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果,隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民,讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖:則(

)A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差答案B

解析

對于A,中位數(shù)為(70%+75%)÷2=72.5%>70%,A錯(cuò)誤;對于B,平均數(shù)為89.5%>85%,B正確;對于C,從圖中可以看出,講座前問卷答題的正確率的波動(dòng)幅度要大于講座后問卷答題的正確率的波動(dòng)幅度,故C錯(cuò)誤;對于D,講座后問卷答題的正確率的極差為20%,講座前問卷答題的正確率的極差為35%,D錯(cuò)誤.故選B.2.(2021·天津·4)從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部,統(tǒng)計(jì)其評分?jǐn)?shù)據(jù),將所得400個(gè)評分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組:[66,70),[70,74),…,[94,98],并整理得到如下的頻率分布直方圖,則評分在區(qū)間[82,86)內(nèi)的影視作品數(shù)量是(

)A.20 B.40 C.64 D.80答案D

解析

由頻率分布直方圖可知,評分在區(qū)間[82,86)內(nèi)的影視作品數(shù)量為400×0.05×4=80.3.(2021·全國甲·理10)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,則2個(gè)0不相鄰的概率為(

)答案C

4.(2021·新高考Ⅰ·8)有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則(

)A.甲與丙相互獨(dú)立

B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立

D.丙與丁相互獨(dú)立答案B

5.(2022·全國乙·文19)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機(jī)選取了10棵這種樹木,測量每棵樹的根部橫截面積(單位:m2)和材積量(單位:m3),得到如下數(shù)據(jù):(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.附:(3)由題意及(1),可知該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為

×186=1

209(m3).6.(2021·新高考Ⅰ·18)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽,有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答,若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答,無論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計(jì)得分,求X的分布列;(2)為使累計(jì)得分的期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.(2)若小明先回答A類問題,期望為E(X).若小明先回答B(yǎng)類問題,Y為小明的累計(jì)得分,Y=0,80,100,因?yàn)镋(X)<E(Y),所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.知識精要1.抽樣方法(1)從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本,則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為(2)分層隨機(jī)抽樣實(shí)際上就是按比例抽樣,即按各層個(gè)體數(shù)占總體的比確定各層應(yīng)抽取的樣本數(shù)量.等可能性,公平性

名師點(diǎn)析簡單隨機(jī)抽樣、分層隨機(jī)抽樣都是等概率抽樣,體現(xiàn)了抽樣的公平性,但又各有其特點(diǎn)和適用范圍.2.統(tǒng)計(jì)中四個(gè)數(shù)據(jù)特征(1)眾數(shù):在樣本數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù).(2)中位數(shù):在樣本數(shù)據(jù)中,將數(shù)據(jù)按大小排列,位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù),就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).名師點(diǎn)析在頻率分布直方圖中確定眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的方法在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo);中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積是相等的;平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.3.數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性(1)線性相關(guān):一般地,如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而且散點(diǎn)落在一條直線附近,我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程:若變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系,有n個(gè)樣本數(shù)據(jù)

(3)決定系數(shù)R2:R2=1-.R2越大,表示殘差平方和越小,即模型的擬合效果越好;R2越小,表示殘差平方和越大,即模型的擬合效果越差.名師點(diǎn)析根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào),得到的僅是一個(gè)預(yù)測值,而不是真實(shí)發(fā)生的值.4.獨(dú)立性檢驗(yàn)對于取值分別是{x1,x2}和{y1,y2}的分類變量X和Y,其2×2列聯(lián)表是:變量y1y2合計(jì)x1aba+bx2cdc+d合計(jì)a+cb+dn隨機(jī)變量

5.概率的計(jì)算公式

對立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是對立事件

誤區(qū)警示要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別(1)在P(A|B)中,事件A,B發(fā)生有時(shí)間上的差異,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同時(shí)發(fā)生.(2)樣本空間不同,在P(A|B)中,事件B成為樣本空間;在P(AB)中,樣本空間仍為Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).6.兩種特殊分布(1)超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件(不放回),其中恰有X件次品,則(2)二項(xiàng)分布一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)為X,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)=pkqn-k,其中0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,…,n,稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記作X~B(n,p).名師點(diǎn)析1.超幾何分布的模型是不放回抽樣,要注意明確其中參數(shù)M,N,n的含義.2.二項(xiàng)分布的條件是獨(dú)立性與重復(fù)性.7.離散型隨機(jī)變量的分布列設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個(gè)值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,則稱下表為離散型隨機(jī)變量X的分布列.Xx1x2x3…xi…xnPp1p2p3…pi…pn名師點(diǎn)析1.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)(1)pi≥0(i=1,2,…,n);(2)p1+p2+…+pn=1.2.期望公式:E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn.8.離散型隨機(jī)變量的方差公式

名師點(diǎn)析方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是描述一組數(shù)據(jù)離散程度大小的量,只是單位不同.標(biāo)準(zhǔn)差的單位與數(shù)據(jù)的單位相同,方差的單位是數(shù)據(jù)單位的平方.9.期望與方差的性質(zhì)(1)離散型隨機(jī)變量期望的性質(zhì)①E(aX+b)=aE(X)+b;②若X~B(n,p),則E(X)=np;③若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p.(2)離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)①D(aX+b)=a2D(X);②若X~B(n,p),則D(X)=np(1-p);③若X服從兩點(diǎn)分布,則D(X)=p(1-p).10.正態(tài)分布正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定,因此正態(tài)分布常記作N(μ,σ2).如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則記為X~N(μ,σ2).滿足正態(tài)分布的三個(gè)基本概率的值是①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.注意是σ2,不是σ名師點(diǎn)析利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題是常見考法,涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,曲線與x軸之間的面積為1.高考小題突破5

考點(diǎn)一用樣本估計(jì)總體典例突破1(1)(2021·全國甲·理2)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況,對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是(

)A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間(2)(2022·福建莆田模擬)有一組樣本甲的數(shù)據(jù)xi(i=1,2,3,4,5,6),由這組數(shù)據(jù)得到新樣本乙的數(shù)據(jù)2xi+1(i=1,2,3,4,5,6),其中xi(i=1,2,3,4,5,6)為不全相等的正實(shí)數(shù).下列說法不正確的是(

)A.樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差B.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差C.若m為樣本甲的中位數(shù),則樣本乙的中位數(shù)為2m+1D.若m為樣本甲的平均數(shù),則樣本乙的平均數(shù)為2m+1答案

(1)C

(2)B

解析

(1)該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.02+0.04)×1=6%,A正確;該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.04+0.02+0.02+0.02)×1=10%,B正確;該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02×14=7.68,C不正確;該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比率為(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=64%,D正確.(2)xi(i=1,2,3,4,5,6)為不全相等的正實(shí)數(shù),若甲的極差為m(m>0),平均數(shù)為E(X),方差為D(X),則D(X)>0,中位數(shù)為n,則乙的極差為2m,平均數(shù)為2E(X)+1,方差為4D(X),中位數(shù)為2n+1,由2m>m,故A正確;由題意可知,4D(X)>D(X),故B不正確;由上分析知:若m為樣本甲的中位數(shù),則樣本乙的中位數(shù)為2m+1,故C正確;由上分析知:若m為樣本甲的平均數(shù),則樣本乙的平均數(shù)為2m+1,故D正確.增分技巧1.用樣本的頻率估計(jì)總體的步驟①確定樣本容量N.②確定事件發(fā)生的次數(shù)(頻數(shù))n.③求頻率

.④估計(jì)總體.2.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的步驟①確定樣本.②求樣本的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差(標(biāo)準(zhǔn)差).③由數(shù)字分析樣本、估計(jì)總體.對點(diǎn)練1(2022·山東濰坊一模)某市共青團(tuán)委統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩名同學(xué)近十期“青年大學(xué)習(xí)”答題得分情況,整理成如圖所示的莖葉圖,則下列說法中不正確的是(

)A.甲得分的30%分位數(shù)是31B.乙得分的眾數(shù)是48C.甲得分的中位數(shù)小于乙得分的中位數(shù)D.甲得分的極差等于乙得分的極差答案

A

解析

對于A,甲得分從小到大排列為27,28,31,39,42,45,55,55,58,66,而10×30%=3,所以甲得分的30%分位數(shù)是35,A不正確;對于B,乙的得分中有兩個(gè)48,其余分?jǐn)?shù)值均只有一個(gè),因此乙得分的眾數(shù)是48,B正確;對于C,甲得分的中位數(shù)是43.5,乙得分的中位數(shù)是45,C正確;對于D,甲得分的極差、乙得分的極差都是39,D正確.考點(diǎn)二古典概型典例突破2(1)(2022·山東菏澤二模)中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙,假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙、丁4名航天員開展實(shí)驗(yàn),其中天和核心艙安排2人,問天實(shí)驗(yàn)艙與夢天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人,則甲、乙兩人安排在同一個(gè)艙內(nèi)的概率為(

)(2)(2022·新高考Ⅰ·5)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù),則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為(

)答案

(1)A

(2)D增分技巧古典概型求解的關(guān)鍵點(diǎn)(1)解答古典概型問題,關(guān)鍵是正確求出基本事件的總數(shù)和A包含的基本事件的個(gè)數(shù),常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識.(2)在求基本事件的總數(shù)時(shí),要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成,這樣才能保證所求A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)的求法與基本事件的總數(shù)的求法的一致性.對點(diǎn)練2(1)(2022·河北邯鄲二模)甲、乙兩人玩一個(gè)傳紙牌的游戲,每個(gè)回合,兩人同時(shí)隨機(jī)從自己的紙牌中選一張給對方.游戲開始時(shí),甲手中的兩張紙牌數(shù)字分別為1,3,乙手中的兩張紙牌數(shù)字分別為2,4,則一個(gè)回合之后,甲手中的紙牌數(shù)字之和大于乙手中的紙牌數(shù)字之和的概率為(

)(2)(2022·山東聊城一模)第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行,中國郵政陸續(xù)發(fā)行了多款紀(jì)念郵票,其圖案包括“冬夢”“飛躍”“冰墩墩”“雪容融”等,小明現(xiàn)有“冬夢”“飛躍”“冰墩墩”“雪容融”郵票各2張,他打算從這8張郵票中任選3張贈(zèng)送給同學(xué)小紅,則在選中的3張郵票中既有“冰墩墩”郵票又有“雪容融”郵票的概率為

.

解析

(1)甲手中的兩張紙牌數(shù)字用{1,3}表示,乙手中的兩張紙牌數(shù)字用{2,4}表示,一個(gè)回合之后,甲、乙兩人手中的兩張紙牌數(shù)字可能為①{2,3},{1,4};②{4,3},{2,1};③{1,2},{3,4};④{1,4},{2,3},共4種情況,其中甲手中的紙牌數(shù)字之和大于乙手中的紙牌數(shù)字之和只有②一種情況,所以甲手中的紙牌數(shù)字之和大于乙手中的紙牌數(shù)字之和的概率為

.考點(diǎn)三相互獨(dú)立事件的概率典例突破3(1)(2022·廣東韶關(guān)二模)某一部件由三個(gè)電子元件按如圖方式連接而成,元件1和元件2同時(shí)正常工作,或元件3正常工作,則部件正常工作,設(shè)三個(gè)電子元件正常工作的概率均為,且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件正常工作的概率為(

)答案

(1)D

(2)B

解析

(1)討論元件3正常與不正常:第一類,元件3正常,上部分正常或不正常都不影響該部件正常工作,則正常增分技巧求相互獨(dú)立事件和n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的注意點(diǎn)(1)求復(fù)雜事件的概率,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,分析復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的“和”事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的“積”事件,然后用概率公式求解.(2)注意辨別n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征:①同一個(gè)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)做n次;②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.(2)(2022·遼寧大連模擬)投壺是中國古代士大夫宴飲時(shí)做的一種投擲游戲,在戰(zhàn)國時(shí)期較為盛行.如圖為一幅唐朝的投壺圖,假設(shè)甲、乙是唐朝的兩位投壺游戲參與者,且甲、乙每次投壺投中的概率分別為,每人每次投壺相互獨(dú)立.若約定甲投壺2次,乙投壺3次,投中次數(shù)多者勝,則甲最后獲勝的概率為

.

考點(diǎn)四條件概率與全概率公式考向1條件概率典例突破4(1)(2022·甘肅酒泉模擬)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,記兩枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)分別為x,y,則在2x+y=12的條件下,x與y不相等的概率是(

)(2)(2022·北京東城三模)若某地區(qū)60歲及以上人群的某疫苗全程(兩針)接種率為60%,加強(qiáng)免疫接種(第三針)的接種率為36%,則在該地區(qū)完成該疫苗全程接種的60歲及以上人群中隨機(jī)抽取一人,此人完成了加強(qiáng)免疫接種的概率為(

)A.0.6 B.0.375 C.0.36 D.0.216答案

(1)D

(2)A

解析

(1)(方法一)記“2x+y=12”為事件A,“x與y不相等”為事件B,則

(2)設(shè)事件A為抽取的一人完成該疫苗全程接種,事件B為抽取的一人完成加強(qiáng)免疫接種,所以P(A)=0.6,P(AB)=0.36,所以在該地區(qū)完成該疫苗全程接種的60歲及以上人群中隨機(jī)抽取一人,此增分技巧條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式,先求A包含的基本事件個(gè)數(shù)n(A),再求AB所包含的基本事件個(gè)數(shù)n(AB),得P(B|A)=縮樣法縮小基本事件集合的方法,就是去掉第一次抽到的情況,只研究剩下的情況,用古典概型求解,它能化繁為簡對點(diǎn)練4(1)(2022·山東濟(jì)寧模擬)已知n是一個(gè)三位正整數(shù),若n的十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字,百位數(shù)字大于十位數(shù)字,則稱n為三位遞增數(shù).已知a,b,c∈{0,1,2,3,4},設(shè)事件A為“由a,b,c組成三位正整數(shù)(數(shù)字可重復(fù))”,事件B為“由a,b,c組成的三位正整數(shù)為遞增數(shù)”,則P(B|A)=(

)(2)(2022·江西南昌二模)從裝有4個(gè)紅球和3個(gè)藍(lán)球(除顏色外完全相同)的盒子中任取兩個(gè)球,則在選到的兩個(gè)球顏色相同的條件下,都是紅球的概率為

.

解析

(1)由題可知n(A)=4×5×5=100,由a,b,c組成的三位正整數(shù)為遞增數(shù),則:若該三位數(shù)個(gè)位是0,則百位和十位從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)按大小排列即可,共

=6種可能;若該三位數(shù)個(gè)位是1,則百位和十位從2,3,4三個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)按大小排列即可,共

=3種可能;若該三位數(shù)個(gè)位是2,則百位為4,十位為3,共1種可能.考向2全概率公式典例突破5(1)(2022·湖北黃岡模擬)為了提升全民身體素質(zhì),學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉,某?；@球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃練習(xí).如果他前一球投進(jìn),則后一(2)(2022·海南嘉積中學(xué)模擬)長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力,據(jù)調(diào)查,某校學(xué)生大約40%的人近視,而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1h,這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生,則他近視的概率為(

)答案

(1)B

(2)B

(2)令A(yù)1=“玩手機(jī)時(shí)間超過1

h的學(xué)生”,A2=“玩手機(jī)時(shí)間不超過1

h的學(xué)生”,B=“任意調(diào)查一人,此人近視”,則Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(B|A1)=0.5,P(B)=0.4,依題意,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.2×0.5+0.8×P(B|A2)=0.4,增分技巧應(yīng)用全概率公式求概率的步驟(1)根據(jù)題意找出完備事件組,即滿足全概率公式的Ω的一個(gè)劃分A1,A2,A3,…,An;(2)用Ai(i=1,2,3,…,n)來表示待求的事件;(3)代入全概率公式求解.對點(diǎn)練5(1)(2022·廣東茂名模擬)某乒乓球訓(xùn)練館使用的球是A,B,C三種不同品牌標(biāo)準(zhǔn)比賽球,根據(jù)以往使用的記錄數(shù)據(jù):品牌名稱合格率購買球占比A98%0.2B99%0.6C97%0.2若這些球在盒子中是均勻混合的,且無區(qū)別的標(biāo)志,現(xiàn)從盒子中隨機(jī)地取一只球用于訓(xùn)練,則它是合格品的概率為(

)A.0.986 B.0.984 C.0.982 D.0.980(2)(2022·湖北襄陽模擬)英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著,根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論,隨機(jī)事件A,B存在如下關(guān)系:P(A|B)=.某高校有甲、乙兩家餐廳,王同學(xué)第一天去甲、乙兩家餐廳就餐的概率分別為0.4和0.6.如果他第一天去甲餐廳,那么第二天去甲餐廳的概率為0.6;如果第一天去乙餐廳,那么第二天去甲餐廳的概率為0.5,則王同學(xué)(

)A.第二天去甲餐廳的概率為0.56B.第二天去乙餐廳的概率為0.44答案

(1)B

(2)C

解析

(1)將A,B,C分別記為第1,第2,第3個(gè)品牌,設(shè)事件M1表示“取到的球是第i個(gè)品牌(i=1,2,3)”,事件N表示“取到的是一個(gè)合格品”,其中M1,M2,M3兩兩互斥,所以P(N)=P(M1N)+P(M2N)+P(M3N)=P(M1)P(N|M1)+P(M2)P(N|M2)+P(M3)P(N|M3)=0.98×0.2+0.99×0.6+0.97×0.2=0.984,所以它是合格品的概率為0.984.(2)設(shè)A1:第一天去甲餐廳,A2:第二天去甲餐廳,B1:第一天去乙餐廳,B2:第二天去乙餐廳,所以P(A1)=0.4,P(B1)=0.6,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.5.所以P(A2)P(A1|A2)=0.24,P(A2)P(B1|A2)=0.3,所以有P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.4×0.6+0.6×0.5=0.54,因此選項(xiàng)A不正確;P(B2)=1-P(A2)=0.46,因此選項(xiàng)B不正確;考點(diǎn)五正態(tài)分布及其應(yīng)用典例突破6(1)(2022·河北唐山三模)在某次測驗(yàn)中,測驗(yàn)結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(80,σ2).若P(ξ>90)=0.2,則P(70<ξ<90)=

.

(2)(2022·山東泰安一模)隨著時(shí)代發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步,教師職業(yè)越來越受青睞,考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一.當(dāng)前,中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分.已知某市2021年共有10000名考生參加了中小學(xué)教師資格考試的筆試,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100人的筆試成績(滿分100分)作為樣本,整理得到如下頻數(shù)分布表:筆試成績X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)51025302010由頻數(shù)分布表可認(rèn)為該市全體考生的筆試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中,μ近似為100名樣本考生筆試成績的平均值(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替),則μ=

.若σ=12.9,據(jù)此估計(jì)該市全體考生中筆試成績高于85.9的人數(shù)(結(jié)果四舍五入精確到個(gè)位)為

.

參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.答案

(1)0.6

(2)73

1587

解析

(1)因?yàn)棣畏恼龖B(tài)分布N(80,σ2),所以P(ξ<80)=0.5.因?yàn)镻(70<ξ<90)=2(P(ξ<90)-P(ξ<80))=2(1-P(ξ>90)-P(ξ<80))=2×(1-0.2-0.5)=0.6.增分技巧正態(tài)分布下常見的概率計(jì)算利用3σ原則求概率問題時(shí),要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量μ,σ進(jìn)行對比聯(lián)系,確定它們屬于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一個(gè).對點(diǎn)練6(1)(2022·山東德州二模)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,σ2),若P(X<2-a)=0.3,則P(2-a<X<a)=(

)A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6(2)(2021·新高考Ⅱ·6)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),下列結(jié)論中不正確的是(

)A.σ越小,該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小,該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.σ越小,該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小,該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等答案

(1)C

(2)D

解析

(1)因?yàn)閤=2-a,x=a關(guān)于x=1對稱,故P(2-a<X<a)=2P(2-a<X<1)=2[0.5-P(X<2-a)]=0.4.(2)對于A,σ2為數(shù)據(jù)的方差,所以σ越小,數(shù)據(jù)在μ=10附近越集中,所以測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大,故A正確;對于B,由正態(tài)密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5,故B正確;對于C,由正態(tài)密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,故C正確;對于D,因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y量結(jié)果落在(9.9,10.2)的概率大于落在(10,10.3)的概率,所以一次測量結(jié)果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同,故D錯(cuò)誤.培優(yōu)拓展?統(tǒng)計(jì)圖表創(chuàng)新題中的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)圖表信息題是題設(shè)條件或結(jié)論中包含有圖表的試題.用圖表形式提供信息與以往通過單一文字提供信息比較,往往有直觀、信息量大、數(shù)量之間關(guān)系明確等優(yōu)點(diǎn),成為近年命題的熱點(diǎn).一般以真實(shí)的生活實(shí)例為情境命題,如國家統(tǒng)計(jì)局公布的一些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等,對考生讀圖、識圖及數(shù)據(jù)處理的能力提出了較高的要求.解答這類試題,需要仔細(xì)觀察,挖掘圖表所含的信息,并對所得到的信息進(jìn)行分類、合成、提取、加工,最終求得問題的答案.高中數(shù)學(xué)除了最常見的頻率分布直方圖和莖葉圖外,常見的統(tǒng)計(jì)圖表還有扇形圖(餅圖)、柱(條)形圖、折線圖、雷達(dá)圖等.類型1扇形圖(餅圖)【例1】

(2022·河北衡水模擬)2021年我國全國發(fā)電量為81121.8億千瓦時(shí),相比2020年增長了6951.4億千瓦時(shí),如圖是我國2020年和2021年全國發(fā)電結(jié)構(gòu)占比圖,則下列說法不正確的是(

)A.2020年與2021年這兩年的全國發(fā)電量中火力發(fā)電占比均最高B.2021年全國火力發(fā)電量低于2020年全國火力發(fā)電量C.2020年與2021年的全國水力發(fā)電量占比均在當(dāng)年排名第二D.2021年的風(fēng)力、太陽能、核能發(fā)電量占比均高于2020年答案

B

解析

對于A:根據(jù)扇形圖易知2020和2021這兩年發(fā)電量中火力發(fā)電的占比都是最高,故A正確;對于B:由題意得2020年全國發(fā)電量為81

121.8-6

951.4=74

170.4億千瓦時(shí),2020年火力發(fā)電量為74

170.4×71.18%≈52

794.5億千瓦時(shí),2021年火力發(fā)電量為81

121.8×71.13%≈57

701.9億千瓦時(shí),故B不正確.對于C:根據(jù)扇形圖易知2020和2021這兩年發(fā)電量中水力發(fā)電都排名第二,故C正確;根據(jù)兩扇形圖易知D正確.增分技巧扇形圖,又稱扇形統(tǒng)計(jì)圖,它是用整個(gè)圓表示總數(shù),用圓內(nèi)各個(gè)扇形的大小表示各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分?jǐn)?shù),通過扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.類型2條(柱)形圖【例2】

(2022·遼寧錦州模擬)隨著時(shí)代的革新,科技的進(jìn)步,通信技術(shù)已經(jīng)成為我們?nèi)粘Ｉ罴肮ぷ髦斜夭豢缮俚囊徊糠?在信息化時(shí)代下,通信行業(yè)作為一個(gè)新興的科學(xué)技術(shù)類行業(yè),在具有長遠(yuǎn)發(fā)展?jié)摿Φ耐瑫r(shí)也面臨著激烈的競爭.“2019年6月末—2021年6月末(9個(gè)季度)全國互聯(lián)網(wǎng)寬帶接入端口數(shù)(單位:億個(gè))”統(tǒng)計(jì)圖如圖.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的相關(guān)信息進(jìn)行分析,下列說法中正確的是(

)A.2020年12月末,全國互聯(lián)網(wǎng)寬帶接入端口數(shù)較2019年同期增長0.40億個(gè)B.2021年6月末,全國互聯(lián)網(wǎng)寬帶接入端口數(shù)較2020年同期增長率約為5.19%2019年6月末—2021年6月末(9個(gè)季度)全國互聯(lián)網(wǎng)寬帶接入端口數(shù)C.2019年6月末—2021年6月末(9個(gè)季度),全國互聯(lián)網(wǎng)寬帶接入端口數(shù)每個(gè)季度都在增長,且增長量是遞增的D.2019年6月末—2021年6月末(9個(gè)季度),全國互聯(lián)網(wǎng)寬帶接入端口數(shù)每個(gè)季度的8個(gè)增長量的平均值約為0.10答案

D

解析

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖,逐項(xiàng)分析如下.選項(xiàng)正誤原因A×2019年12月末,全國互聯(lián)網(wǎng)寬帶接入端口數(shù)達(dá)9.16億個(gè),2020年12月末,全國互聯(lián)網(wǎng)寬帶接入端口數(shù)達(dá)9.46億個(gè),增長0.30億個(gè)B×2020年6月末,全國互聯(lián)網(wǎng)寬帶接入端口數(shù)達(dá)9.31億個(gè),2021年6月末,全國互聯(lián)網(wǎng)寬帶接入端口數(shù)達(dá)9.82億個(gè),所以同期增長率約為

≈5.48%選項(xiàng)正誤原因C×全國互聯(lián)網(wǎng)寬帶接入端口數(shù)從2019年6月末—2021年6月末(9個(gè)季度)的8個(gè)增長量分別為0.10,0.03,0.07,0.08,0.06,0.09,0.19,0.17,易知增長量不是遞增的D√由選項(xiàng)C的判斷知從2019年6月末—2021年6月末(9個(gè)季度)全國互聯(lián)網(wǎng)寬帶接入端口數(shù)的增長量的平均值約為(0.10+0.03+0.07+0.08+0.06+0.09+0.19+0.17)×≈0.10類型3折線圖【例3】

(2022·廣東梅州二模)如圖是國家統(tǒng)計(jì)局于2021年3月10日發(fā)布的2020年2月到2021年2月全國居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況折線圖,其中同比是指本期與同期作對比,如2020年10月與2019年10月相比;環(huán)比是指本期與上期作對比,如2020年12月與2020年11月相比.下列關(guān)于“居民消費(fèi)價(jià)格漲跌幅”圖表的理解,錯(cuò)誤的選項(xiàng)是(

)全國居民消費(fèi)價(jià)格漲跌幅

A.2020年10月,全國居民消費(fèi)價(jià)格同比下降B.2020年11月,全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比下降C.2020年2月至2021年2月,全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比在2021年1月漲幅最高D.2020年4月的全國居民消費(fèi)價(jià)格高于2019年5月的全國居民消費(fèi)價(jià)格答案

A

解析

從圖中可以看出2020年10月,全國居民消費(fèi)價(jià)格同比為0.5>0,故全國居民消費(fèi)價(jià)格同比上升,A錯(cuò)誤;2020年11月,全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比為-0.6<0,故全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比下降,B正確;2020年2月至2021年2月,全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比在2021年1月漲幅為1.0,最高,C正確;設(shè)2019年4月的全國居民消費(fèi)價(jià)格為a,則2020年4月的全國居民消費(fèi)價(jià)格為(1+3.3%)a,則2020年5月的全國居民消費(fèi)價(jià)格為(1-0.8%)(1+3.3%)a,故(1+3.3%)a>1.000

7a,故2020年4月的全國居民消費(fèi)價(jià)格高于2019年5月的全國居民消費(fèi)價(jià)格,D正確.類型4雷達(dá)圖【例4】

(2022·遼寧沈陽高一期末)最近,EDG電子競技俱樂部首次奪得英雄聯(lián)盟全球總決賽冠軍的消息在網(wǎng)絡(luò)上轟動(dòng)一時(shí),這是對電子競技體育主流價(jià)值的一種認(rèn)可,也是一場集體的自我證明,電競并不等同于打游戲,其需要很強(qiáng)的責(zé)任心和自律精神,我國體育總局已經(jīng)將電子競技項(xiàng)目列為正式體育競賽項(xiàng)目,現(xiàn)某公司推出一款全新電子競技游戲.下面雷達(dá)圖給出該游戲中3個(gè)人物的5種特征分析,則下列說法正確的是(

)①小軻的生命值低,但是法力、防衡力、移動(dòng)速度都很出色,適合快速進(jìn)攻②小娜的各項(xiàng)特征均衡,組隊(duì)進(jìn)攻時(shí),可以彌補(bǔ)小軻的弱點(diǎn)③小班的生命值比小軻大,所以游戲中一定比小軻活得久④如果進(jìn)行一對一對抗賽,小班比小娜的勝率大A.①③

B.②③ C.①②

D.③④某電子競技游戲人物特征

答案

C

解析

人物小軻的生命值估計(jì)為25,回血值估計(jì)為50,移動(dòng)速度估計(jì)為55,防御力估計(jì)為51,法力估計(jì)為58,故小軻適合快速進(jìn)攻,①對;人物小娜的生命值估計(jì)為50,回血值估計(jì)為55,移動(dòng)速度估計(jì)為45,防御力估計(jì)為40,法力估計(jì)為43,小娜的生命值高,各項(xiàng)特征均衡,組隊(duì)進(jìn)攻時(shí),可以彌補(bǔ)小軻的弱點(diǎn),②對;人物小班的生命值估計(jì)為39,回血值估計(jì)為30,移動(dòng)速度估計(jì)為32,防御力估計(jì)為30,法力估計(jì)為43,雖然小班的生命值比小軻大,但回血值、移動(dòng)速度、防御值、法力值均低于小軻,所以在游戲中不一定比小軻活得久,③錯(cuò);由于人物小娜的生命值、回血值、移動(dòng)速度、防御力都高于人物小班,而兩者的法力值幾乎一樣,所以小娜比小班的勝率大,④錯(cuò),故選C.增分技巧雷達(dá)圖是以從同一點(diǎn)開始的軸上表示的三個(gè)或更多個(gè)定量變量的二維圖表的形式顯示多變量數(shù)據(jù)的圖形方法.軸的相對位置和角度通常是無信息的,它相當(dāng)于平行坐標(biāo)圖,軸徑向排列.高考保分大題四熱點(diǎn)一

經(jīng)驗(yàn)回歸方程的實(shí)際應(yīng)用典例突破1(2022·江西南昌模擬)某種機(jī)器隨著使用年限的增加,其價(jià)值逐漸減小.經(jīng)調(diào)查顯示,該機(jī)器售價(jià)為25萬元,其使用年限x(單位:年)與價(jià)值y(單位:萬元)之間的對應(yīng)關(guān)系統(tǒng)計(jì)如下表所示.2423222019191716由上表數(shù)據(jù)可知,可用線性回歸模型(下面簡稱為模型一)擬合y與x的關(guān)系.(2)研究人員采用另外一種非線性模型(下面簡稱為模型二)對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行研究,得到模型二的相關(guān)系數(shù)r'=-0.923.①計(jì)算模型一的相關(guān)系數(shù)r;②試根據(jù)①中計(jì)算結(jié)果,說明選擇哪種模型擬合效果更好.參考公式:對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其經(jīng)驗(yàn)回②相關(guān)系數(shù)r是衡量模型好壞的標(biāo)準(zhǔn),相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1,模型的擬合性就越強(qiáng),因?yàn)閨r|比|r'|更接近于1,故模型一相比模型二具有更好的擬合效果.增分技巧線性回歸分析問題的類型及解題方法(1)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程:

對點(diǎn)練1(2022·河南開封三模)根據(jù)統(tǒng)計(jì),某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(單位:百千克)與某種液體肥料每畝使用量x(單位:千克)之間對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,如圖所示.(1)請從相關(guān)系數(shù)r(精確到0.01)的角度分析,能否用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系(若|r|≥0.75,則線性相關(guān)程度很強(qiáng),可用線性回歸模型擬合);(2)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并用其估計(jì)當(dāng)該種液體肥料每畝使用量為9千克時(shí),該蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少百千克?熱點(diǎn)二

獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)用典例突破2(2022·四川瀘州診斷測試)勞動(dòng)教育具有樹德、增智、強(qiáng)體、育美的綜合育人價(jià)值.某學(xué)校為了解學(xué)生參加家務(wù)勞動(dòng)的情況,隨機(jī)抽查了100名學(xué)生,其中有40名男生,并統(tǒng)計(jì)了這些學(xué)生在某個(gè)休息日做家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間,將勞動(dòng)時(shí)間分為5組:[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5),[2.5,3],得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)已知該校學(xué)生李華在該休息日做了1.6小時(shí)的家務(wù)勞動(dòng),根據(jù)繪制的頻率分布直方圖,試用統(tǒng)計(jì)的知識分析李華做家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間處于什么水平(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)若做家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間不低于2小時(shí)稱為“喜歡做家務(wù)”,已知調(diào)查數(shù)據(jù)中喜歡做家務(wù)勞動(dòng)的男生有5人,據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值α=0.05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),分析喜歡做家務(wù)勞動(dòng)是否與性別有關(guān).類別喜歡做家務(wù)不喜歡做家務(wù)男生

女生

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解

(1)由題知,(0.3+0.5+m+0.4+0.1)×0.5=1,解得m=0.7.若選擇中位數(shù):勞動(dòng)的時(shí)間在[0.5,1.5)的頻率為(0.3+0.5)×0.5=0.4,勞動(dòng)的時(shí)間在[1.5,2)的頻率為0.7×0.5=0.35,0.4+=0.47,所以1.6小時(shí)的家務(wù)勞動(dòng)略低于中等水平;若選擇平均數(shù):這些學(xué)生在某個(gè)休息日做家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間的平均數(shù)為

=0.75×0.15+1.25×0.25+1.75×0.35+2.25×0.2+2.75×0.05=1.625>1.6,所以1.6小時(shí)的家務(wù)勞動(dòng)略低于平均水平.(2)零假設(shè)為H0:喜歡做家務(wù)勞動(dòng)與性別無關(guān).2×2列聯(lián)表如下:類別喜歡做家務(wù)不喜歡做家務(wù)合計(jì)男生53540女生204060合計(jì)2575100根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即喜歡做家務(wù)勞動(dòng)與性別有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.熱點(diǎn)三

離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差考向1以超幾何分布為背景的期望與方差典例突破3(2022·河北唐山二模)目前,全國多數(shù)省份已經(jīng)開始了新高考改革.改革后,考生的高考總成績由語文、數(shù)學(xué)、外語3門全國統(tǒng)一考試科目成績和3門選擇性科目成績組成.注:甲、乙兩名同學(xué)對選擇性科目的選擇是隨機(jī)的.(1)A省規(guī)定:選擇性考試科目學(xué)生可以從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物學(xué)6門科目中任選3門參加選擇性考試.求甲同學(xué)在選擇物理科目的條件下,選擇化學(xué)科目的概率.(2)B省規(guī)定:3門選擇性科目由學(xué)生首先從物理科目和歷史科目中任選1門,再從思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)4門科目中任選2門.①求乙同學(xué)同時(shí)選擇物理科目和化學(xué)科目的概率;②為調(diào)查學(xué)生的選科情況,從某校高二年級抽取了10名同學(xué),其中有6名首選物理,4名首選歷史.現(xiàn)從這10名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查.將其中首選歷史的人數(shù)記作X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解

(1)“選擇物理”記作事件A,“選擇化學(xué)”記作事件B,則

對于②,隨機(jī)變量X可以取0,1,2,3.隨機(jī)變量X的分布列為

增分技巧求超幾何分布的分布列的步驟第一步,驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n的值;第二步,根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.對點(diǎn)練2(2022·山東煙臺(tái)一模)2022年2月4日至20日,第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京成功舉辦.這場冰雪盛會(huì)是運(yùn)動(dòng)健兒奮力拼搏的舞臺(tái),也是中外文明交流互鑒的舞臺(tái),折射出我國更加堅(jiān)實(shí)的文化自信,詮釋著新時(shí)代中國的從容姿態(tài),傳遞出中華兒女與世界人民“一起向未來”的共同心聲.某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了全校學(xué)生觀看北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式的時(shí)長情況(單位:分鐘),并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到如下所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值,并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的85%分位數(shù);(2)采用分層隨機(jī)抽樣方式,從觀看時(shí)長在[200,280]中的學(xué)生中抽取6人.若從這6人中隨機(jī)抽取3人在全校交流觀看體會(huì),設(shè)抽取的3人中觀看時(shí)長在[200,240)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解

(1)由題意,40×(0.000

5+0.002×2+2a+0.006+0.006

5)=1,解得a=0.004.由頻率分布直方圖知,觀看時(shí)長在200分鐘以下占比為40×(0.000

5+0.002+0.004+0.006+0.006

5)=0.76,觀看時(shí)長在240分鐘以下占比為0.76+40×0.004=0.92,所以85%分位數(shù)位于[200,240)內(nèi),85%分位數(shù)為(2)由題意,觀看時(shí)長在[200,240),[240,280]中對應(yīng)的頻率分別為0.16和0.08,所以采用分層隨機(jī)抽樣的方式在兩個(gè)區(qū)間中應(yīng)分別抽取4人和2人.于是抽取的3人中觀看時(shí)長在[200,240)中的人數(shù)X的所有可能取值為1,2,3.X的分布列為

考向2以互斥或獨(dú)立事件為背景的期望與方差典例突破4(12分)(2022·全國甲·理19)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.【規(guī)范解答】

則P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)+(1-0.5)×(1-0.4)×0.8=0.34,X0102030P0.160.440.340.06【教師講評】(1)從總得分最高分析,知甲學(xué)校獲得冠軍有兩種情況,一是三個(gè)項(xiàng)目均獲勝,二是其中的兩個(gè)項(xiàng)目獲勝,利用對立事件及相互獨(dú)立事件的概率公式求解;(2)從甲學(xué)校獲勝的項(xiàng)目個(gè)數(shù)出發(fā),列出X的所有可能取值,再利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算相應(yīng)概率,列出分布列,根據(jù)公式計(jì)算期望即可.增分技巧求相互獨(dú)立事件概率的兩種方法直接法正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題,然后用相應(yīng)概率公式求解間接法當(dāng)復(fù)雜事件正面情況較多,反面情況較少時(shí),可利用其對立事件進(jìn)行求解,對于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解對點(diǎn)練3(2022·山東泰安三模)某商場為了促銷,規(guī)定顧客購買滿500元商品即可抽獎(jiǎng),最多有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).每次抽中,可依次獲得10元、20元、30元獎(jiǎng)金,若沒有抽中,不可繼續(xù)抽獎(jiǎng),顧客每次抽中后,可以選擇帶走所有獎(jiǎng)金,結(jié)束抽獎(jiǎng);也可選擇繼續(xù)抽獎(jiǎng),若沒有抽中,則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零,結(jié)束抽獎(jiǎng).小明購買了500元商品并參與了抽獎(jiǎng)活動(dòng),已知他每次抽中的概率(1)求小明第一次抽中,但所得獎(jiǎng)金歸零的概率;(2)設(shè)小明所得獎(jiǎng)金總數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解

(1)記小明第i次抽中為事件Ai(i=1,2,3),則有

隨機(jī)變量X的分布列為

考向3以二項(xiàng)分布為背景的期望與方差典例突破5(2022·河北滄州二模)足球比賽淘汰賽階段通常常規(guī)比賽時(shí)間為90分鐘,若在90分鐘結(jié)束時(shí)進(jìn)球數(shù)持平,需進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽,若加時(shí)賽仍是平局,則采用“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負(fù).“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下:①兩隊(duì)各派5名隊(duì)員,雙方輪流踢點(diǎn)球,累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝;②如果在踢滿5輪前,一隊(duì)的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢滿5輪最多可能射中的球數(shù),則不需要再踢(例如:第4輪結(jié)束時(shí),雙方“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的進(jìn)球數(shù)比為2∶0,則不需再踢第5輪);③若前5輪“點(diǎn)球大戰(zhàn)”中雙方進(jìn)球數(shù)持平,則從第6輪起,雙方每輪各派1人罰點(diǎn)球,若均進(jìn)球或均不進(jìn)球,則繼續(xù)下一輪,直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況,進(jìn)球方勝出.(1)假設(shè)踢點(diǎn)球的球員等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門,門將也會(huì)等可能地選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球,而且門將即使方向判斷正確也只有

的可能性將球撲出,若球員射門均在門內(nèi),在一次“點(diǎn)球大戰(zhàn)”中,求門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望.(2)現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)在半決賽中相遇,常規(guī)賽和加時(shí)賽后雙方戰(zhàn)平,需進(jìn)行“點(diǎn)球大戰(zhàn)”來決定勝負(fù),設(shè)甲隊(duì)每名隊(duì)員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為,乙隊(duì)每名隊(duì)員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為,假設(shè)每輪點(diǎn)球中進(jìn)球與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.(i)若甲隊(duì)先踢點(diǎn)球,求在第3輪結(jié)束時(shí),甲隊(duì)踢進(jìn)了3個(gè)球(不含常規(guī)賽和加時(shí)賽進(jìn)球)并勝出的概率;(ii)求“點(diǎn)球大戰(zhàn)”在第6輪結(jié)束,且乙隊(duì)以5∶4(不含常規(guī)賽和加時(shí)賽得分)勝出的概率.解

(1)依題意可得,門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為

則X的分布列為

(2)(i)記事件“甲隊(duì)先踢點(diǎn)球,在第3輪結(jié)束時(shí),甲隊(duì)踢進(jìn)了3個(gè)球(不含常規(guī)賽和加時(shí)賽進(jìn)球)并勝出”為事件A,意味著甲隊(duì)先踢點(diǎn)球,前三輪點(diǎn)球乙隊(duì)沒進(jìn)球,甲隊(duì)前三輪踢進(jìn)3個(gè)點(diǎn)球,乙隊(duì)沒進(jìn)球?qū)?yīng)的概率為(ii)記“點(diǎn)球大戰(zhàn)在第6輪結(jié)束,且乙隊(duì)以5∶4(不含常規(guī)賽和加時(shí)賽得分)勝出”為事件B,意味著前5輪結(jié)束后比分為4∶4,第6輪乙隊(duì)進(jìn)球甲隊(duì)沒進(jìn)球,增分技巧破解有關(guān)二項(xiàng)分布的“四關(guān)”對點(diǎn)練4(2022·湖南衡陽二模)隨著近期我國不斷走向轉(zhuǎn)型化進(jìn)程以及社會(huì)就業(yè)壓力的不斷加劇,創(chuàng)業(yè)逐漸成為在校大學(xué)生和畢業(yè)大學(xué)生的一種職業(yè)選擇方式.但創(chuàng)業(yè)過程中可能會(huì)遇到風(fēng)險(xiǎn),有些風(fēng)險(xiǎn)是可以控制的,有些風(fēng)險(xiǎn)是不可控制的,某地政府為鼓勵(lì)大學(xué)生創(chuàng)業(yè),制定了一系列優(yōu)惠政策:已知?jiǎng)?chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲成功的概率為,項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金20萬元;創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙成功的概率為P0(0<P0<1),項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金30萬元;項(xiàng)目沒有成功則沒有獎(jiǎng)勵(lì),每個(gè)項(xiàng)目有且只有一次實(shí)施機(jī)會(huì),兩個(gè)項(xiàng)目的實(shí)施是否成功互不影響,項(xiàng)目成功后由當(dāng)?shù)卣畠冬F(xiàn)獎(jiǎng)勵(lì).(1)大學(xué)畢業(yè)生張某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲,畢業(yè)生李某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙,記他們獲得的獎(jiǎng)金累計(jì)為X(單位:萬元),若X≤30的概率為,求P0的大小;(2)若兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲或創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙進(jìn)行創(chuàng)業(yè),問:他們選擇何種創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目,累計(jì)得到的獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望最大?(2)設(shè)兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為X1,都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為X2,則這兩人選擇項(xiàng)目甲累計(jì)獲得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為E(20X1),選擇項(xiàng)目乙累計(jì)獲得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為E(30X1).熱點(diǎn)四

預(yù)測與決策問題典例突破6(2022·山東棗莊三模)某商家決定借助線上平臺(tái)開展銷售活動(dòng).現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)平臺(tái)供選擇,且當(dāng)每件商品的售價(jià)為a(300≤a≤500)元時(shí),從該商品在兩個(gè)平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取100天的日銷售量統(tǒng)計(jì)如下,商品日銷售量/件678910甲平臺(tái)的天數(shù)1426262410乙平臺(tái)的天數(shù)1025352010假設(shè)該商品在兩個(gè)平臺(tái)日銷售量的概率與表格中相應(yīng)日銷售量的頻率相等,且每天的銷售量互不影響.(1)求“甲平臺(tái)日銷售量不低于8件”的概率,并計(jì)算“從甲平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中