四川省遂寧市2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中文試題含解析

Page18四川省遂寧市2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中（文）試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上.2.選擇題用2B鉛筆在對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑答案.主觀題用0.5毫米黑色簽字筆答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分）1.直線傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】直線的斜率不存在，即得傾斜角.【詳解】直線的斜率不存在，直線與軸垂直，其傾斜角為.故選：C.2.在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間中兩點(diǎn)的距離公式，即得解.【詳解】由題意，.故選：D3.已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C.或1 D.2或1【答案】D【解析】【分析】對(duì)a分類討論，由截距相等列方程解出的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)時(shí)，直線，在軸與軸上的截距均為0，符合題意；當(dāng)且，由直線可得：橫截距為，縱截距為.由，解得：.故的值是2或1.故選：D4.如圖，一個(gè)水平放置的圖形的直觀圖是一個(gè)等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)，那么原平面圖形的面積是（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可得原圖形為直角三角形，運(yùn)算即可得解.【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可得原圖形為如圖所示，因?yàn)槭堑妊苯侨切危鶕?jù)斜二測(cè)畫(huà)法可得為直角三角形，，，，所以原平面圖形的面積是.故選：B.5.已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過(guò)直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長(zhǎng)，從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關(guān)公式求得圓柱的表面積.詳解：根據(jù)題意，可得截面是邊長(zhǎng)為的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時(shí)候，一定要注意是兩個(gè)底面圓與側(cè)面積的和.6.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】D【解析】【詳解】試題分析：，,故選D.考點(diǎn)：點(diǎn)線面的位置關(guān)系.7.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】由三視圖做出幾何體的直觀圖，再根據(jù)體積公式計(jì)算即可得答案.【詳解】解：根據(jù)三視圖可得直觀圖為四棱錐，如圖：底面是一個(gè)直角梯形，，，，，且底面，∴該四棱錐的體積為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖求幾何體的體積，考查空間想象能力，運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.8.過(guò)點(diǎn)作直線，若點(diǎn)、到它的距離相等，則直線的方程為（）A.或 B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分兩種情況討論：①；②直線過(guò)線段的中點(diǎn).求出兩種情況下直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】分以下兩種情況討論：①若，則直線的斜率為，此時(shí)，直線的方程為，即；②若直線過(guò)線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為，此時(shí)，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.故選：C.9.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件以及，解得，再利用二倍角公式即可化簡(jiǎn)求得結(jié)果.【詳解】，且，，解得．又，．，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.10.方程表示的曲線是（）A.一個(gè)圓和一條直線 B.半個(gè)圓和一條直線C一個(gè)圓和兩條射線 D.一個(gè)圓和一條線段【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為或，表示以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓和直線在圓外面的兩條射線，如圖所示．【詳解】解：變形為：或，表示以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓和直線在圓外面的兩條射線，如右圖．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，畫(huà)出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵．11.如圖，在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.平面C.平面 D.與是異面直線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)所給條件和線面關(guān)系，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】對(duì)A，如圖所示，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，在正方體中易得，所以，故A正確；對(duì)B，如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，在正方體中，易得，，所以四邊形為平行四邊形，則，又為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，則易知點(diǎn)為的中心點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；對(duì)C，如圖所示，連接，在正方體中，易知，所以平面，又平面，所以，又為，中點(diǎn)，則，又，所以，所以平面，故C正確；對(duì)D，如圖所示，連接，易知：又，則，所以與共面，故D錯(cuò)誤.故選：D12.“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理”素養(yǎng)]唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)該直線是BC的中垂線可列出關(guān)于和的方程組，解出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式求出即可．【詳解】解：如圖所示，設(shè)將軍在河邊處飲馬，連接，，則“將軍飲馬”的總路程為.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，，即.連接，，，則，所以，所以“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：A.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.）13.圓心為的圓C與x軸交于、兩點(diǎn)，則圓C的方程為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)坐標(biāo)得到圓的圓心在直線上，即可得到圓心坐標(biāo)，然后求半徑即可得到圓的方程.【詳解】由題意得的中垂線方程為，則圓的圓心在直線上，所以，圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的方程為.故答案為：.14.如圖，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O.對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，若p?q分別是M到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”是的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是___________.【答案】4【解析】【分析】畫(huà)出到直線距離為1的點(diǎn)的軌跡和到直線距離為2的點(diǎn)的軌跡，交點(diǎn)即為“距離坐標(biāo)”是的點(diǎn).【詳解】作直線，與直線平行，且與直線的距離為1，作直線，與直線平行，且與直線的距離為2，由圖可得，，，，有4個(gè)交點(diǎn)，即“距離坐標(biāo)”是的點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.故答案為：4.15.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理；三角形的外心?重心?垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，，則的歐拉線所在直線方程為_(kāi)__________.【答案】2x-y-3=0【解析】【分析】根據(jù)題意求出線段AB的垂直平分線即可求解.【詳解】線段AB的中點(diǎn)為(2，1)，，線段AB的垂直平分線為：y=2(x-2)+1，即2x-y-3=0AC=BC，三角形的外心?重心?垂心依次位于AB的垂直平分線上，因此的歐拉線方程為2x-y-3=0.故答案為：2x-y-3=0.16.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面平面SCB，，，三棱錐的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)_____．【答案】36π【解析】【詳解】三棱錐S?ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S?ABC的體積為9，可知三角形SBC與三角形SAC都是等腰直角三角形，設(shè)球的半徑為r，可得，解得r=3.球O的表面積為：.點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.三、解答題（17題10分，其余每題各12分）17.已知兩條直線：，：，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)直線平行，列出關(guān)于滿足的條件，求解即可；（2）根據(jù)直線垂直，列出關(guān)于滿足的條件，求解即可.【小問(wèn)1詳解】由，可得或，又由，即，所以當(dāng)//時(shí)，；【小問(wèn)2詳解】∵，∴，所以當(dāng)時(shí)，.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n．（1）求{an}通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由與的關(guān)系即可求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求和.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，符合上式．所以的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】，，．19.已知三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的射影垂直，則它和這條斜線垂直．請(qǐng)用圖形語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯該定理并證明．【答案】答案見(jiàn)解析【解析】【分析】按照定理內(nèi)容轉(zhuǎn)化成符合語(yǔ)言再證明即可.【詳解】解：已知三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的射影垂直，則它和這條斜線垂直．如圖所示：若，是垂足，斜線，，，證明．證明：，，，，又，都在平面內(nèi)，平面，平面，．20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)．（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC＝60°，求證：平面PAB⊥平面PAE．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】分析】（1）說(shuō)明與垂直后，由線面垂直的判定定理得證線面垂直．（2）先證明AE⊥平面PAB．從而得證面面垂直．【詳解】證明：（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BD⊥AC．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．（2）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC＝60°，且E為CD的中點(diǎn)，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE．又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB．因?yàn)锳E?平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查證明線面垂直與面面垂直，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直與面面垂直的判定定理．解題時(shí)要注意定理的條件要一一列舉出來(lái)，不能簡(jiǎn)略，否則解題過(guò)程不完整，出現(xiàn)錯(cuò)誤．21.從①，②G是的中點(diǎn)，③G是的內(nèi)心.三個(gè)條件中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答.在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面，且，，，，分別為，的中點(diǎn).（1）判斷EF與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若G是側(cè)面上的一點(diǎn)，且________，求三棱錐的體積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）平面，證明見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）連接，可知為的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)得出，利用線面平行的判定定理可得出結(jié)論；（2）推導(dǎo)出平面.選①或②，推導(dǎo)出平面，計(jì)算出和的面積，利用錐體的體積公式可求得三棱錐的體積；選③，設(shè)的內(nèi)切圓切于點(diǎn)，推導(dǎo)出平面，計(jì)算出和的面積，利用錐體的體積公式可求得三棱錐的體積.【小問(wèn)1詳解】平面，理由如下：如下圖所示，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，∵平面，平面，∴平面；【小問(wèn)2詳解】∵四邊形為矩形，則，∵平面，平面，∴，∵，∴平面.∵為的中點(diǎn)，則.選①：∵，則，∴平面，且，；選②：∵、分別為、的中點(diǎn)，∴，且，∵平面，∴平面，；選③：設(shè)的內(nèi)切圓切于點(diǎn)，連接，則，∵平面，平面，∴，在平面內(nèi)，，，則，∴平面，，，由等面積法可得，所以，，所以，.22.如圖所示，在直三棱柱中，，平面，D為AC的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）在上是否存在一點(diǎn)E，使得，若存在，試確定E的位置，并判斷平面與平面是否垂直？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）存在，是的中點(diǎn)【解析】【分析】（1